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2013届高考数学(理)一轮复习课件:第四篇


第6讲 正弦定理和余弦定理

【2013年高考会这样考】 1.考查正、余弦定理的推导过程. 2.考查利用正、余弦定理判断三角形的形状. 3.考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法. 【复习指导】 1.掌握正弦定理和余弦定理的推导方法. 2.通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换,解题 过程中做到正余弦定理的优化选择.

基础梳理

a b c 1.正弦定理:sin A=sin B=sin C=2R,其中 R 是三角形外接 圆的半径.由正弦定理可以变形为: (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a= 2Rsin A ,b= 2Rsin B ,c= 2Rsin C ; a b c (3)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R等形式,以解决不同的三 角形问题.

2.余弦定理:a2= b2+c2-2bccos A
2 2 c2=a +b -2abcos C

,b2= a2+c2-2accos B ,

b2+c2-a2 .余弦定理可以变形为:cos A= 2bc ,

a2+c2-b2 a2+b2-c2 cos B= 2ac ,cos C= 2ab .

1 1 1 abc 1 3.S△ABC=2absin C=2bcsin A=2acsin B= 4R =2(a+b+c)· r(R 是三 角形外接圆半径,r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r.

4. 已知两边和其中一边的对角, 解三角形时, 注意解的情况. 如 已知 a,b,A,则 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角

关系 式 解的 个数

a<b sin A a=bsin A

bsin A<a< b 两解

a≥b a>b a≤b

无解

一解

一解 一解 无解

一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大, 正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A >sin B. 两类问题 在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一 边,求其它边或角; (2) 已知两边及一边的对角,求其它边或 角.情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.余 弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和其他两 角;(2)已知三边,求各角.

两种途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)在△ABC中,A=60° ,B=75° ,a =10,则c等于( A.5 2 10 6 C. 3 ). B.10 2 D.5 6

a 解析 由A+B+C=180° ,知C=45° ,由正弦定理得: sin A = c 10 c 10 6 sin C,即 3= 2.∴c= 3 . 2 2 答案 C

sin A cos B 2.在△ABC 中,若 a = b ,则 B 的值为( A.30° 解析 B.45° C.60° D.90°

).

由正弦定理知:

sin A cos B . sin A= sin B ,∴sin B=cos B,∴B=45° 答案 B

3.(2011· 郑州联考)在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等 于( ). B.45° C.60° D.75°

A.30° 解析

b2+c2-a2 1+4-3 1 由余弦定理得:cos A= = = , 2bc 2×1×2 2

∵0<A<π,∴A=60° . 答案 C

1 4.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C=3,则△ABC 的面 积为( A.3 3 ). B.2 3 C.4 3 D. 3

1 2 2 解析 ∵cos C=3,0<C<π,∴sin C= 3 , 1 ∴S△ABC=2absin C 1 2 2 =2×3 2×2 3× 3 =4 3. 答案 C

5. 已知△ABC 三边满足 a2+b2=c2- 3ab, 则此三角形的最大 内角为________. 解析
2 2 2 a + b - c 3 2 2 2 ∵a +b -c =- 3ab,∴cos C= 2ab =- 2 ,

故 C=150° 为三角形的最大内角. 答案 150°

考向一

利用正弦定理解三角形

【例 1】?在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A,C 和 边 c. [审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正 弦定理解这个三角形,但要注意解的判断.

a b 3 2 解 由正弦定理得sin A=sin B,sin A=sin 45° , 3 ∴sin A= . 2 ∵a>b,∴A=60° 或 A=120° . 6+ 2 bsin C 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° ,c= sin B = 2 ; 6- 2 bsin C 当 A=120° 时, C=180° -45° -120° =15° , c= sin B = 2 .

(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需 直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一 边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意.

π 【训练 1】 (2011· 北京)在△ABC 中,若 b=5, ∠B=4,tan A=2,则 sin A=________;a=________. 解析 因为△ABC 中,tan A=2,所以 A 是锐角, sin A 且cos A=2,sin2A+cos2A=1, 2 5 联立解得 sin A= 5 , a b 再由正弦定理得sin A=sin B, 代入数据解得 a=2 10. 2 5 答案 2 10 5

考向二 利用余弦定理解三角形 【例 2】?在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 cos B b =- . cos C 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. cos B b [审题视点] 由cos C=- ,利用余弦定理转化为边的关系 2a+c 求解.

a2+c2-b2 解 (1)由余弦定理知:cos B= , 2ac a2+b2-c2 cos C= . 2ab cos B b 将上式代入 =- 得: cos C 2a+c a2+c2-b2 2ab b , 2 2 2=- 2ac · a +b -c 2a+c 整理得:a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 -ac 1 ∴cos B= = =- . 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π. 3

2 (2)将 b= 13,a+c=4,B= π 代入 b2=a2+c2-2accos B,得 3 b2=(a+c)2-2ac-2accos B,
? 1? ∴13=16-2ac?1-2?,∴ac=3. ? ?

1 3 3 ∴S△ABC= acsin B= 2 4 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边 进行变形是迅速解答本题的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程 思想在解题过程中的运用.

【训练 2】 (2011· 桂林模拟)已知 A,B,C 为△ABC 的三个内 A 角,其所对的边分别为 a,b,c,且 2cos +cos A=0. 2
2

(1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积.

A 解 (1)由 2cos +cos A=0,得 1+cos A+cos A=0, 2
2

1 2π 即 cos A=-2,∵0<A<π,∴A= 3 . 2π (2)由余弦定理得,a =b +c -2bccos A,A= , 3
2 2 2

则 a2=(b+c)2-bc,又 a=2 3,b+c=4, 1 有 12=4 -bc,则 bc=4,故 S△ABC= bcsin A= 3. 2
2

考向三 正、余弦定理的综合应用 【例 3】?在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b, π c,已知 c=2,C=3. (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC 的面积. [ 审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关 于 a,b 的方程,通过方程组求解;第(2)问根据 sin C+sin(B- A)=2sin 2A 进行三角恒等变换,将角的关系转换为边的关系, 求出边 a,b 的值即可解决问题.



(1) 由余弦定理及已知条件,得 a2 + b2 - ab = 4. 又因为△

1 ABC 的面积等于 3,所以 absin C= 3,得 ab=4,联立方程 2
2 2 ? ?a +b -ab=4, 组? ? ?ab=4,

? ?a=2, 解得? ? ?b=2.

(2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A, 即 sin Bcos A=2sin Acos A.

π π 4 3 2 3 当 cos A=0,即 A= 时,B= ,a= ,b= ; 2 6 3 3 当 cos A≠0 时,得 sin B=2sin A,由正弦定理,得 b=2a. ? 2 3 ? a= 3 , 2 2 ? a + b - ab = 4 , ? ? ? 联立方程组 解得? ? 4 3 ?b=2a, ? b= 3 . ? ? 1 2 3 所以△ABC 的面积 S= a bsin C= . 2 3

正弦定理、 余弦定理、 三角形面积公式对任意三角形 都成立,通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中,通 过解方程组获得更多的元素,再通过这些新的条件解决问题.

【训练 3】 (2011· 北京西城一模)设△ABC 的内角 A,B,C 所 4 对的边长分别为 a,b,c,且 cos B=5,b=2. (1)当 A=30° 时,求 a 的值; (2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值. 解 4 3 (1)因为 cos B=5,所以 sin B=5.

a b a 10 由正弦定理sin A=sin B,可得sin 30° =3, 5 所以 a=3.

1 3 (2)因为△ABC 的面积 S=2ac· sin B,sin B=5, 3 所以 ac=3,ac=10. 10 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 8 得 4=a +c -5ac=a2+c2-16,即 a2+c2=20.
2 2

所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40. 所以 a+c=2 10.

阅卷报告 4——忽视三角形中的边角条件致错 【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大, 但稍 不注意,会出现“会而不对,对而不全”的情况,其主要原因 就是忽视三角形中的边角条件. 【防范措施】 解三角函数的求值问题时, 估算是一个重要步骤, 估算时应考虑三角形中的边角条件.

【示例】?(2011· 安徽)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B, C 所对的边长,a= 3,b= 2,1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高. 错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理,产生了增根.

实录 由 1+2cos(B+C)=0, 1 知 cos A=2, π ∴A=3, a b 根据正弦定理sin A=sin B得: bsin A 2 sin B= a = 2 , π 3π ∴B=4或 4 . 以下解答过程略.

正解 ∵在△ABC 中,cos(B+C)=-cos A, π ∴1+2cos(B+C)=1-2cos A=0,∴A= . 3 a b 在△ABC 中,根据正弦定理 = , sin A sin B bsin A 2 ∴sin B= = . a 2 π ∵a>b,∴B= , 4 5 ∴C=π-(A+B)= π. 12

∴sin C=sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A 6+ 2 2 1 2 3 = × + × = . 2 2 2 2 4 6+ 2 3+1 ∴BC 边上的高为 bsin C= 2× = . 4 2

【试一试】 (2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边 分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2 A= 2a. b (1)求a; (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B. [尝试解答] (1)由正弦定理得,

sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A,即 sin B(sin2A+cos2A)= 2sin A. b 故 sin B= 2sin A,所以a= 2.

?1+ 3?a (2)由余弦定理和 c =b + 3a ,得 cos B= . 2c
2 2 2

由(1)知 b2=2a2,故 c2=(2+ 3)a2. 1 2 可得 cos B=2,又 cos B>0,故 cos B= 2 ,所以 B=45° .
2

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