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河北省唐山一中2013届高三第一次月考数学(文)试题


唐山一中 2013 届高三第一次月考数学(文)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.已知集合 M ? {x | A.(-

x ?1 ? 1} ,集合 N ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ,则 (C R M ) ? N ? ( x ?1
B.(-

)

3 ,1 ) 2

3 ,1 ] 2

C.[-

3 ,1 ) 2

D.[-

3 ,1 ] 2
)

2.已知 ? 是第二象限角,且 sin( ? ? ? ) ? ? A.

3 ,则 tan2 ? 的值为( 5
C. ) C. f ( x) ? ( ) | x|

4 5

B. ?

23 7

24 7

D. ?

24 7

3.下列函数中,在其定义域是减函数的是( A. f ( x) ? ? x ? 2 x ? 1
2

B. f ( x) ?

1 x

1 4

D. f ( x) ? ln(2 ? x) )

4. 下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? 2 sin( 2 x ? C. y ? 2 sin(

?
3

对称的函数是(

?
3

)

B. y ? 2 sin( 2 x ? D. y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) )
) D.(0,1) )

x ? ? ) 2 3

?
3

5. 函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A.(3,4)

2 的零点所在的大致区间是( x
C.(1,2)

B.(2,e)
2

6.已知二次函数 f ( x) ? x ? ax ? 4 ,若 f ( x ? 1) 是偶函数,则实数 a 的值为( A. -1 B.1 C.-2 D.2

7. 已知 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是(



2? 5? D. 3 6 8. 各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a2 ? 1 ? a1 , a4 ? 9 ? a3 ,则 a 4 ? a5 等于(
A. B. C. A.16 9. 函数 y ? 2 sin( A. [0, B.27 C.36 ) D. [ D.-27

? 6

? 3



?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是(
B. [

? ] 3

?
12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

5? , ?] 6

10.已知函数 f ( x) ? ?

?? x ? 1(?1 ? x ? 0) ,则 f ( x) ? f (? x) ? ?1 的解集为( ?? x ? 1(0 ? x ? 1)
B.[-1,-

)

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

1 )∪(0,1] 2 1 ]∪(0,1) 2
) D.6

C.(-∞,0)∪(1,+∞)

D.[-1,-

11.若数列 ?n(n ? 4)( ) n ? 中的最大项是第 k 项,则 k ? ( A.3 B.4 C.5

? ?

2 ? 3 ?

12.已知函数 f ( x) ? e x ?1, g ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3 ,若有 f (a) ? g (b) ,则 b 的取值范围为 ( ) A. ? 2 ? 2, 2 ? 2 ? C. ?1,3? D. ?1,3?

?

?

B. (2 ? 2, 2 ? 2)

第Ⅱ卷
二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ) 13.若幂函数 f ( x ) 的图象过点 (?8, 4) ,则该幂函数的解析式为 .

14.数列 ?an ? 中,a1 ? 5, an ? 2an?1 ? 2 n ? 1(n ? N ? , n ? 2) , 若存在实数 ? , 使得数列 ? 为等差数列,则 ? = .

? an ? ? ? ? n ? 2 ?

?x ? 2 y ? 2 ? 15.设变量 x, y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 4 则目标函数 z ? 3x ? y 的取值范围是________. ?4 x ? y ? ?1 ?
3 2 16. 已知函数 f (x ) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 的对称中心为 M (x 0 , y 0 ) ,记函数 f (x ) 的导

函数为 f (x ) , f (x ) 的导函数为 f

/

/

//

(x ) ,则有 f // (x 0 ) ? 0 。若函数
? 2 ? f? ? ? ... ? ? 2012 ? ? 4022 ? ? 4023 ? f? ? ?f ? ?? ? 2012 ? ? 2012 ?

? 1 ? f ? x ? ? x3 ? 3x2 ,则可求得: f ? ?? ? 2012 ?
.

三.解答题:(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
2 17(10 分)命题 p :关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 4 ? 0 ,对一切 x ? R 恒成立,命题 q :函数

f ( x) ? (3 ? 2a) x 是增函数,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值范围.

18(12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x .
3 2

(1)若 f (x) 在 ?1,??? 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x ? 3 是 f (x) 的极值点,求 f (x) 在 ?1, a? 上的最小值和最大值.

19.(10 分)在△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A.B.C 所对的边,且满足 sin A ? 2 ? 3 cos A (1)求角 A 的大小
? (2)现给出三个条件:① a ? 2 ② B ? 45 ③ c ? 3b 试从中选出两个可以确定△ABC 的条件写

出你的选择,并以此为依据求△ABC 的面积(只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第 一种方案记分) 20.(12 分)已知 f ( x) ? x ln x.g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 (1)求函数 f (x) 在 ?t , t ? 2?(t ? 0) 上的最小值; (2)对一切 x ? (0,??),2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

21.(12 分)函数 f ( x) ? 6 cos

2

?x
2

? 3 sin ?x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为图

象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (1)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (2)若 f ( x0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 3 3 5

22. (12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 an

? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立.

(1)求 a1 , a2 的值; (2)设 a1 ? 0 ,数列 {lg

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的最大值. an

唐山一中 2013 届高三年级月考答案

数 学 试 卷(文)

18(12 分).已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x .
3 2

(1)若 f (x) 在 ?1,??? 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x ? 3 是 f (x) 的极值点,求 f (x) 在 ?1, a? 上的最小值和最大值.
2 2 解析: (1) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 3 ,要 f (x) 在 ?1,??? 上是增函数,则 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 3 ? 0

在 x ? ?1,??? 恒成立,∴ 故 a ? 0。

a ? 1且3 ? 2a ? 3 ? 0 3

2 (2)由 x ? 3 是 f (x) 的极值点,得 a ? 4 ,∴ f ?( x) ? 3x ? 8x ? 3

而 x ? ?1,3? 时, f ?( x) ? 0 , x ? ?3,4? 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x)在? ,4? 上最大值是 ? 6 ,最小值是 ? 18 1 19.(10 分)在△ABC 中,a.b.c 分别为内角 A.B.C 所对的边,且满足 sin A ? 2 ? 3 cos A (1)求角 A 的大小

20.(12 分)已知 f ( x) ? x ln x.g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 (1)求函数 f (x) 在[t,t+2](t>0)上的最小值 (2)对一切 x ? (0,??),2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

(2) 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3
2

则 a ? 2 ln x ? x ?

则 h ( x) ?
'

2 3 ( x ? 3)( x ? 1) ? 2 ?1 ? x ? (1,??)h ' ( x) ? 0, h( x) 递增 2 x x x

3 3 设 h( x) ? 2 ln x ? x ? x x

x ? (0,1)h ' ( x) ? 0, h( x) 递减



h( x) min ? h(1) ? 4 故所求 a 的范围是(-∞,4]
2

21 函数 f ( x) ? 6 cos

?x
2

? 3 sin ?x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最

高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 3 3 5

?

7 6 5

(2)当 a1>0 时,由(I)知, a1 ?

2 ? 1, a2 ? 2 ? 2;

当 n ? 2时,有( ? 2)an ? s2 ? sn , (2+ 2 )an-1=S2+Sn-1 2 所以,an= 2an?1 (n ? 2) 所以 an ? a1 ( 2 ) n?1 ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ) n?1 令 bn ? lg

10a1 1 100 , 则bn ? 1 ? lg( 2 ) n?1 ? lg n?1 an 2 2
1 lg 2 为公差,且单调递减的等差数列. 2

所以,数列{bn}是以 ? 则 b1>b2>b3>>b7= lg

10 ? lg1 ? 0 8 1 100 1 ? lg1 ? 0 当 n≥8 时,bn≤b8= lg 2 128 2
所以,n=7 时,Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 T7=

(b1 ? b7) 7 21 ? 7 ? lg 2 2 2


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