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2012全国各地模拟试题理科数学分类汇编7:立体几何1


2012 全国各地模拟分类汇编理:立体几何(1)
【四川省宜宾市高中 2011 届高三调研理】 如图, 在三棱锥 P-ABC 中, 已知 PC ? 平面ABC ,

CD ? 面PAB , BA= BC , PC ? AC ? 2 ,则异面直线 AP 与 BC 所成的角的大小为
P D B C

A

(A) arccos (C) arccos 【答案】D

3 . 5 4 5

(B) 45? (D) 60
?

【四川省宜宾市高中 2011 届高三调研理】 E, F 分别是正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的棱

AA1 , DD1 上的点,且 A1 E ? 2EA , DF ? 2FD1 ,则平面 BEF 与平面 ABCD 所成的锐二面
角的余弦值为 【答案】

3 11 11

【四川省南充高中 2012 届高三第一次月考理】在空间中,若射线 OA 、 OB 、 OC 两两所成角 都为

? ,且 OA ? 2 , OB ? 1 ,则直线 AB 与平面 OBC 所成角的正弦值为 3
2 2 3

【答案】

【四川省成都市双流中学 2012 届高三 9 月月考理】在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, M 、 N 1 分别是 AA1 、 AB 上的点,若 ?NMC1 ? 90? ,那么 ?NMB1 =( )

A.大于 90? B.等于 90? C.小于 90? D.不能确定 【答案】B 【陕西省长安一中 2012 届高三开学第一次考试理】设右图是某几何体的三视图,则该几何体 的体积为 ( )

3

2 3 正视图 A. 9? ? 42 侧视图 俯视图 C. ? ? 12

B. 36? ? 18

9 2

D. ? ? 18

9 2

【答案】D 【陕西省宝鸡中学 2012 届高三上学期月考理】某几何体的三视图如图,该几何体的体积的最 大值为 。

6

a

1 主 图 视 左 图 视

1

b 俯 图 视

【答案】2 【山东省冠县武训高中 2012 届高三二次质检理】已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的棱长与底面边 长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦值等于( )
2 2 【答案】B

A.

B.

6 4

C.

10 4

D.

3 2

【山东省冠县武训高中 2012 届高三二次质检理】某几何体的三视图如图所示,则它的体积是

A. 8 ?

2? 3

B.8-

? 3

C. 8 ? 2?

D.

2? 3

【答案】A 【山东省冠县武训高中 2012 届高三二次质检理】 已知 a、 l 表示三条不同的直线,?、?、? b、 表示三个不同的平面,有下列四个命题: ①若 ? ? ? ? ? , ? ? ? ? b 且 a / /b, 则 ? / /? ;

②若 a、b 相交,且都在 ?、? 外, a / /? ,a / / ?, b / / ?, b / / ? ,则 ? / / ? ; ③若 ? ? ? , ? ? ? ? a, b ? ? , a ? b, b ? ? ; 则 ④若 a ? ? , b ? ? , l ? a, l ? b, 则 l ? ? . 其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 【答案】B 【安徽省皖南八校 2012 届高三第二次联考理】已知某几何体的三视图如右图所示,其中,正 (主)视图,侧(左)视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据 图中的数据可得此几何体的体积为

2? 1 2? 1 4? 1 2? 1 ? ? B、 C、 D、 ? ? 3 2 6 6 3 6 3 2 【答案】C 【解析】C 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥,下部分是半球,所以根据三视
A、

图中的数据可得 V ?

1 4? 2 3 1 1 ? ?( ) ? ? ? 1?1? 1 ? 2 3 2 3 2

2? 1 ? 6 6

? 【 湖 北 省 部 分 重 点 中 学 2012 届 高 三 起 点 考 试 】 已 知 在 ?ABC 中 , ?A C B? 9 0,

BC ? 3,AC ? 4 . P 是 AB 上的点,则点 P 到 AC,BC 的距离的积的最大值是( )
A. 2 【答案】B 【湖北省部分重点中学 2012 届高三起点考试】如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面 ABC 是等腰直角三角形,且 AC ? BC ? 线 B1C 与 AD 所成的角的余弦值是 B.3 C.

3 3 2

D. 3 2

2, CC1 ? 3 ,点D是 A1B1 的中点,则异面直 侧棱
.

B1 D A1 C1

B

A

C

【答案】

2 5 5

【2012 湖北省武汉市部分学校学年高三新起点调研测试】已知三棱锥的三视图如图所示,其 中侧视图为直角三角形,俯视图为等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于 ( )

A.

2 3

B.

3 3

C.

2 2 3

D.

2 3 3

【答案】B 【吉林省长春外国语学校 2012 届高三第一次月考】已知直线 m 、 n 和平面 ? 、 ? ? 满足 m ⊥ , ) n , ? ⊥ ? ? m ? ? 则( A. n ? ? B. n // ? 或 n ? ? C. n ? ? D. n ∥ ? 或 n ? ?

【答案】D 【湖北省部分重点中学 2012 届高三起点考试】右图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面 积等于

(A) 34 ? 6 5 (C) 6 ? 6 5 ? 4 13

(B) 6 ? 6 5 ? 4 3 (D) 17 ? 6 5

【答案】C 【吉林省长春外国语学校 2012 届高三第一次月考】长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3, 6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的面积为 ( ) A.
7 ? 2

B. 56?

C.

14?

D.

64?

【答案】C 【吉林省长春外国语学校 2012 届高三第一次月考】如图为一几何体的的展开图,其中 ABCD 是边长为 6 的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点 S,D,A,Q 及 P,D,C,R 共线,沿图中虚 线将它们折叠起来,使 P,Q,R,S 四点重合,则需要 个这样的几何体,可以

拼成一个棱长为 6 的正方体。 【答案】3 【江苏省南京师大附中 2012 届高三 12 月检试题】已知四棱椎 P-ABCD 的底面是边长为 6 的 正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? 8 ,则该四棱椎的体积是 【答案】 96 【江苏省南京师大附中 2012 届高三 12 月检试题】给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②垂直于同一直线的两条直线相互平行; ③平行于同一直线的两个平面相互平行; ④垂直于同一直线的两个平面相互平行 上面命题中,真命题的序号是 ... 【答案】5④ 【江苏省南通市 2012 届高三第一次调研测试】正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2 3 , 则四面 (写出所有真命题的序号) . .

体 A ? B1CD1 的外接球的体积为 【答案】 36π 【上海市南汇中学 2012 届高三第一次考试(月考)】已知长方体的三条棱长分别为 1,1,2,并 且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上,则此球的表面积为 。 【答案】 6? 【四川省成都外国语学校 2012 届高三 12 月月考】已知 m 是平面 ? 的一条斜线,点 A ?? , l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形中可能出现的是( A. l ∥ m , l ⊥ ? B. l ⊥ m , l ⊥ ? C. l ⊥ m , l ∥ ? ) D. l ∥ m , l ∥ ?

【答案】C 【上海市南汇中学 2012 届高三第一次考试(月考)】如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 6, 动点 E、F 在 棱 A1B1 上,动点 P、Q 分别在棱 AB、CD 上,若 EF=2,

DQ=x,AP=y,则四面体 PEFQ 的体积





A.与 x,y 都无关 B.与 x 有关,与 y 无关 C.与 x、y 都有关 D.与 x 无关,与 y 有关 【答案】A 【四川省成都外国语学校 2012 届高三 12 月月考】如图,在正四面体 ABCD 中,E 为 AB 的中

点,F 为 CD 的中点,则异面直线 EF 与 AC 所成的角为( A.90? 【答案】C B.60? C.45? D.30?



【四川省成都外国语学校 2012 届高三 12 月月考】已知球 O 是棱长为 2 6 的正方体 ABCD— A1B1C1D1 的内切球,则平面 AC D1 截球 O 的截面面积为 。 【答案】 4? 【吉林省长春外国语学校 2012 届高三第一次月考】如图,三棱柱 ABC ? A1 B1 C 1 的所有 棱长都相等,且 A1 A ? 底面 ABC , D 为 CC 1 的中点, AB1与A1 B相交于点O连结OD (Ⅰ)求证: OD ∥ 平 面ABC (Ⅱ)求证: AB1 ? 平面 A1 BD .

【答案】 、∵CE∥ BB1 ,CE= (1) CE∥ CD ,CE=CD ∴OD∥EC (2) 、CE⊥AB,CE⊥ BB1 ∴CE⊥面 AB1 ∴OD⊥ AB1 ∵ A1B ⊥ AB1 ∴ AB1 ⊥面 A1BD

1 BB 2

【四川省宜宾市高中 2011 届高三调研理】如图,在直三棱柱 ADF ? BCE 的底面 ADF
? 中, ?DAF ? 90 , FD ? 2 , AD ? 1 ,且 EF ? 3 .

(Ⅰ)证明: AE ? 平面 FCB ; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 FCB 所成的角的大小; (Ⅲ)若 M 是棱 AB 的中点,在线段 FD 上是否存在一点 N ,使得 MN ∥平面 FCB ?证

明你的结论.
? 【答案】证明: (Ⅰ)在 ? ADF 中, ?DAF ? 90 , FD ? 2 , AD ? 1 ,得 AF ? 3 ,

z

y x

由题意,建系 A ? xyz ,在直三棱柱中,因为 ABCD 为正方形,有 AE ? BF ,

AE ? (0, 3, 3) , BC ? AD ? (1,0,0) ,
由 AE ? BC ? 0 ,得 AE ? BC ,而 BF ? BC ? B , 故 AE ? 平面 FCB . ………(4 分)

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)平面 FCB 的法向量为 AE ? (0, 3, 3) , 又 BD ? (?1, 3,0) ,因为

cos ? AE, BD ??

3 6?2

?

6 , 4
6 . 4
……(8 分)

所以直线 BD 与平面 FCB 所成的角为 arcsin

(Ⅲ)解:设在线段 FD 上存在一点 N (m,0, n) ,使得 MN ∥平面 FCB , M (0,

3 ,0) , 2

由(Ⅰ)平面 FCB 的法向量为 AE ? (0, 3, 3) ,而 MN ? (m,?

3 , n) , 2

由 MN ? AE ? 0 ,得 ?

3 3 , ? 3n ? 0 ? n ? 2 2

由坐标的几何意义, N 为线段 FD 的中点, 所以当 N 为线段 FD 的中点时,能使 MN ∥平面 FCB . ……(12 分) 【陕西省长安一中 2012 届高三开学第一次考试理】 (12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为 平 行 四 边 形 , ∠ DAB=60°,AB=2AD=2,PD ⊥ 底 面 ABC

D. (1)证明:PA⊥BD; (2)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值. 【答案】 (1)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD =2, 由余弦定理得 BD ? 3 AD = 3 从 而 BD2+AD2= AB2 , 故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PA D . 故

PA ? BD-----6 分 (2)如图,以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D- xyz ,则

C A ?1,0,0? ,B 0,3, 0 , ?1, 3, 0 ,P ? 0,0,1? .AB ? (?1, 3,0) , ? (0, 3,?1) , PB

?

? ?

?

BC ? (?1,0,0)
设平面 PAB 的法向量为 n =(x,y,z) ,则 ?

?n ? AB ? 0 ? ?n ? PB ? 0 ?



?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n = ( 3,1, 3) 设平面 PBC 的法向量为 m ,则 ?

?m ? PB ? 0 ? ?m ? BC ? 0 ?



可取 m =(0,-1, ? 3 ) ,

则 cos m, n ?

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为

?

2 7 .------------------12 分 7

【安徽省六校教育研究会 2012 届高三联考】 已知矩形 ABCD 中, AB ? 3 , AD ? 2 , E 在 点

CD 上 且 CE ? 1 (如 图(3 ) . 把 △DAE 沿 AE 向 上折 起到 D ' AE 的位 置,使 二面角 )
D '? AE ? B 的大小为 120 (如图(4). )
?

(Ⅰ)求四棱锥 D '? ABCE 的体积; (Ⅱ)求 CD ' 与平面 ABCE 所成角的正切值; (Ⅲ)设 M 为 CD ' 的中点,是否存在棱 AB 上的点 N ,使 MN∥ 平面 D ' AE ?若存在,试 求出 N 点位置;若不存在,请说明理由.

D

E

C

D'

D A B
图(3)
/ 【答案】解: (1)取 AE 的中点 P,连接 DP, D P

E

C

A

B
图(4)

/ / 由 DA=DE, D A ? D E ? DP ? AE, D P ? AE

/

/ 0 / / 故 ?D PD ? 60 ? ?DD P 为等边三角形, D 在平面 ABCD 内的射影 H 为 PD 的中点

DP ? 2 ? D / H ?

6 2 6 S ABCE ? 4 ? VD / ? ABCE ? 2 ,又 3
DH ? 2 , CD ? 3, ?CDH ? 450 2

4分

(2)在三角形 CDH 中,由

? tan?D / CH ?
CH ?
由余弦定理可得

26 2

6 2 ? 39 13 26 2

8分

(3)取 CE 的中点 F,则 MF//D/E,在平面 ABCE 内过 F 作 FN//AE 交 AB 于 N, MF ? NF=F,D/E ? AE=E 则平面 MFN//平面 D/AE 又 MN 在平面 MFN 内,故 MN//平面 D/AE

1 1 此时 AN=EF= 2 CE= 2 ,故存在 N 使 MN//平面 D/AE

12 分

【浙江省杭州第十四中学 2012 届高三 12 月月考】 如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA⊥平面 ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1. (I)证明:EM⊥BF; (II)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的二面角的余弦值. E

F A O M C

B
(第 19 题图)

【答案】解: (1) AM ? 3,BM ? 3 . 如图, A 为坐标原点, 以 垂直于 AC 、AC 、AE 所在的直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 由 已知条件得 A(0,0,0), M (0, 3, 0), E(0, 0, 3), B( 3, 3, 0), F (0, 4,1) ,

???? ??? ? ? ME ? (0, ? 3, 3), BF ? (? 3,1,1) .

z

F

???? ??? ? 由 ME ? BF ? (0, ? 3, 3) ? (? 3,1,1) ? 0 ,
???? ??? ? ? 得 MF ? BF , ?EM ? BF .
……………6 分

??? ? ??? ? BE ? (? 3, ? 3, 3), BF ? (? 3,1,1) . (2)由(1)知
设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

?

?? 3x ? 3 y ? 3z ? 0 ? ? ? ??? ? ? ??? ? n ? BE ? 0, n ? BF ? 0, 得 ?? 3 x ? y ? z ? 0 ,] ? 由 ? ? n ? 3,1, 2 令 x ? 3 得 y ? 1, z ? 2 , ,

?

?

由已知 EA ? 平面 ABC ,所以取面 ABC 的法向量为 AE ? (0, 0, 3) , 设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为 ? ,

??? ?

? ? 3 ? 0 ? 1? 0 ? 2 ? 3 2 cos? ? cos ? n, AE ? ? ? 2 , 3? 2 2 则
2 平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 2 . ………………14 分

?

【安徽省皖南八校 2012 届高三第二次联考理】本题满分 12 分) ( 已知轴对称平面五边形 ADCEF (如图 1) ,BC 为对称轴,ADCD, AD = AB =1,CD =BC =

3 ,将此图形沿 BC 折叠成直二面角,

连接 AF、DE 得到几何体(如图 2) (1)证明:AF//平面 DEC; (2)求二面角 E—AD—B 的正切值。

【答案】解: (Ⅰ)? 以 B 为坐标原点,分别以射线 BF、BC、BA 为 x 轴、 y 轴、z 轴的正方 向 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 . 由 已 知 与 平 面 几 何 知 识 得 ,

A(0, 0,1), F (1, 0, 0), D(0,

3 3 3 3 , ), E ( , , 0) , 2 2 2 2 ??? ? ???? 3 ??? 2 ???? ? 3 ∴ AF ? (1, 0, ?1), DE ? ( , 0, ? ) ,∴ AF ? DE ,∴AF∥DE, 3 2 2

又 DE ? 平面DCE, 且AF ? 平面DCE

? AF ∥ 平面DEC …………………………6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 A、D、E、F 四点共面, AF ? (1, 0, ?1), AD ? (0,

??? ?

????

? 3 1 , ) ,设 n ? 平 2 2

1) ? ? ?(1,0, ? ( ,x ,y )z 0 ? ?x ? z ? 0 ? ? 面 ADEF , n ? ( x, y, z) ,则 ? ,不妨令 y ? ?1 ,故 ?? 3 1 (0, , ) ? ( x, y, z ) ? 0 ? 3 y ? z ? 0 ? ? ? 2 2 ?? ? n ? ( 3, ? 3) ,由已知易得平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (1,0,0) , 1,
∴ cos ? n, n1 ??

? ??

21 2 3 ,∴二面角 E-AD-B 的正切值为 .…………………………12 分 7 3

【湖北省部分重点中学 2012 届高三起点考试】 (本小题满分 12 分)如图 PA⊥平面 ABCD,四 边形 ABCD 是矩形,E、F 分别是 AB,PD 的中点.

(Ⅰ)求证:AF//平面 PCE; (Ⅱ)若 PA=AD 且 AD=2,CD=3,求 P—CE—A 的正切值. 【答案】 (本小题满分 13 分) 证: (1)取 PC 中点 M,连 ME,MF ∵FM//CD,FM=

1 1 CD ,AE//CD,AE= CD 2 2

∴AE//FN,且 AE=FM,即四边形 AFME 是平行四边形

∴AE//EM, ∵AF ? 平面 PCE ? AF//平面 PCE………………………6 分 (2)延长 DA,CE 交于 N,连接 PN,过 A 作 AH⊥CN 于 H 连 PH。 ∵PA⊥平面 ABCD ∴PH⊥CN(三垂线定理) ∴∠PHA 为二面角 P—EC—A 的平面角……8 分 ∵AD=2, CD=3 ∴

3 AN ? AE 6 5 CN=5,即 EN= , P A=AD ∴PA=2 ∴AH= ? 2 ? 5 2 EN 5 2 2?
tan ?PHA ? PH 2 5 ? ? AH 6 3 5
5 3

∴二面角 P—EC—A 的正切值为 . ………………………12 分 【四川省成都外国语学校 2012 届高三 12 月月考】 (12 分)已知等腰 Rt△RBC 中,∠RBC=

?
2



RB=BC=2,点 A、D 分别是 RB、RC 的中点,现将△RAD 沿着边 AD 折起到△PAD 的位置,使 PA ⊥AB,连结 PB、PC。 (1)求证:BC⊥PB; (2)求二面角 A—CD—P 的平面角的余弦值。

【答案】解: (1)∵A、D 分别为 RB、RC 的中点, ∴AD∥BC,∵∠RBC= ∴AD⊥RA,AD⊥PA。 ∴AD⊥平面 PAB ∴BC⊥平面 PAB,PB ? 平面 PAB ∴BC⊥PB。 (2)∵PA⊥AB,∴PA⊥平面 ABCD

?
2

过 A 作 AE⊥RC 于点 E,连结 PE,∴PE⊥RC。

∴PEA 为二面角 P—CD—A 的平面角, ∵PA=1,BC=2,AE=
3 2 ,∴PE= 2 2

∴cos∠PEA=

1 3 2 ? 3 3 2
3 。 3

∴二面角 A—CD—P 的平面角的余弦值为

【山东省冠县武训高中 2012 届高三二次质检理】 (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中, AB ? AC ? 5 ,D,E 分别为 BC, BB1 的中点, BB1 的中点,四边形 B1BCC1 是边 长为 6 的正方形. (1)求证: A1B / / 平面 AC1D ; (2)求证: CE ? 平面 AC1D ; (3)求二面角 C ? AC1 ? D 的余弦值. 【答案】 (1)证明:连结 A 1C ,与 AC1 交于 O 点,连结 OD. 因为 O,D 分别为 A 1C 和 BC 的中点, 所以 OD// A 1 B 。 又 OD ? 平面AC1D , A1B ? 平面AC1D , 所以 A1B / / 平面AC1D .…………………………4 分 (2)证明:在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 平面ABC, 又A D ? 平面ABC , 所以 BB1 ? AD . 因为 AB ? AC, D 为 BC 中点, 所以 AD ? BC. 又 BC ? BB1 ? B , 所以 AD ? 平面B1BCC1 . 所以AD ? CE 又 CE ? 平面B1BCC1 , 因为四边形 B1BCC1 为正方形,D,E 分别为 BC, BB1 的中点, 所以 Rt?CBE ? Rt?C1CD , ?CC1D ? ?BCE . 所以 ?BCE ? ?C1DC ? 90 ? .
又AD ? C1D ? D 所以CE ? 平面AC1D

所以 C1D ? CE ………………………………8 分

(3)解:如图,以 B1C1 的中点 G 为原点,建立空间直角坐标系, 则 A(0,6,4) ,E(3,3,0) ,C(-3,6,0) , C1 (?3, 0, 0) . ??? ? 6? ) 由(Ⅱ)知 CE ? 平面AC1D, 所以CE=(, 3,0 为平面 AC1D 的一个法向量。 设 n ? (x, y, z) 为平面 ACC1 的一个法向量, ??? ? AC ? (?3,0, ?4) ,CC1 ? (0, ?6,0).

??? ? ?n ? AC ? 0, ? 由 ? ???? ? ?n ? CC1 ? 0, ?

??3x+4z=0, 可得 ? ?-6y=0.

3 令 x ? 1 ,则 y ? 0, z ? ? . 4 3 所以 n ? (1,0, ? ) . 4
??? ? ??? ? CE ? n 8 ? ? 5. 从而 cos ?CE ? n ? ? ??? | CE | ? | n | 25

因为二面角 C ? AC1 ? D 为锐角, 所以二面角 C ? AC1 ? D 的余弦值为
8 5 .……………………12 分 25

【江苏省南京师大附中 2012 届高三 12 月检试题】(本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形,且 AB= 2,BC=1,E,F 分别为 AB,PC 中点. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)若平面 PAC⊥平面 ABCD,求证:平面 PAC⊥平面 PDE.
P

F

D

C

A

E

B

【答案】证明: (1)方法一:取线段 PD 的中点 M,连结 FM,AM. 1 因为 F 为 PC 的中点,所以 FM∥CD,且 FM=2CD.

P

F M

D

C

因为四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点, 1 所以 EA∥CD,且 EA=2CD.
P

A

E

B

F

D

C E B

A N

所以 FM∥EA,且 FM=EA. 所以四边形 AEFM 为平行四边形. 所以 EF∥AM. ……………………… 5 分

又 AM? 平面 PAD,EF? 平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. ……… 2 分 P

F

D A 方法二: 连结 CE 并延长交 DA 的延长线于 N, 连结 PN. 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AD∥BC, 所以∠BCE=∠ANE,∠CBE=∠NAE. 又 AE=EB,所以△CEB≌△NEA.所以 CE=NE. 又 F 为 PC 的中点,所以 EF∥NP.………… 5 分 又 NP? 平面 PAD,EF? 平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. E

Q B

C

…………… 2 分

方法三:取 CD 的中点 Q,连结 FQ,EQ. 在矩形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,所以 AE=DQ,且 AE∥DQ. 所以四边形 AEQD 为平行四边形,所以 EQ∥AD. 又 AD? 平面 PAD,EQ? 平面 PAD,所以 EQ∥平面 PAD. 因为 Q,F 分别为 CD,CP 的中点,所以 FQ∥PD. 又 PD? 平面 PAD,FQ? 平面 PAD,所以 FQ∥平面 PAD. 又 FQ,EQ? 平面 EQF,FQ∩EQ=Q,所以平面 EQF∥平面 PAD.…………… 3 分 因为 EF? 平面 EQF,所以 EF∥平面 PAD. (2)设 AC,DE 相交于 G. DA CD 在矩形 ABCD 中,因为 AB= 2BC,E 为 AB 的中点.所以 AE =DA= 2. 又∠DAE=∠CDA,所以△DAE∽△CDA,所以∠ADE=∠DCA. 又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°,所以∠DCA+∠CDE=90°. 由△DGC 的内角和为 180°,得∠DGC=90°.即 DE⊥AC. ……………………… 2 分 因为平面 PAC⊥平面 ABCD 因为 DE? 平面 ABCD,所以 DE⊥平面 PAC, …………………………………… 3 分 又 DE? 平面 PDE,所以平面 PAC⊥平面 PDE. ………………………… 2 分 【江苏省南通市 2012 届高三第一次调研测试】如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 在边 BC 上,AD⊥C1D. ……………………………… 2 分 ………………2 分

(1)求证:AD⊥平面 BC C1 B1; BE (2)设 E 是 B1C1 上的一点,当 1 的值为多少时, EC1 A1E∥平面 ADC1?请给出证明. 【答案】解: (1)在正三棱柱中,C C1⊥平面 ABC,AD ? 平面 ABC, ∴ AD⊥C C1.………………………………………2 分 又 AD⊥C1D,C C1 交 C1D 于 C1,且 C C1 和 C1D 都在面 BC C1 B1 内, ∴ AD⊥面 BC C1 B1. ……………………………………………5 分

(2)由(1) ,得 AD⊥BC.在正三角形 ABC 中,D 是 BC 的中点.…………7 分 BE 当 1 ? 1 ,即 E 为 B1C1 的中点时,A1E∥平面 ADC1.…………8 分 EC1 事实上,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,四边形 BC C1 B1 是矩形,且 D、E 分别是 BC、 B1C1 的中点,所以 B1B∥DE,B1B= DE. ……………10 分 又 B1B∥AA1,且 B1B=AA1, ∴DE∥AA1,且 DE=AA1. …………………………12 分 所以四边形 ADE A1 为平行四边形,所以 E A1∥AD. 而 E A1 ? 面 AD C1 内,故 A1E∥平面 AD C1. ………………14 分 【江苏省南通市 2012 届高三第一次调研测试】如图,在四边形 ABCD 中,AD=8,CD=6,

??? ???? ? AB=13,∠ADC=90°,且 AB ? AC ? 50 .

(1)求 sin∠BAD 的值; (2)设△ABD 的面积为 S△ABD,△BCD 的面积为 S△BCD,求 B A1
S ?ABD 的值. S ?BCD

C1 B1

C

A

D

A D

C

【答案】解 (1)在 Rt△ADC 中,AD=8,CD=6,

B 4 3 则 AC=10, cos ?CAD ? ,sin ?CAD ? .………………2 分 5 5 ??? ???? ? 又∵ AB ? AC ? 50 ,AB=13,
??? ???? ? AB ? AC 5 ? ∴ cos ?BAC ? ??? ???? ? . …………………………4 分 13 | AB || AC |

∵ 0? ? ?BAC ? 180? ,∴ sin ?BAC ? ∴ sin ?BAD ? sin(?BAC ? ?CAD) ?

12 . ……………………5 分 13 63 .………………………………8 分 65

(2) S?BAD ? 11 分

1 252 1 , S?BAC ? AB ? AC ? sin ?BAC ? 60 , S?ACD ? 24 , AB ? AD ? sin ?BAD ? 2 5 2
S 3 168 ,∴ ?ABD ? .………14 分 S ?BCD 2 5

则 S?BCD ? S?ABC ? S?ACD ? S?BAD ?


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