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05--知识要点:高三数学总复习—向量1233


高三数学总复习

................................................................

高考复习科目:数学
1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.

高中数学总复习(五)

注意:①若 a , b 为单位向量,则 a ? b . ( ? ) 单位向量只表示向量的模为 1,并未指明向量的方向. ②若 a ? b ,则 a ∥ b . (√) 2. ① ? ??a ? = ??? ?a

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② ?? ? ? ?a ? ?a ? ?a

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③ ? a ? b ? ?a ? ?b

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④设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ?, ? ? R

? ? a ? b ? ?x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ?

? ? a ? b ? ?x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ?

?a ? ??x1 , ?y 2 ?

?

? ? a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2

? 2 2 a ? x1 ? y1 (向量的模,针对向量坐标求模)
⑥ a ?b ? b ? a

⑤平面向量的数量积: a ? b ? a ? b cos? ⑧ a ?b ?c ? a ?c ?b ?c

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⑦ ??a ?? b ? ? a ? b ? a ? ?b

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注意:① a ? b ? c ? a ? b ? c 不一定成立; a ? b ? b ? c

?? ?? ?

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? ? a?c.

②向量无大小( “大于” 、 “小于”对向量无意义) ,向量的模有大小.

③长度为 0 的向量叫零向量,记 0 , 0 与任意向量平行, 0 的方向是任意的,零向量与零向量相等,且 ? 0 ? 0 . ④若有一个三角形 ABC,则 0;此结论可推广到 n 边形.

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⑤若 ma ? na ( m , n ? R ) ,则有 m ? n . ( ? ) 当 a 等于 0 时, ma ? na ? 0 ,而 m, n 不一定相等.

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a = | a | 2 , | a | = a 2 (针对向量非坐标求模) ⑥a · , | a ?b | ≤| a | ? | b |.

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b =0. ⑦当 a ? 0 时,由 a ? b ? 0 不能推出 b ? 0 ,这是因为任一与 a 垂直的非零向量 b ,都有 a ·
⑧若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c (×)当 b 等于 0 时,不成立. 3. ①向量 b 与非零向量 ....a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ?a (平行向量或共线向量). 当?

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? 0, a 与 b 共线同向:当 ? ? 0, a 与 b 共线反向;当
a ??b
(×)

b 则为 0, 0 与任何向量共线.

注意:若 a, b 共线,则

若 c 是 a 的投影,夹角为 ? ,则 cos? ②设 a = ?x1 , y1 ? , b ? ?x 2 , y 2 ?

? a ? c , cos? ? a ? c

(√)

?

?

? ? a ∥b

? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ? a ? ? b ? a ? b ? a ? b

? ? a ⊥ b ? a ? b ? 0 ? x1 x 2 ? y 2 y1 ? 0
③设 A?x1 , y1 ?, B?x 2 , y 2 ?, C ?x3 , y 3 ? ,则 A、B、C 三点共线 ? ∥

?

=?

( ? ? 0)

高中数学高考总复习

高三数学总复习九—向量

— 1 —

( ? ? 0) ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 )= ? ( x3 ? x1 , y 3 ? y1 ) · ( y 3 ? y1 )=( x3 ? x1 ) · ( y 2 ? y1 ) ? ( x 2 ? x1 ) ④两个向量 a 、 b 的夹角公式: x1 x 2 ? y1 y 2 cos? ? 2 2 2 2 x1 ? y1 ? x2 ? y2 ⑤线段的定比分点公式: ( ? ? 0 和 ? 1)
y? ? ? ? ? 1 PP 1) 设 P1P = ? PP2 (或 P2P = ,且 P1 , P, P2 的坐标分别是 (x1 , y1) , ( x, y), ( x2 , y2 ) ,则 ? x 1????x ? y1 ? ?y 2
2

?

?

?

y ? y2 ? y? 1 ? ? 2 推广 1:当 ? ? 1时,得线段 P1 P2 的中点公式: ? x ? x ?x ? 1 2 ? 2 ?

B M A P

?x ? 1 ? 1? ? ?

推广 2: AM ? ? 则 PM ? PA ? ? PB ( ? 对应终点向量). 1? ? MB

x ? x 2 ? x3 ? x? 1 ? ? 3 三角形重心坐标公式:△ABC 的顶点 A?x1 , y1 ?, B?x 2 , y 2 ?, C ?x3 , y 3 ? ,重心坐标 G?x, y ? : ? y ? y 1 2 ? y3 ?y ? ? 3 ? 注意:在△ABC 中,若 0 为重心,则 OA ? OB ? OC ? 0 ,这是充要条件.

⑥平移公式:若点 P ?x, y ? 按向量 a = ?h, k ? 平移到 P

?



?x ?x , y ?,则 ? ?
' '

' '

? x?h

? ?y ? y ? k
a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sinC

4. ⑴正弦定理:设△ABC 的三边为 a、b、c,所对的角为 A、B、C,则

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? ? 2 2 2 ⑵余弦定理: ?b ? a ? c ? 2ac cos B ? 2 2 2 ?c ? b ? a ? 2ab cos C ?
⑶正切定理: a ? b ? a ?b
tan A? B 2 A? B tan 2

⑷三角形面积计算公式: 设△ABC 的三边为 a,b,c,其高分别为 ha,hb,hc,半周长为 P,外接圆、内切圆的半径为 R,r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ②S△=Pr ③S△=abc/4R [海伦公式]

⑤S△= P?P ? a??P ? b??P ? c?

⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb [注]:到三角形三边的距离相等的点有 4 个,一个是内心,其余 3 个是旁心. 如图: 图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心, S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心,S△=1/2(b+c-a)ra A
A cD I B aE C
ra I c B D E ra ra a b

A

A
C F

F b

c b O

E

F

1图

图2

C

图3

a

B

B

N

C

图4

附:三角形的五个“心” ; 高中数学高考总复习 高三数学总复习九—向量 — 2 —

重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. ⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆,若 BC=a,AC=b,AB=c [注:s 为△ABC 的半周长,即 则:①AE= s ? a =1/2(b+c-a) ②BN= s ? b =1/2(a+c-b) ③FC= s ? c =1/2(a+b-c) 综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边(如图 4). 特例:已知在 Rt△ABC,c 为斜边,则内切圆半径 r=

a?b?c ] 2

a?b?c ab (如图 3). ? 2 a?b?c tan A ? tan B ? ? tan C ,? 结论! 1 ? tan A tan B
A

⑹在△ABC 中,有下列等式成立 tan A ? tan B ? tanC ? tan A tan B tanC . 证明:因为 A ? B ? ? ? C , 所以 tan? A ? B ? ? tan?? ? C ? ,所以
2 ⑺在△ABC 中,D 是 BC 上任意一点,则 AD ?

AC 2 BD ? AB 2 BC ? BD ? DC . BC

2 2 2 证明:在△ABCD 中,由余弦定理,有 AD ? AB ? BD ?2 ? AB ? BD cos B ? ①

在△ABC 中,由余弦定理有 cos B ?
2 可得, AD ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ? ②,②代入①,化简 2 AB ? BC
B D C

AC 2 BD ? AB 2 BC ? BD ? DC (斯德瓦定理) BC

图5

①若 AD 是 BC 上的中线, ma ? ②若 AD 是∠A 的平分线, t a ? ③若 AD 是 BC 上的高, ha ? ⑻△ABC 的判定:

1 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 ; 2

2 bc ? p? p ? a ? ,其中 p 为半周长; b?c p? p ? a ?? p ? b?? p ? c ? ,其中 p 为半周长.

2 a

c 2 ?a 2 ?b 2 ? △ABC 为直角△ ? ∠A +

∠B = ? 2

c 2 < a 2 ?b 2 ? △ABC 为钝角△ ? ∠A + ∠B< c 2 > a 2 ?b 2 ? △ABC 为锐角△ ? ∠A + ∠B>
附:证明: cos C ?

? 2 ? 2

a 2 ?b 2 ?c 2 ,得在钝角△ABC 中, cosC ? 0 ?a 2 ?b 2 ?c 2 ? 0, ?a 2 ?b 2 ?c 2 2ab

⑼平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和.

a ? b 2 ? a ? b 2 ? 2( a 2 ? b 2 )

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