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天津市五区县2013届高三质量检查试卷(一)理科数学 含答案


天津市五区县 201 3 年高三质量调查试卷(一)
数 学(理工类)

本试卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分 钟,第 1 卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 6 页, 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答卷时,考生务必将答案涂 写在答题卡上,答在试卷上的无效, 祝各位考生考试顺

利 l 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

3?i 等于 1? i (A) 2 ? i (B) 2 ? i (C) 1 ? 2i (D) 1 ? 2i 1 (2)设 x∈R,则“x>0"是“ x ? ? 2 "的 x
(1) i 是虚数单位,复数 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序, 当输入的值为 10 时,输出 S 的值为 (A) 45 (B) 49 (C) 52 (D) 54 (4)在 ( x ? (A) 40 (C) 80

2 5 ) 的二项展开式中, x 2 的系数为 x
(B) -40 (D) -80

(5)在等比数列 ? an ? 中, a1 ? a2 ? ??? ? a5 ? 27, (A)± 9 (C)± 3 (B)9 (D)3

1 1 1 ? ? ??? ? ? 3 ,则 a3 ? a1 a2 a5

(6)设△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c,且 a ? 2, b ? 3,cos C ?

1 ,则 sinA= 4

(A)

15 4 6 4

(B)

15 8 6 4
?

( C)

(D)

1 (7) 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?C ?9 0 ,A B ? 2 ,A C ? , 点 D 在 斜 边 AB 上 , 且

-1-

???? ??? ? ??? ??? ? ? AD ? ? AB , ? ? R ,若 CD ? CB ? 2 ,则 ? ?
(A)

1 2
3 3

(B)

1 3
2 3

(C)

(D)

(8)定义在 R 上奇函数, f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 1) ? f (3? x ),若 f (1) ? ? 2 ,则

2012f (2012) 2013 (2013) ? f ?
(A) -4026 (C) -4024 (B) 4026 (D) 4024

天津市五区县 201 3 年高三质量调查试卷(一) 数学(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 12 小题,共 110 分, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)某奥运代表团由 112 名男运动员, 名女运动员和 28 名教练员组成, 84 现拟采用分层抽样的 方法抽出一个容量为 32 的样本,则女运动员应抽取_______人. (10)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______. (11)已知集合 A ? x ? R | x ? 1 ? 2 ,集合

?

?

B ? ? x ? R 2x ?( a?1 ) x? a?0 A ? B ? (3,5) | ? ,若
则实数 a=______. (12)若直线 x - y+t=0 被曲线 ?

? x ? 1 ? 4 cos ? ( ? 为参数)截得的 ? y ? 3 ? 4sin ?

弦长为 4 2 ,则实数 t 的值为______。 (13)如图,在 ? O 中,CD 垂直于直径 AB,垂足为 D, DE ? BC,垂足为 E,若 AB =8, CE ? CB ? 7 , 则 AD=____. (14) 设 函 数

?? x 2 ? 1 ? ? f ( x) ? ? 2 ? x ? bx ? c ( x ? 0 ?



(

x

0

)

f (?3) ? f (?1), f (?2) ? ?3 ,则关于 x 的方程 f ( x) ? x 的解的个数为_______个,

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? a cos x, a , a 为常数, a ? R ,且 f ( ) ? 0 .
2

?

4

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期。 (Ⅱ)当 x ? ?

? ? 11? ? 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值, , ? 24 24 ? ?

(16)(本小题满分 13 分) 一盒中装有 9 个大小质地相同的小球,其中红球 4 个,标号分别为 0,1,2,3;白球 3 个,标号分别为 0,1,2;黑球 2 个,标号分别为 0,l;现从盒中不放回地摸出 2 个小球. (I)求两球颜色不同且标号之和为 3 的概率; .. (Ⅱ)记所摸出的两球标号之积为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望. .. (17)(本小题满分 13 分) 在三棱锥 S -ABC 中, ?ABC 是边长为 2 的正三角形,平面 SAC ? 平面 ABC, SA ? SC ? 3 ,E,F 分别为 AB、SB 的中 点. (I)证明:AC ? SB; (Ⅱ)求锐二面角 F -CE –B 的余弦值; (Ⅲ)求 B 点到平面 CEF 的距离. 18. (本小题满分 13 分) 已知数列 ? an ? 中 a1 ? 2, an ?1 ? 2 ? (I)求证:数列 ?bn ? 是等差数列: (Ⅱ)设 S n 最是数列 ? bn ? 的前 n 项和,求

1 1 ? ,数列 ?bn ? 中 bn ? 。其中 n ? N . an an ? 1

?1 ?3

? ?

1 1 1 ? ? ... ? ; S1 S2 Sn

(Ⅲ)设 Tn 是数列 ?( ) ? bn ? 的前 n 项和,求证: Tn ?
n

? 1 ? 3

? ?

3 . 4

(19)(本小题满分 14 分) 设椭圆的中心在坐标原点, 对称轴是坐标轴, 一个顶点为 A(0, 2) , 右焦点 F 到点 B ( 2, 2) 的距离为 2. (I)求椭圆的方程; (Ⅱ)设经过点(0,-3)的直线 Z 与椭圆相交于不同两点 M,N 满足 AM ? AN ,试 求直线 l 的方程. (20)(本小题满分 14 分)

???? ?

????

-3-

已知函数 f ( x) ? ax ? bx 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 6x+3y -10=0,且对任意
3 2

的 x ? ? 0, ?? ? f '( x) ? k ln( x ? 1) 恒成立. (I)求 a,b 的值; (Ⅱ)求实数 k 的最小值; (Ⅲ)证明:

? i ? ln(n ? 1) ? 2
i ?1

n

1

(n ? N ?) .

-4-

天津市五区县 2013 年高三质量调查试卷参考答案 数
一、选择题:每小题 5 分,满分 40 分. (1)B (2)C (3)D (4)A

学(理工类)
(5)C (6)C (7)D (8)A

二、填空题:每小题 5 分,共 30 分. (9)12 (10) 36? (11)5 (12) -2 或 6 (13)1 三、解答题 (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知得 f (

(14)3

? ? ? )=sin +a cos 2 ? 0 4 2 4

1 2 所以 a= - 2

即 1 + a = ,………………………………………………………………2 分 0 ………………………………………………3 分

2 所以 f ( x)? s i n x

2 2c oxs

= s- n 2 x i

- os 2 1 x ……………………4 分 c

= 2 s i nx (2

? - ) 1 4

…………………………………5 分 …………………………………6 分

所以函数 f ( x) 的最小正周期为 π (Ⅱ)由 x ? ?

? ? ? 2? ? ? ? 11? ? , ? ,得 2 x - 4 ? ?- 6 , 3 ? …………………………………7 分 ? 24 24 ? ? ?
? ? 1 ? ?)?- , ? 1 ……………………………………………………9 分 4 ? 2 ? 2 s i nx( ? - )≤1 4 - 2 …………………………………11 分 1

则 s i n (x2

所以 -

2 - 1≤ 2

所以函数 y ? f ( x) 的最大值为 2 - 1 ;最小值为 -

2 - 1 …………………13 分 2

(16) (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)从盒中不放回地摸出 2 个小球的所有可能情况有 C92 ? 36 种 ………… 2 分

颜色不同且标号之和为 3 的情况有 6 种 ………………………………… 4 分 ∴P?
6 1 ? 36 6

…………………………………………… 5 分

(Ⅱ) 依题意 ? 的可取值为 0,1,2,3,4,6

-5-

P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?

1 1 C3C6 ? C32 21 7 ? ? ; 36 36 12

………………………………………………6 分 ………………………………………………7 分 ………………………………………………8 分 ………………………………………………9 分 ………………………………………………10 分 ………………………………………………11 分

C32 1 ? ; 36 12
1 1 C2C3 1 ? ; 36 6

1 C3 1 ? ; 36 12 1 P(? ? 4) ? ; 36

P(? ? 6) ?

1 C2 1 ? 36 18

?
P

0

1

2

3

4

6

7 12

1 12

1 6

1 12

1 36

1 18
…………………13 分

(不列表不扣分)

E? ?

7 1 1 1 1 1 10 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? 12 12 6 12 36 18 9

(17) (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)法一:取 AC 中点 O ,连结 SO , BO . ∵ SA ? SC,AB ? AC, ∴ AC ? SO 且 AC ? BO, ∴ AC ? 平面 SOB ,又 SB ? 平面 SOB ,∴ AC ? SB …………………………3 分 法二:取 AC 中点 O ,以 O 为原点, z S 分别以 OA 、 OB 、 OS 为 x 轴、 y 轴、 z 轴, 建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0) , B (0, 3,0) O F C A x B E y

1 3 3 2 S (0,0, 2) , E ( , ,0) , F (0, , ) , C (-1,0,0) 2 2 2 2
???? ??? ∴ AC ? (-2,0,0) , SB ? (0, 3,? 2) ???? ??? ? AC ? SB ? (?2,0,0) ? (0, 3,? 2) ? 0

∴ AC ? SB . ……………………………………………………………………3 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 CE ? ( ,

??? ?

??? ? 3 3 1 2 ,0), EF ? (? ,0, ), 2 2 2 2

-6-

? ? ??? ? 3 3 CE ? n ? x ? y?0 ? ? 2 2 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 CEF 的一个法向量,则 ? ? ? ? ??? ? n ? ? 1 x ? 2 z ? 0 EF ? ? 2 2
取 z =1 , x = 2, y ? ? 6 . ∴ n ? ( 2 ,? 6 ,1) . …………………………………………………………6 分

? ??? ? ??? ? ? ??? ? n? O S 1 又 OS ? (0,0, 2) 为平面 ABC 的一个法向量, ∴ c o s n, O S ? ? ??? ? ? n ? OS 3
∴二面角 F ? CE ? B 的余弦值为 (Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)得 EB ? (? ,

1 . 3

………………………………………9 分

??? ?

? 1 3 1) ,0) , n ? ( 2 ,? 6 , 为平面 CEF 的一个法向量 2 2
……………………………13 分

∴点 B 到平面 CEF 的距离

? ??? ? n ? EB 2 2 d? ? ? 3 n

(18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) bn ?1 ?

1

an ?1 ? 1 1 ? 1 an

?

1

?

an , an ? 1

………………………………1 分



bn ?

1 , an ? 1 an 1 ? ? 1. n ? N * an ? 1 an ? 1
…………………………3 分



bn ?1 ? bn ?



{ bn }是首项为 b1 ?

1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. a1 ? 1

…………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? n , ………………………………………………………5 分

1 1 1 n(n ? 1) , bn ? n. ? Sn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? 3 3 3 6
于是

…………………………………6 分

1 6 1 1 = 6( ? ? ), Sn n(n ? 1) n n ?1

…………………………………………7 分

-7-

故有

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 6(1 ? ? ? ? ? ? ? ) S1 S 2 Sn 2 2 3 n n ?1
=6 (1 ?

1 6n …………………………………9 分 )? n ?1 n ?1 1 1 (Ⅲ)证明:由(Ⅰ)可知 ( ) n ? bn ? n ? ( ) n , ……………………………10 分 3 3 1 1 1 则 Tn ? 1? ? 2 ? ( ) 2 ? ? ? n ? ( ) n . 3 3 3
1 1 1 1 ?1? ∴ Tn ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ? ? ? n ? 1? ? ? ? n ? ( ) n ?1 . 3 3 3 3 ?3?

n

…………11 分

1? 1 ? 1 2 1 1 1 1 1 Tn ? ? ( )2 ? ( )3 +…+ ( ) n ? n ? ( ) n ?1 ? ?1 ? ( ) n ? ? n ? ( ) n ?1 , 2? 3 ? 3 3 3 3 3 3 3



Tn ?

3 1 1n?1 n 1 ? ( ) ? ? ( n)? 4 4 3 2 3



3 4

………………………13 分

(19) (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 依题意,设椭圆方程为

x2 y2 ? ?1(a ? b ? 0 ) , a2 b2
a 2 ? b 2 , ………………………………1 分
2

则其右焦点坐标为 F (c , 0 ) , c ?
2

由 | FB |? 2 ,得 (c ? 2) ? (0 ? 2) ? 2 , 即 (c ? 2) ? 2 ? 4 ,故 c ? 2 2 .
2

…………………………………………2 分

又∵ b ? 2 ,

∴ a ? 12 , ……………………………………………………3 分
2

x2 y2 ? ? 1. ∴所求椭圆方程为 12 4
(Ⅱ)由题意可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 3 (k ? 0) ,

……………………4 分 ……………………5 分

由 | AM | ? | AN | ,知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上,

?y ? kx? 3 ? 由 ? x2 y2 ? ?1 ? ?12 4
2 2

得 x ? 3(kx - 3) ? 12
2 2

即 (1 ? 3k ) x - 18kx ? 15 ? 0 ……(*)

………………………………………6 分

-8-

?=( - 18k )2 - 4(1 ? 3k 2 ) ?15 ? 144k 2 - 60 ? 0
即 k2>

5 时方程(*)有两个不相等的实数根 12

…………………………7 分

设 M ( x1 ,y1 ) , N ( x2 ,y2 ) ,线段 MN 的中点 P( x0 ,y0 ) 则 x1 , x2 是方程(*)的两个不等的实根,故有 x1 ? x2 ?

18k 1 ? 3k 2

…………8 分

9k 2 - 3(1 ? 3k 2 ) -3 x1 ? x2 9k 从而有 x0 ? , y0 ? kx0 - 3 ? ? ? 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 2 1 ? 3k

9k -3 , ) ………………9 分 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 -3 -2 -5 - 6k 2 1 ? 3k 2 又由于 k ? 0 ,因此直线 AP 的斜率为 k1 ? ………10 分 ? 9k 9k 1 ? 3k 2
于是,可得线段 MN 的中点 P 的坐标为 P( 由 AP ? MN ,得

-5 - 6 k 2 ? k ? -1 9k
2

…………………………11 分

即 5 ? 6k ? 9 ,解得 k ?
2

6 2 5 , …………………………12 分 ? ,∴ k ? ? 3 3 12

∴所求直线 l 的方程为: y ? ?

6 x-3. 3

…………………………14 分

方法二:设直线 l 的方程为 y ? kx ? 3 (k ? 0) , ………………………………5 分

?y ? kx? 3 ? 则 ? x2 y2 ? ?1 ? ?12 4
得: (1 ? 3k ) x ? 18kx ? 15 ? 0
2 2

………………………………………6 分

由 ? ? 144k - 60 ? 0
2

18k ? ? x1 ? x2 ? 1 ? 3k 2 ? 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 由韦达定理得 ? ? x x ? 15 ? 1 2 1 ? 3k 2 ?
2 2



……………8 分

2 2 2 2 又 | AM | ? | AN | ,则 x1 ? ( y1 ? 2) ? x2 ? ( y 2 ? 2)

……………9 分

-9-

移项得: k =

y 2 ? y1 x2 ? x1 x2 ? x1 =- =- =- x 2 ? x1 y2 ? y1 ? 4 k ( x2 ? x1 ) ? 10

1 10(1 ? 3k 2 ) k? 18k

解得 k ? ?

6 , 3

…………………………………………………………12 分

此时△ >0 适合题意, ∴所求直线 l 的方程为: y =±

6 x -3 3

…………………………………14 分

(20) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 2bx, f ?(2) ? ?2 , ∴ 12a ? 4b ? ?2 ①
2

………………1 分

2 2 ,∴ 8a ? 4b ? ? ② ………………2 分 3 3 1 1 ①②联立,解得 a ? ? , b ? ……………………………………………4 分 3 2 1 3 1 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? ? x ? x 3 2
将 x ? 2 代入直线方程得 y ? ?

f ?( x)= ? x 2 ? x ,∴ ? x 2 ? x ? k ln( x ? 1) 在 x ? ? 0, ?? ? 上恒成立;
即 x ? x ? k ln( x ? 1) ? 0 在 x ? ? 0, ?? ? 恒成立;
2

………………………………5 分

设 g ( x) ? x 2 ? x ? k ln( x ? 1) , g (0) ? 0 , ∴只需证对于任意的 x ? ? 0, ?? ? 有 g ( x) ? g (0) …………………………6 分

g ?( x) ? 2 x ? 1 ?

k 2x2 ? x ? k ?1 ? , x ? ?0, ?? ? x ?1 x ?1

设 h( x ) ? 2 x 2 ? x ? k ? 1 , 1)当 ?=1 ? 8(k ? 1) ? 0 ,即 k ?

9 时, h( x) ? 0 ,∴ g ?( x) ? 0 8
……………………………………7 分

g ( x) 在 ? 0, ?? ? 单调递增,∴ g ( x) ? g (0)
2)当 ?=1 ? 8(k ? 1) ? 0 ,即 k ? 由 x1 ? x2 ? ?

9 2 时,设 x1 , x2 是方程 2 x ? x ? k ? 1 ? 0 的两根且 x1 ? x2 8

1 ,可知 x1 ? 0 , 2

分析题意可知当 x2 ? 0 时对任意 x ? ? 0, ?? ? 有 g ( x) ? g (0) ;

- 10 -

9 8 综上分析,实数 k 的最小值为 1 .
∴ k ? 1 ? 0, k ? 1,∴ 1 ? k ?
2

…………………………………8 分 …………………………………9 分
2

(Ⅲ)令 k ? 1 ,有 ? x ? x ? ln( x ? 1), 即 x ? x ? ln( x ? 1) 在 x ? ? 0, ?? ? 恒成立…10 分 令x?
n

1 1 1 1 1 ,得 ? 2 ? ln( ? 1) ? 2 ? ln(n ? 1) ? ln n n n n n n
1
2

……………………11 分



? i ? 1? 2
i =1

1

?

1 1 ? ? ? 2 ? (ln 2 ? ln1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ? ? [ ln( n ? 1) ? ln n] 2 3 n

= 1?
? 1?

1 1 1 ? 2 ? ? ? 2? l n (? n 2 2 3 n

1)

1 1 1 ? ??? ? l nn ? 1 ) ( 1? 2 2 3 ? n(? n ) 1

?2 ?

1 ?l nn ? 1 ) ( n

? l nn ? 1) 2 ( ?
∴原不等式得证. ……………………………………………………………14 分

- 11 -


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