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2015高考复习方法指导高中数学知识点总结解析版


态度决定一切

高考复习方法指导 高中数学知识点总结解析版
1.对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如: 集合 A ? ?x | y ? lg x?,B ? ? y | y ? lg x?,C ? ?( x, y) | y ? lg x?,A 、B、C 中元素各 表示什么? 2.进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集 ? 的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
2 如:集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,B ? ? x | ax ? 1? ,若 B ? A ,则实数 a 的值构成的集合

?

?

为 答: ??1 , 0, ? 3.注意下列性质: (1)集合 ?a1,a2,……,an ? 的所有子集的个数是 2 (2)若 A ? B ? A
n

? ?

1? 3?

B ? A,A B ? B;

(3)德摩根定律: CU ? A

B? ?

?C A? ?C B ?,C
U U

U

?A

B? ?

?C A? ?C B ?
U U

4.你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于 x 的不等式 围。

ax ? 5 ? 0 的解集为 M ,若 3 ? M 且 5 ? M ,求实数 a 的取值范 x2 ? a

a ·3?5 ? ∵3 ? M ,∴ 2 ?0 ? ? ? 5? 3 ?a ? a ? ?1, ? ? ·5?5 ? 3? ?∵5 ? M ,∴ a ?0 2 ? 5 ?a ?

25 ? ? 9,

5.可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或” (?) 、 “且” ( ? )和“非” (?) 若 p ? q 为真,当且仅当 p、 q 均为真 若 p ? q 为真,当且仅当 p、 q 至少有一个为真 若 ? p 为真,当且仅当 p 为假

2014 年 5 月 31 日星期六

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6.命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。 ) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7.对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的 唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象。 ) 8.函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9.求函数的定义域有哪些常见类型? 例:函数 y ? 答: ? 0, 2?

x ?4 ? x? lg ? x ? 3?
2

的定义域是

3? ?3, 4? ? 2,

10.如何求复合函数的定义域? 如:函数 f ( x ) 的定义域是 ? a,b? , b ? ? a ? 0 ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域是 _____________。 答: ? a, ? a? 11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? 如: f 令t ?

?

x ? 1 ? e x ? x ,求 f ( x)

?

x ? 1 ,则 t ? 0 ,∴ x ? t 2 ? 1 ,∴ f (t ) ? et
2

2

?1

? t 2 ?1 ,

x ∴ f ( x) ? e

?1

? x2 ?1 ? x ? 0?

12.反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (① 反解 x;② 互换 x、y;③ 注明定义域) 如求函数 f ( x) ? ?

?1 ? x ? x ? 0 ? ? 的反函数 2 ? x x ? 0 ? ? ? ?

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答: f

?1

? ? x ? 1 ? x ? 1? ( x) ? ? ? ?? ? x ? x ? 0 ?

13.反函数的性质有哪些? ① 互为反函数的图象关于直线 y=x 对称; ② 保存了原来函数的单调性、奇函数性; ③设 y ? f (x) 的定义域为 A ,值域为 C , a ? A , b ? C ,则 f (a) = b ? f ?1 (b) ? a ,∴
?1 f ?1 ? f ( a)? ? f ?1 (b) ? a, f ? ? f ( b)? ? ? f ( a) ? b

14.如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性?

y ? f (u ) (外层) , u ? ? ( x) (内层) ,则 y ? f ?? ( x)?
当内、外层函数单调性相同时, f

?? ( x)? 为增函数,否则 f ?? ( x)? 为减函数
2

如:求 y ? log 1 ? x 2 ? 2 x 的单调区间。
2
2 设 u ? ? x ? 2 x ,由 u ? 0 ,则 0 ? x ? 2 且 log 1 u ? , u ? ? ? x ? 1? ? 1 ,如图

?

?

2

1] 时, u ? ,又 log 1 u ? ,∴ y ? 当 x ? (0,
2

u

, 2) 时, u ? ,又 log 1 u ? ,∴ y ? 当 x ? [1
2

∴ ……) 15.如何利用导数判断函数的单调性?

O

1

2

x

在区间 ? a,b ? 内,若总有 f '( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数。 (在个别点上导数等于零,不影响 函数的单调性) ,反之也对,若 f '( x) ? 0 呢?
3 如:已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ax 在 ?1 , ? ?? 上是单调增函数,则 a 的最大值是

A.0
2

B.1

C.2

D.3

令 f '( x) ? 3 x ? a ? 3 ? x ?

? ? ?

a ?? a? a a x ? ? 0 ,则 x ? ? 或x? , ?? ? ? 3 ?? 3 3 3 ?? ?

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由已知 f ( x ) 在 ?1 , ? ?? 上是增函数,则

a ? 1 ,即 a ? 3 ,∴a 的最大值为 3 3

16.函数 f ( x ) 具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? ( f ( x ) 定义域关于原点对称) 若 f (? x) ? ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图像关于原点对称 若 f (? x) ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图像关于 y 轴对称 注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函 数与奇函数的乘积是奇函数。 (2)若 f ( x ) 是奇函数且定义域中有原点,则 f (0) ? 0

a · 2x ? a ? 2 如:若 f ( x) ? 为奇函数,则实数 a ? 2x ? 1
∵ f ( x ) 为奇函数, x ? R ,又 0 ? R ,∴ f (0) ? 0 ,即

a · 20 ? a ? 2 ? 0 ,∴ a ? 1 20 ? 1 2x , ,求 f ( x ) 在 (?11) 4x ? 1

, 上的奇函数,当 x ? (0, 1) 时, f ( x) ? 又如: f ( x ) 为定义在 (?11)
上的解析式。

2? x 令 x ? ? ?1 , 0? ,则 ? x ? ? 01 , ? , f (? x) ? ? x 4 ?1
又 f ( x ) 为奇函数,∴ f ( x) ? ?

2? x 2x ? ? 4? x ? 1 1 ? 4x

? 2x 0) ?? 4 x ? 1 , x ? (?1, ? ? 又 f (0) ? 0 ,∴ f ( x) ? ?0, x ? 0 ? 2x ? x , x ? ? 0, 1? ? ? 4 ?1
17.你熟悉周期函数的定义吗?

(T ? 0) 若存在实数 T ,在定义域内总有 f ? x ? T ? ? f ( x) ,则 f ( x ) 为周期函数,T 是一个

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周期。 如:若 f ? x ? a ? ? ? f ( x) ,则 答: f ( x ) 是周期函数, T ? 2 a 为 f ( x ) 的一个周期。 又 如 : 若 f ( x ) 图 像 有 两 条 对 称 轴 x ? a , x ? b ? ?? 即 f (b ? x) ? f (b ? x) ,

f (a ? x) ? f (a ? x) ,则 f ( x) 是周期函数, 2 | a ? b | 为一个周期
如图: 18.你掌握常用的图象变换了吗?

f ( x) 与 f (? x) 的图像关于 y 轴对称 f ( x) 与 ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称 f ( x) 与 ? f (? x) 的图像关于原点对称 f ( x) 与 f ?1 ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称 f ( x) 与 f (2a ? x) 的图像关于直线 x ? a 对称 f ( x) 与 ? f (2a ? x) 的图像关于点 ( a, 0) 对称
? 将 y ? f ( x) 图像 ?????? 右移a ( a ? 0) 个单位
左移a ( a ? 0) 个单位

y ? f ( x ? a) 上移b (b ?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b ?????? ? y ? f ( x ? a) 下移b (b ?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b
y y=log 2x

注意如下“翻折”变换:f ( x) ?| f ( x) |, f ( x) ? f (| x |) 如: f ( x) ? log2 ? x ?1? 作出 y ?| log2 ? x ?1? | 及 y ? log2 | x ? 1| 的图像

O

1

x

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗? (1) 一次函数:y ? kx ? b ? k ? 0? (2)反比例函数: y ?

k k ? k ? 0 ? 推广为 y ? b ? ? k ? 0 ? 是中心 O '(a,b) 的双曲线。 x x?a

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(3)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? ? a ? x ?

? ?

b ? 4ac ? b2 的图像为抛物线 ? ? 2a ? 4a
(k<0) y (k>0)

2

顶点坐标为 ? ?

?

b b 4ac ? b 2 ? , ? ,对称轴 x ? ? 2a 4a ? ? 2a

开口方向: a ? 0 ,向上,函数 ymin ?

4ac ? b 2 4a

y=b O’(a,b) O x=a x

a ? 0 ,向下, ymax

4ac ? b 2 ? 4a

应用:① “三个二次”(二次函数、二次方程、二次不

2 2 等式)的关系——二次方程 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 时,两根 x1、x2 为二次函数 y ? ax ? bx ? c

的图像与 x 轴的两个交点,也是二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(? 0) 解集的端点值。 ② 求闭区间[m,n]上的最值。 ③ 求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 ④ 一元二次方程根的分布问题。 如 : 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0 的 两 根 都 大 于
2

y

(a>0)

O

k x1

x2

x

?? ? 0 ? b ? k ? ?? ? k ,一根大于 k ,一根小于 k ? f (k ) ? 0 ? 2a ? ? f (k ) ? 0
(4)指数函数: y ? a
x

y (0<a<1) 1 O 1 (0<a<1) x y=ax(a>1) y=logax(a>1)

? a ? 0,a ? 1?

(5)对数函数: y ? loga x ? a ? 0,a ? 1? 由图象记性质! (注意底数的限定! ) (6) “对勾函数” y ? x ?
y

k ? k ? 0? x

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求 最值的区别是什么? 20.你在基本运算上常出现错误吗? 指数运算: a ? 1(a ? 0) , a
0
?p

? k
O

k

x

?

1 (a ? 0) , ap

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a n ? n a m (a ? 0) , a

m

?

m n

?

1
n

am

(a ? 0)

对数运算: loga M · N ? loga M ? loga N ? M ? 0,N ? 0?

log a

M 1 ? log a M ? log a N, log a n M ? log a M N n
loga x

对数恒等式: a

?x

对数换底公式: log a b ? 21.如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)

log c b n ? log am bn ? log a b log c a m

如: (1) x ? R , f ( x ) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,证明 f ( x ) 为奇函数。 先令 x ? y ? 0 ? f (0) ? 0 ,再令 y ? ? x,…… (2) x ? R , f ( x ) 满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,证明 f ( x ) 为偶函数。 先令 x ? y ? ?t ? f [(?t )(?t )] ? f (t ? t ) ,∴ f (?t ) ? f (?t ) ? f (t ) ? f (t ) , ∴ f (?t ) ? f (t )…… (3)证明单调性: f ( x2 ) ? f ? ?? x2 ? x1 ? ? x2 ? ? ? …… 22.掌握求函数值域的常用方法了吗? (二次函数法(配方法) ,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法, 导数法等。 ) 如求下列函数的最值: (1) y ? 2 x ? 3 ? 13 ? 4 x
R 1 弧度 O R

2 x ?4 (2) y ? x ?3
(3) x ? 3,y ?

2x2 x?3

(4) y ? x ? 4 ? 9 ? x 2 (设 x ? 3cos?,? ??0,? ? )

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1] (5) y ? 4 x ? ,x ? (0,
23.你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为 α,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗?

9 x

1 1 l ?| ? |· R,S扇 ? · l R ? | ? |· R 2 2 2
24.熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义

y B P α O M A x S T

sin ? ? MP, cos ? ? OM, tan ? ? AT
如:若 ?

?
8

cos ?, tan ? 的大小顺序是 ? ? ? 0 ,则 sin ?,

又如:求函数 y ? 1 ? 2 cos ?

?? ? ? x ? 的定义域和值域。 ?2 ?

∵ 1 ? 2 cos ? ∴ 2 k? ?

2 ?? ? ? x ?) ? 1 ? 2 sin x ? 0 ,∴ sin x ? 2 ?2 ?

5? ? ? x ? 2k? ? ? k ? Z ? , 0 ? y ? 1? 2 4 4

25. 你能迅速画出正弦、 余弦、 正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、 对称点、 对称轴吗?

| sin x |? 1,|cos x |? 1
y

y ? tg x

? ? 2

O

? 2

?

x

对称点为 ?

? k? ? , 0 ?,k ? Z ? 2 ?

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? ?? ? 3? ? ? ? y ? sin x 的增区间为 ?2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? ,减区间为 ?2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? ,图像 2 2? 2 2? ? ?
的对称点为 ? k?, 0? ,对称轴为 x ? k? ?

?
2

?k ? Z ?

y ? cos x 的增区间为 ?2k?, 2k? ? ? ?? k ? Z ? ,减区间为 ?2k? ? ?, 2k? ? 2? ?? k ? Z ? ,图像的对
称点为 ? k? ?

? ?

?

? , 0 ? ,对称轴为 x ? k? ? k ? Z ? 2 ?

? ? y ? tan x 的增区间为 (k? ? ,k? ? ) ? k ? Z ? 2 2
26.正弦型函数 y=Asin ?? x+? ? 的图像和性质要熟记。 (或 y ? A cos ?? x ? ? ? ) (1)振幅 | A | ,周期 T ?

2? |? |

若 f ? x0 ? ? ? A ,则 x ? x0 为对称轴;若 f ? x0 ? ? 0 ,则 ? x0, 0? 为对称点,反之也对

2? ,求出 x 与 y ,依点( x , y )作图象。 (2)五点作图:令 ? x ? ? 依次为 0, ,?, , 2
(3)根据图像求解析式。 (求 A、?、? 值)

?

3? 2

?? ( x1 ) ? ? ? 0 ? 如图列出 ? ? ,解条件组求 ?、? 值 ? ( x2 ) ? ? ? ? ? 2
? 正切型函数 y ? A tan ?? x ? ? ?,T ?

? |? |

27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。 如: cos ? x ? ∵? ? x ?

? ?

??

2 ? 3? ? ,x ? ??, ? ,求 x 值。 ??? 6? 2 ? 2?

13 3? 7? ? 5? ? 5? ? ? x? ? ,∴ ,∴ x ? ? ,∴ x ? 12 2 6 6 3 6 4

28.在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗? 如:函数 y ? sin x ? sin | x | 的值域是

x ? 0 时, y ? 2sin x ?[?2, 2] , x ? 0 时, y ? 0 ,∴ y ? [?2, 2]
29.熟练掌握三角函数图象变换了吗?

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(平移变换、伸缩变换) 平移公式: (1)点 P ,则 ? (x,y)????? ' x ',y ') ? P( 平移至
?

a?(h,k )

?x ' ? x ? h ?y ' ? y ? k

(2)曲线 f ( x,y ) ? 0 沿向量 a ? ( h,k ) 平移后的方程为 f ( x ? h,y ? k ) ? 0 如:函数 y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1的图像经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的图象? 4?
横坐标伸长到原来的2倍 ??????? ?

?? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 4? ?

? ?1 ? ? ? y ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? 1 ? ?2 ? 4?
上平移1个单位 ????? ?

?? ? ? 2sin ? x ? ? ? 1 4? ?
1 纵坐标缩短到原来的 倍 2

????? ?

左平移 个单位 4

?

y ? 2sin x ? 1

y ? 2sin x

???????? y ? sin x
30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗? 如 :

1?

s2 ? i ?n

2 ? ? c o? s ?2

?s ? 2 e ? · c

? ?t a ? ·n

? ??t a ? n
4

?
2

c o t

c

? cos 0 ? ……称为 1 的代换。

· “k
偶数。

?
2

? ? ”化为 ? 的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象限” ,“奇”、“偶”指 k 取奇、

如: cos

9? ? 7? ? tan ? ? 4 ? 6

? ? ? sin ? 21? ? ? ?

又如:函数 y ? A.正值或负值

sin ? ? tan ? ,则 y 的值为 cos ? ? cot ?
B.负值 C.非负值 D.正值

sin ? sin 2 ? ? cos ? ? 1? cos ? y? ? ? 0 ,∵ ? ? 0 cos ? cos 2 ? ? sin ? ? 1? cos ? ? sin ? sin ? ?
31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗? 理解公式之间的联系:
令? ? ? ? sin 2? ? 2sin ? cos ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ???

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cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? sin ? sin ?
? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?

令? ? ? ??? ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ?

tan ?? ? ? ? ?
cos 2 ? ?

2 tan ? tan ? ? tan ? , tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 1 tan ? · tan ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? 2 2 b a

a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ?, tan ? ?

?? ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? ? ? ? 4? ?
sin ?? 3 co ?s ?

?? ? 2?s ? i? n ? 3? ?

应用以上公式对三角函数式化简。 (化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函 数,能求值,尽可能求值。 ) 具体方法: (1)角的变换:如 ? ? ?? ? ? ? ? ?, (2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。

? ??
2

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …… 2? ?2 ? ?

sin ? cos ? 2 ? 1, tan ?? ? ? ? ? ? ,求 tan ? ? ? 2? ? 的值。 1 ? cos 2? 3 sin ? cos ? cos ? 1 ? ? 1 ,∴ tan ? ? 由已知得: 2 2sin ? 2sin ? 2 2 又 tan ? ? ? ? ? ? , 3 2 1 ? tan ? ? ? ? ? ? tan ? 3 2 ?1 ∴ tan ? ? ? 2? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? tan ? ? ? · tan ? ? 2 1 8 ? ? 1? · 3 2
如:已知 32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形? 余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ? cos A ?
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 2bc

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(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。 )

?a ? 2 R sin A a b c ? ? ? ? 2 R ? ?b ? 2 R sin B 正弦定理: sin A sin B sin C ?c ? 2 R sin C ?
S? ? 1 a · b sin C 2

sin ∵ A ? B ? C ? ? ,∴ A ? B ? ? ? C ,∴ sin ? A ? B ? ? sin C,
如: ?ABC 中, 2sin (1)求角 C (2)若 a ? b ?
2 2
2

A? B ? cos 2C ? 1 2

A? B C ? cos 2 2

c2 ,求 cos 2 A ? cos 2 B 的值 2
2

(1)由已知得 1 ? cos ? A ? B? ? 2cos C ?1 ? 1
2 又 A ? B ? ? ? C ,∴ 2cos C ? cos C ? 1 ? 0 ,∴ cos C ?

又 0 ? C ? ? ,∴ C ?
2

?
3

1 或 cos C ? ?1 (舍) 2

(2)由正弦定理及 a ? b ?
2

1 2 ? 3 c 得 2sin 2 A ? 2sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 ? 2 3 4 3 3 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B ? ,∴ cos 2 A ? cos 2 B ? ? 4 4

33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。 反正弦: arcsin x ? ? ?

? ? ?? , ,x ? ? ?11 , ? ? 2 2? ?

反余弦: arccos x ??0,? ?,x ???11 , ? 反正切: arctan x ? ? ? 34.不等式的性质有哪些? (1) a ? b,

? ? ?? , ?, ? x ? R? ? 2 2?

c ? 0 ? ac ? bc c ? 0 ? ac ? bc

(2) a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d (3) a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? ac ? bd

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(4) a ? b ? 0 ?

1 1 1 1 ? ,a ? b ? 0 ? ? a b a b
n n

n (5) a ? b ? 0 ? a ? b , a?nb

(6) | x |? a ? a ? 0? ? ?a ? x ? a, | x |? a ? x ? ?a 或 x ? a 如:若
2

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是 a b
2

A. a ? b 答案:C

B. ab ? b

2

C. | a | ? | b |?| a ? b |

D.

a b ? ?2 b a

35.利用均值不等式:

? a?b ? a 2 ? b2 ? 2ab ? a,b ? R ? ?;a ? b ? 2 ab;ab ? ? ? 求最值时,你是否注意到 ? 2 ?
“ a,b ? R ”且“等号成立”时的条件,积( ab )和( a ? b )其中之一为定值?(一正、二 定、三相等) 注意如下结论:
?

2

a 2 ? b2 a ? b 2ab ? ? ab ? ? a,b ? R? ? ,当且仅当 a ? b 时等号成立 2 2 a?b

a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ? ,当且仅当 a ? b ? c 时等号成立
a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0 ,则

b b?m a?n a ? ?1? ? a a?m b?n b

2 ? 3x ? 如:若 x ? 0,
设 y ? 2 ? ? 3x ?

4 的最大值为 x

? ?

4 4? ? ? 2 ? 2 12 ? 2 ? 4 3 ,当且仅当 3 x ? x 成立, x?

又 x ? 0 ,∴ x ?

2 3 时, ymax ? 2 ? 4 3 3
x y

又如: x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值为 ∵ 2x ? 22 y ? 2 2x?2 y ? 2 21 ,∴最小值为 2 2 36.不等式证明的基本方法都掌握了吗? (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)

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并注意简单放缩法的应用。 如:证明 1 ?

1 1 1 ? 2 ?…? 2 ? 2 2 2 3 n

1?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? …… ? 2 ? 1 ? ? ? …… ? 2 2 3 n 1? 2 2 ? 3 ? n ? 1? n

1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? …… ? ? ? 2? ? 2 2 2 3 n ?1 n n
37.解分式不等式

f ( x) ? a ? a ? 0 ? 的一般步骤是什么? g ( x)

(移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果。 ) 38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始

如: ? x ? 1?? x ? 1?

2

? x ? 2?

3

?0

39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如:对数或指数的底分 a ? 1 或 0 ? a ? 1 讨论 40.对含有两个绝对值的不等式如何去解? (找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。 ) 如:解不等式 | x ? 3 | ? | x ? 1|? 1 解集为 ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

41.会用不等式 | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | 证明较简单的不等问题
2 如:设 f ( x) ? x ? x ? 13 ,实数 a 满足 | x ? a |? 1 ,求证: | f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1)

证明: | f ( x) ? f (a) |?| ( x ? x ? 13) ? (a ? a ?13) |?| ( x ? a)( x ? a ?1) | ( | x ? a |? 1)
2 2

?| x ? a || x ? a ? 1|?| x ? a ? 1|?| x | ? | a | ?1
又 | x | ? | a |?| x ? a |? 1 ,∴ | x |?| a | ?1 ,∴ | f ( x) ? f (a) |? 2 | a | ?2 ? 2 ?| a | ?1? (按不等号方向放缩)

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42.不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△ ”问题) 如: a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最小值

a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最大值 a ? f ( x) 能成立 ? a ? f ( x) 的最小值
如:对于一切实数 x ,若|x ? 3| ? | x ? 2 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是 设 u ?| x ? 3 | ? | x ? 2 | ,它表示数轴上到两定点 ?2 和 3 距离之和

umin ? 3 ? ? ?2? ? 5 ,∴ 5 ? a ,即 a ? 5
或者: | x ? 3| ? | x ? 2 |?| ? x ? 3? ? ? x ? 2? |? 5 ,∴ a ? 5 43.等差数列的定义与性质 定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数) , an ? a1 ? ? n ?1? d 等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 前 n 项和 Sn ?

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

性质: ?an ? 是等差数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; (2)数列 ?a2n?1?, ?a2n ?, ?kan ? b? 仍为等差数列, Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差数 列 (3)若三个成等差数列,可设为 a ? d,a,a ? d (4)若 an,bn 是等差数列, Sn,Tn 为前 n 项和,则

am S2 m?1 ? bm T2 m?1

(5)?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn( a, b 为常数, 是关于 n 的常数项为 0 的二次函数)

Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值;或者求出 ?an ? 中的正、负分界项,
即:当 a1 ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ?

? an ? 0 可得 Sn 达到最大值时的 n 值。 ? an ?1 ? 0

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当 a1 ? 0,d ? 0 ,由 ?

? an ? 0 可得 Sn 达到最小值时的 n 值。 ? an ?1 ? 0

如:等差数列 ?an ? , Sn ? 18,an ? an?1 ? an?2 ? 3,S3 ? 1,则 n ? 由 an ? an?1 ? an?2 ? 3 ? 3an?1 ? 3 ,∴ an ?1 ? 1 又 S3 ?

? a1 ? a3 ?· 3 ? 3a
2

2

? 1 ,∴ a2 ?

1 3

?1 ? ? 1? n a1 ? an ? n ? a2 ? an ?1 ? · n ? ? 3 ? ? ? ? ? 18 ,∴ n ? 27 ∴ Sn ? 2 2 2
44.等比数列的定义与性质 定义:

an ?1 , an ? ? q ( q 为常数, q ? 0 ) a q1 an

n ?1

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G2 ? xy ,或 G ? ? xy

?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: S n ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意! ) (q ? 1) ? ? 1? q
性质: ?an ? 是等比数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am · an ? a p · aq (2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列 45.由 Sn 求 an 时应注意什么?

n ? 1 时, a1 ? S1 , n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1
46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗? 例如: (1)求差(商)法 如:数列 ?an ? , 解: n ? 1 时,

1 1 1 a1 ? 2 a2 ? …… ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2
① ②

1 a1 ? 2 ? 1 ? 5 ,∴ a1 ? 14 2 1 1 1 n ? 2 时, a1 ? 2 a2 ? …… ? n ?1 an ?1 ? 2n ? 1 ? 5 2 2 2

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①—②得:

?14 (n ? 1) 1 a ? 2 ,∴ an ? 2n?1 ,∴ an ? ? n ?1 n n 2 ?2 (n ? 2)
5 an ?1,a1 ? 4 ,求 an 3

[练习]数列 ?an ? 满足 S n ? S n ?1 ? 注意到 an?1 ? Sn?1 ? Sn ,代入得

Sn ?1 ?4 Sn

又 S1 ? 4 ,∴ ?Sn ? 是等比数列, Sn ? 4n

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? …… ? 3 · 4n?1
(2)叠乘法 如:数列 ?an ? 中, a1 ? 3,n ?1 ?

a an

n ,求 an n ?1

解:

a a a2 a3 1 2 n ?1 1 ,∴ n ? · …… n ? · …… a1 a2 an?1 2 3 n a1 n
3 n

又 a1 ? 3 ,∴ an ?

(3)等差型递推公式 由 an ? an?1 ? f (n),a1 ? a0 ,求 an ,用迭加法

? a3 ? a2 ? f (3) ? ? n ? 2 时, ? 两边相加得 an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) …… …… ? an ? an ?1 ? f ( n) ? ?
∴ an ? a0 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) [练习]数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,an ? 3
n?1

a2 ? a1 ? f (2)

? an?1 ? n ? 2? ,求 an

an ?

1 n ? 3 ? 1? 2

(4)等比型递推公式

an ? can?1 ? d ( c、 d 为常数, c ? 0,c ? 1,d ? 0 )
可转化为等比数列,设 an ? x ? c ? an?1 ? x ? ? an ? can?1 ? ? c ?1? x

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令 (c ? 1) x ? d ,∴ x ?

d d d ? ? ,c 为公比的等比数列 ,∴ ?an ? ? 是首项为 a1 ? c ?1 c ?1 c ? 1? ?

∴ an ?

d d ? n ?1 d ? n ?1 d ? ? ? ? a1 ? · c ,∴ an ? ? a1 ? ? ?c ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ?

[练习]数列 ?an ? 满足 a1 ? 9, 3an?1 ? an ? 4 ,求 an

? 4? an ? 8 ? ? ? ? 3?
(5)倒数法

n ?1

?1

如: a1 ? 1 ,an?1 ?

2an ,求 an an ? 2

由已知得:

a ?2 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ,∴ ? ? an?1 2an 2 an an?1 an 2

∴?

?1? 1 1 1 1 1 · ? ? n ? 1? , ? 为等差数列, ? 1 ,公差为 ,∴ ? 1 ? ? n ? 1? 2 a1 an 2 2 ? an ?
2 n ?1

∴ an ?

47.你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗? 例如: (1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 如: ?an ? 是公差为 d 的等差数列,求

?a a
k ?1 k

n

1
k ?1

解:由

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? d ? 0? ak· ak ?1 ak ? ak ? d ? d ? ak ak ?1 ?



?a a
k ?1 k

n

1
k ?1

n ?1 1? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ?? ak ?1 ? d ?? a1 a2 ? ? a2 a3 ? k ?1 d ? ak ? an an ?1 ? ?

?

1? 1 1 ? ? ? ? d ? a1 an ?1 ?
1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n

[练习] 求和: 1 ?

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an ? …… ? ……,Sn ? 2 ?
(2)错位相减法:

1 n ?1

若 ?an ? 为等差数列,?bn ? 为等比数列, 求数列 ?anbn ?(差比数列) 前 n 项和, 可由 Sn ? qSn , 求 Sn ,其中 q 为 ?bn ? 的公比。 如: Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ……? nxn?1 ① ②

x · Sn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? 4x4 ? ……? ? n ?1? xn?1 ? nxn
①—② ?1 ? x ? Sn ? 1 ? x ? x ? ……? x
2 n?1

? nxn
n ? n ? 1? 2

x ? 1 时, S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x ?

2

1? x

, x ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?

(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

Sn ? a1 ? a2 ? …… ? an ?1 ? an ? ? 相加 2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? …? ? a1 ? an ?… Sn ? an ? an ?1 ? …… ? a2 ? a1 ?
[练习] 已知 f ( x) ?

x2 ,则 f (1) ? f (2) ? 1 ? x2
2

?1? f ? ? ? f (3) ? ?2?

?1? f ? ? ? f (4) ? ? 3?

?1? f ? ?? ?4?

?1? ? ? 2 2 x ?1? ? x ? ? x ? 1 ?1 由 f ( x) ? f ? ? ? ? 2 2 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? 1? x 1? x 1? ? ? ? x?
∴原式 ? f (1) ? ? f (2) ? f ? ?? ? ? f (3) ? f ? ?? ? ? f (4) ? f ? ?? ?

? ?

? 1 ?? ? ? 2 ?? ?

? 1 ?? ? ? 3 ?? ?

? 1 ?? ? 4 ??

1 1 ?1?1?1 ? 3 2 2

48.你知道储蓄、贷款问题吗? △ 零存整取储蓄(单利)本利和计算模型: 若每期存入本金 p 元,每期利率为 r,n 期后,本利和为:

n ? n ? 1? ? ? S n ? p ?1 ? r ? ? p ?1 ? 2r ? ? …… ? p ?1 ? nr ? ? p ? n ? r ? …… 等差问题 2 ? ?
△ 若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归还本 息的借款种类)

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若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为 第一次还款日,如此下去,第 n 次还清。如果每期利率为 r(按复利) ,那么每期应还 x 元,满足

p(1 ? r ) ? x ?1 ? r ?
n

n ?1

? x ?1 ? r ?

n?2

n ?1 ? ?1 ? r ?n ? 1 ? r ? ?1 ? ? …… ? x ?1 ? r ? ? x ? x ? ??x 1 ? 1 ? r r ? ? ? ? ? ?

∴x?

pr ?1 ? r ?

n

?1 ? r ?

n

?1

p——贷款数,r——利率,n——还款期数 49.解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。 (1)分类计数原理: N ? m1 ? m2 ? ……? mn ( mi 为各类办法中的方法数) 分步计数原理: N ? m· 1 m2……mn ( mi 为各类办法中的方法数) (2)排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从
m n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列,所有排列的个数记为 An
m An ? n ? n ? 1?? n ? 2 ?……? n ? m ? 1? ?

n! ? m ? n ? ,规定 0! ? 1 ? n ? m ?!

(3)组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个不同元素中取
m 出 m 个元素的一个组合,所有组合的个数记为 Cn
m n ? n ? 1?……? n ? m ? 1? An n! 0 ,规定 Cn ?1 ? ? m Am m! m!? n ? m ?!

m Cn ?

m n ?m m m?1 m 0 1 n (4)组合数性质: Cn ? Cn ,Cn ? Cn ? Cn ,Cn ? Cn ? ……? Cn ? 2n ?1

50.解排列与组合问题的规律是: 相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间 接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。

2, 3, 4) ,且满足 如:学号为 1,2,3,4 的四名学生的考试成绩 xi ??89, 90,, 9192, 93? (i ? 1,

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,则这四位同学考试成绩的所有可能情况是
A.24 解析:可分成两类: (1)中间两个分数不相等 B.15 C.12 D.10

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4 有 C5 ? 5 (种)

(2)中间两个分数相等

x1 ? x2 ? x3 ? x4
相同两数分别取 90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有 3,4,3 种, ∴ 有 10 种。∴ 共有 5+10=15(种)情况 51.二项式定理
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? …? Cn a b ? …? Cn b r n ?r r r 二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn 为二项式系数(区别于该项的 a b (r ? 01 , ……n) , Cn

系数) 性质: (1)对称性: Cn ? Cn
r n ?r

, , 2,……,n? ? r ? 01

0 1 n 1 3 5 0 2 4 (2)系数和: Cn ? Cn ? …? Cn ? 2n , Cn ? Cn ? Cn ? … ? Cn ? Cn ? Cn ? … ? 2n?1

(3)最值:n 为偶数时,n+1 为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第 ?
n 2 n

?n ? ? 1 ? 项,二项 ?2 ?
n ?1 项及第 2

式系数为 C ; n 为奇数时, (n ? 1) 为偶数,中间两项的二项式系数最大,即第
n ?1 n ?1 n ?1 ? 1 项,其二项式系数为 Cn 2 ? Cn 2 2

如:在二项式 ? x ? 1? 的展开式中,系数最小的项系数为(用数字表示)
11

∵ n=11 ,∴共有 12 项,中间两项系数的绝对值最大,且为第 由 C11 x 又
r 11?r

12 ? 6 或第 7 项 2

6 5 (?1)r ,∴取 r ? 5 ,即第 6 项系数为负值为最小 ?C11 ? ?C11 ? ?426





?1 ? 2 x ?

2

? a0 ? a x ?1a x 2 ? …… ?a 2

0

0

4

x

2 0 0 x? ? 2 R ?0

, 0
4

4

4则

? a0 ? ? a1? ?

? ?a0 ?

a2 ? ?……a0??

a3 ? ?

(用数字作答) ? a ? a2 0 ? 0 0

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令 x ? 0 ,得 a0 ? 1 ;令 x ? 1 ,得 a0 ? a2 ? ……? a2004 ? 1 ∴原式 ? 2003a0 ? ? a0 ? a1 ? ……? a2004 ? ? 2003?1?1 ? 2004) 52.你对随机事件之间的关系熟悉吗? (1)必然事件 ?,P??) ? 1 ,不可能事件 ?,P(? ) ? 0 (2)包含关系: A ? B , “ A 发生必导致 B 发生”称 B 包含 A

A

B

(3)事件的和(并) : A? B 或 A

B, “ A 与 B 至少有一个发生”叫做 A 与 B 的和(并) 。

· B或A (4)事件的积(交) :A

B, “ A 与 B 同时发生”叫做 A 与 B 的积

· B?? , (5)互斥事件(互不相容事件) :A “A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。

(6)对立事件(互逆事件) :A 事件 A

A ? ?,A A ? ? , “A 不发生”叫做 A 发生的对立(逆)

(7)独立事件:A 与 B 独立,A 与 B , A 与 B 也相互独立,A 发生与否对 B 发生的概率没

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有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。 53.对某一事件概率的求法: 分 清 所 求 的 是 :( 1 ) 等 可 能 事 件 的 概 率 ( 常 采 用 排 列 组 合 的 方 法 , 即

P( A) ?

A包含的等可能结果 m ? 一次试验的等可能结果的总数 n

(2)若 A、B 互斥,则 P ? A ? B ? ? P( A) ? P(B) (3)若 A、B 相互独立,则 P ? A · B? ? P ? A? · P ? B? (4) P( A) ? 1 ? P( A) (5)如果在一次试验中 A 发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生 k 次的
k k 概率: Pn ( k ) ? Cn p ?1 ? p ? n?k

如:设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率。 (1)从中任取 2 件都是次品: ? P 1 ?

? ?

2 C4 2? ? ? 2 C10 15 ? 2 3 C4 C6 10 ? ? ? 5 C10 21 ?

(2)从中任取 5 件恰有 2 件次品: ? P2 ?

? ?

(3)从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品: 解析:有放回地抽取 3 次(每次抽 1 件) ,∴ n=103
2 而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”, ∴m ? C3 · 4261 ? 43

C32 · 42 · 6 ? 43 44 P3 ? ? 103 125
(4)从中依次取 5 件恰有 2 件次品: 解析:∵ 一件一件抽取(有顺序) ,∴n ? A ,m ? C A A
5 10 2 4 2 5 3 6 ,∴ 4
2 2 3 C4 A5 A6 10 P ? ? 5 A10 21

分清(1) 、 (2)是组合问题, (3)是可重复排列问题, (4)是无重复排列问题。 54.抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特 征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分, 每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的

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共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。 55.对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估 计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法: (1)算数据极差 ? xmax ? xmin ? (2)决定组距和组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)画频率直方图。 其中,频率=小长方形的面积=组距× 样本平均值: x ?

频率 组距

1 ? x1 ? x2 ? …… ? xn ? n 1 2 2 2 2 样本方差: S ? ?? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? …… ? ? xn ? x ? ? ? ? n
如:从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参 赛队的概率为____________。
4 C10 C52 6 C15

56.你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。 (2)向量的模——有向线段的长度, | a | (3)单位向量 | a 0 |? 1 , a0 ?
? ? ?

?

?

?

a

|a|
| 0 |? 0 (4)零向量 0 ,
(5)相等的向量 ? ? 而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。

?

?长度相等 ?方向相同

, a ? b ,在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动

?

?

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?

b ∥a ( b ? 0) ? 存在唯一实数 ? ,使 b ? ? a

?

?

?

?

?

(7)向量的加、减法如图:

? ? ? ? ? ? OA? OB ? OC , OA? OB ? BA
(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
?

e1 , e 2 是平面内的两个不共线向量, a 为该平面任一向量,则存在唯一实数对 ?1、?2 ,
? ? ? ?

?

?

使得 a ? ?1 e 1 ? ?2 e 2 , e1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 (9)向量的坐标表示

?

? ?

i, j 是一对相互垂直的单位向量,则有且只有一对实数 x, y ,使得 a ? x i ? y j ,称
?

?

?

?

( x,y) 为向量 a 的坐标,记作: a ? ? x,y ? ,即为向量的坐标表示。

?

b ? ? x2,y2 ? ,则 a ? b ? ? x1,y1 ? ? ? y1,y2 ? ? ? x1 ? y1,x2 ? y2 ? 设 a ? ? x1,y1 ?,

?

?

?

?

? a ? ? ? x1,y1 ? ? ? ? x1,? y1 ?
若 A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1,y2 ? y1 ? ,

?

?

? | AB |?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2
? ?

2

, A、B 两点距离公式

57.平面向量的数量积

· b ?| a |· | b | cos ? 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积) (1) a , ? 为向量 a 与 b 的夹角,
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? ?

?

?

?

?

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? ??0,? ?
? b
O B

?
D
? ?

? a
A

· b 等于 a 与 b 在 a 的方向上的射影 | b | cos ? 的乘积 数量积的几何意义: a
(2)数量积的运算法则

? ?

?

· b ? b· a ①a
? ? ?

? ?

? ?

· c ? b· c ② (a ? b) c ? a
? ?

? ?

? ?

· b ? ? x1,y1 ? · ? x2,y2 ? ? x1 x2 ? y1 y2 ③a
· b· ) c?a · ( b· c ) 注意:数量积不满足结合律 ( a
? ? ? ? ? ?

b ? ? x2,y2 ? (3)重要性质:设 a ? ? x1,y1 ?,
① a ⊥b ? a · b ? 0 ? x· 1 x2 ? y· 1 y2 ? 0
? ? ? ?

?

?

· b ?| a |· | b | 或 a · b ? ? | a |· | b | ? a ? ? b ( b ? 0 , ? 唯一确定) ② a ∥b ? a

?

?

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
2 ③ a ?| a |2 ? x1 ? y12, |a · b |?| a |· | b | ?2 ? ? ? ? ?

? ?

④ cos ? ? [练习]

a ·b

| a |· | b |

?

?

?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12· x2 ? y2

BC ? b , AC ? c ,则 | a ? b ? c |? (1)已知正方形 ABCD ,边长为 1, AB ? a ,
答案: 2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1? b ? ? 4,x ? ,当 x ? (2)若向量 a ? ? x,,
答案:2

?

?

时, a 与 b 共线且方向相同

?

?

b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 | a ? 3 b |? (3)已知 a 、
o

?

?

?

?

2014 年 5 月 31 日星期六

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答案: 13 58.线段的定比分点

P 点在 l 上且不同 设P ,y1 ?,P ,y ? ,设 P 1、P 2 是直线 l 上两点, 1 ? x1 2 ? x2,y2 ? ,分点 P ? x
于P 若存在一实数 ? , 使 PP ( ? ? 0 ,P ? ? PP2 ,则 ? 叫做 P 分有向线段 PP 1 1 2 所成的比 1、P 2,

?

?

?

? x? ? ? P 在 线 段 PP 在 线 段 PP ,且 ? 1 2 内, ? ? 0 , 1 2 外) ?y ? ? ? x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
如: ?ABC,A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,C ? x3,y3 ? 则 ?ABC 重心 G 的坐标是 ?

x1 ? ? x2 1? ? , P 为 线 段 PP 1 2 中点时, y1 ? ? y2 1? ?

? x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 ? , ? 3 3 ? ?

※ .你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗? 59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗? 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:

线∥线 ? ?? 线∥面 ? ?? 面∥面 判定 性质 ? ??? 线⊥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面⊥面 ???? 线 面 平 行 的 判 定 : 线∥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面∥面
a∥b,b ? 面?,a ? ? ? a∥面?

a b

??
线面平行的性质: ?∥面?,? ? 面?,? 三垂线定理(及逆定理) :

? ? b ? a∥b

2014 年 5 月 31 日星期六

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PA⊥面? , AO 为 PO 在 ? 内射影, a ? 面? ,则 a⊥OA ? a⊥PO;a⊥PO ? a⊥AO

P

??
O a
线面垂直: a⊥b,a⊥c,b,c ? ?,b

c ? O ? a⊥?
a

α

b

O c

面面垂直: a⊥面?,a ? 面? ? ?⊥? , 面?⊥面?,?

? ? l,a ? ?,a⊥l ? a⊥?

α

a

l
β

a⊥面?,b⊥面? ? a∥b; 面?⊥a,面?⊥a ? ?∥?
a b

??
60.三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角 θ,0° <θ≤90°

(2)直线与平面所成的角 θ,0°≤θ≤90°

2014 年 5 月 31 日星期六

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?=0o时,b∥?或b ? ?

0 ? ? ? 180 (3)二面角:二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ?,
o

o

三垂线定理法:A∈ α 作或证 AB⊥ β 于 B,作 BO⊥ 棱于 O,连 AO,则 AO⊥ 棱 l,∴ ∠ AOB 为 所求。 三类角的求法: ① 找出或作出有关的角。 ② 证明其符合定义,并指出所求作的角。 ③ 计算大小(解直角三角形,或用余弦定理) 。 [练习] (1)如图,OA 为 α 的斜线 OB 为其在 α 内射影,OC 为 α 内过 O 点任一直线。证明:

cos ? ? cos ? · cos ?
A

α B β ????????????????????????C? D O θ

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? 为线面成角,∠AOC =? ,∠BOC =?
(2) 如图, 正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8, BD1 与侧面 B1BCC1 所成的为 30° 。 ① 求 BD1 和底面 ABCD 所成的角; ② 求异面直线 BD1 和 AD 所成的角; ③ 求二面角 C1—BD1—B1 的大小。
A1 D1 B1 H G D A C B C1

3 6 ① arcsin ;②60o;③ arcsin 4 3

P

F

(3)如图 ABCD 为菱形,∠ DAB=60° ,PD⊥ 面 ABCD, 且 PD=AD, 求面 PAB 与面 PCD 所成的锐二 面角的大小。 ∵ AB∥ DC, P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点, 作 PF∥ AB,则 PF 为面 PCD 与面 PAB 的交线…… 61.空间有几种距离?如何求距离? 点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理法,或 者用等积转化法) 。
D C B

D

C

A

E

B

如:正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,则: (1)点 C 到面 AB1C1 的距离为___________; (2)点 B 到面 ACB1 的距离为____________; (3)直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为____________; (4)面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为____________; (5)点 B 到直线 A1C1 的距离为_____________。
A1 D1 B1 C1 A

62.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质? 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:

R t? S O, B

R ?t S , OE ?Rt 和 BRt O? E SBE

它们各包含哪些元素?

2014 年 5 月 31 日星期六

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1 1 S正棱锥侧 ? C · h ' ( C —底面周长, h ' 为斜高) , V锥 ? 底面积× 高 2 3
63.球有哪些性质? (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面 r ?

R2 ? d 2

(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角! (3)如图,θ 为纬度角,它是线面成角;α 为经度角,它是面面成角。 (4) S球 ? 4? R ,V球 ?
2

4 ? R3 3

(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与 内切球半径 r 之比为 R:r=3:1。 如:一正四面体的棱长均为 2 ,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积为 A. 3? 答案:A 64.熟记下列公式了吗? ( 1 ) l 直 线 的 倾 斜角 ? ? ?0,? ?,k ? tan ? ?
?

B. 4?

C. 3 3?

D. 6?

y2 ? y1 ? ? ? ,y1 ? , ? ? ? ,x1 ? x2 ? , P 1 ? x1 x2 ? x1 ? 2 ?

,k ? P 2 ? x2,y2 ? 是 l 上两点,直线 l 的方向向量 a ? ?1
(2)直线方程: 点斜式: y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ( k 存在) 斜截式: y ? kx ? b 截距式:

x y ? ?1 a b

一般式: Ax ? By ? C ? 0 ( A、B 不同时为零) (3)点 P ? x0,y0 ? 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(4) l1 到 l2 的到角公式: tan ? ? 65.如何判断两直线平行、垂直?

k2 ? k1 k ? k1 | ; l1 与 l2 的夹角公式: tan ? ?| 2 1 ? k1k2 1 ? k1k2

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A1 B2 ? A2 B1 ? ? ? l1∥l2 , k1 ? k2 ? l1∥l2 (反之不一定成立) A1C2 ? A2C1 ?
A1 A2 ? B1B2 ? 0 ? l1⊥l2 , k· 1 k2 ? ?1 ? l1⊥l2
66.怎样判断直线 l 与圆 C 的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。 67.怎样判断直线与圆锥曲线的位置? 联立方程组 ? 关于 x (或 y )的一元二次方程 ? “ ? ”
O F1 F2 a x y b

x?

a2 c

? ? 0 ? 相交; ? ? 0 ? 相切; ? ? 0 ? 相离
68.分清圆锥曲线的定义

2a ? 2c ?| F1F2 | ?椭圆 ?| PF1 | ? | PF2 |? 2a, ? 2a ? 2c ?| F1F2 | 第一定义 ?双曲线 ?|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a, ?抛物线 ?| PF |?| PK | ?
第二定义: e ?

| PF | c ? | PK | a
e>1 e=1 P 0<e<1 F k

0 ? e ? 1 ? 椭圆; e ? 1 ? 双曲线; e ? 1 ? 抛物线

x y ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 a b x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0,b ? 0 ? ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 a b
69.与双曲线

2

2

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 0? 有相同焦点的双曲线系为 a 2 b2 a 2 b2

70.在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零?△ ≥0 的 限制。 (求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△ ≥0 下进行。 ) 弦长公式 | P 1P 2 |?

x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2

2

1 ? 2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?1 ? 2 ? ?? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? ? ? ? ? k ?

71.会用定义求圆锥曲线的焦半径吗? 如:

? | PF2 | x2 y 2 a2 ? ? ? 1, ? e , | PF | ? e x ? ? 0 ? ? ex0 ? a,| PF1 |? ex0 ? a 2 a2 b2 | PK | c ? ?
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y P(x0,y0) K

y A P2

F1

O

F2

x

O P1

F

x

l

B

y2 ? 2 px ? p ? 0? ,
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。 如:椭圆 mx2 ? ny 2 ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 M 、N 两点,原点与 MN 中点连线的斜率为

m 2 ,则 的值为 n 2
答案:

m 2 ? n 2

73.如何求解“对称”问题? (1)证明曲线 C:F(x,y)=0 关于点 M(a,b)成中心对称,设 A(x,y)为曲线 C 上 任意一点,设 A'(x',y')为 A 关于点 M 的对称点。 由a ?

x ? x' y ? y' ,b ? ? x ' ? 2a ? x,y ' ? 2b ? y ,只要证明 A ' ? 2a ? x, 2b ? y ? 也 2 2

在曲线 C 上,即 f ( x ') ? y ' (2)点 A、A ' 关于直线 l 对称 ? ?

?k AA· ? AA '⊥l ' kl ? ?1 ?? 上 ? AA '中点在 l ? AA '中点坐标满足l方程

74.圆 x2 ? y 2 ? r 2 的参数方程为 ?

? x ? r cos ? ( ? 为参数) ? y ? r sin ?

椭圆

? x ? a cos ? x2 y 2 ? 2 ? 1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) 2 a b y ? b sin ? ?

75.求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。 直接法、定义法、转移法、参数法 76.对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线,求出

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目标函数的最值。

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