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高中数学直线与圆的方程知识点总结


高中数学直线与圆的方程知识点总结
一、概念理解: 1、倾斜角:①找α :直线向上方向、x 轴正方向; ②平行:α =0°; ③范围:0°≤α <180° 。 2、斜率:①找 k :k=tanα (α ≠90°) ; ②垂直:斜率 k 不存在; ③范围: 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标: k ? tan? ?

y1 ? y2 y2 ? y1 ? x1 ? x2 x2 ? x1

①构造直角三角形(数形结合) ; ②斜率 k 值于两点先后顺序无关; ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系: l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ①相交:斜率 k1 ? k2 (前提是斜率都存在) 特例----垂直时:<1> l1 ? x轴,即k1不存在,则 k2 ? 0 ; <2> 斜率都存在时: k1 ? k2 ? ?1 。 ②平行:<1> 斜率都存在时: k1 ? k2 , b1 ? b2 ; <2> 斜率都不存在时:两直线都与 x 轴垂直。 ③重合: 斜率都存在时: k1 ? k2 , b1 ? b2 ; 二、方程与公式: 1、直线的五个方程: ①点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ②斜截式: y ? kx ? b ③两点式: 带入即可; ④截距式: 将已知点 ( x0 , y0 )与斜率k 直接带入即可; 将已知截距 (0, b)与斜率k 直接带入即可;

y ? y1 x ? x1 ? , (其中x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 将已知两点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 直接 y2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b

将已知截距坐标 (a,0), (0, b) 直接带入即可;

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,其中 A、B 不同时为 0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标:直接将两直线方程联立,解方程组即可

3、距离公式:

( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ①两点间距离: P 1P 2 ?
2

2

②点到直线距离: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2 C1 ? C2 A2 ? B 2

③平行直线间距离: d ?

4、中点、三分点坐标公式:已知两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2 2 x ? x2 2 y1 ? y2 , ) 靠近 A 的三分点坐标 ②AB 三分点 (s1 , t1 ), (s2 , t2 ) : ( 1 3 3 x ? 2 x2 y1 ? 2 y2 ( 1 , ) 靠近 B 的三分点坐标 3 3
①AB 中点 ( x0 , y0 ) : ( 中点坐标公式,在求对称点、第四章圆与方程中,经常用到。 三分点坐标公式,用得较少,多见于大题难题。 5.直线的对称性问题 已知点关于已知直线的对称:设这个点为 P(x0,y0),对称后的点坐标为 P’(x,y) ,则 pp’的斜率与已知直线的斜率垂直,且 pp’的中点坐标在已知直线上。 三、解题指导与易错辨析: 1、解析法(坐标法) : ①建立适当直角坐标系,依据几何性质关系,设出点的坐标; ②依据代数关系(点在直线或曲线上) ,进行有关代数运算,并得出相关结果; ③将代数运算结果,翻译成几何中“所求或所要证明” 。 y 2、动点 P 到两个定点 A、B 的距离“最值问题” : ① PA ? PB 的最小值:找对称点再连直线,如右图所示: ② PA ? PB 的最大值:三角形思想“两边之差小于第三边” ;
2 2

o

x

③ PA ? PB 的最值:函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴” 。 3、直线必过点:① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3 令:x+2=0 => 必过点(-2,3) ②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令:3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7) 4、易错辨析: ① 讨论斜率的存在性: 解题过程中用到斜率,一定要分类讨论:<1>斜率不存在时,是否满足题意; <2>斜率存在时,斜率会有怎样关系。 ② 注意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解; (求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见。 )

③ 直线到两定点距离相等,有两种情况: <1> 直线与两定点所在直线平行; <2> 直线过两定点的中点。

圆的方程 1. 定义:一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆,其中定点称 为圆的圆心,定长为圆的半径. 2. 圆的方程表示方法: 第一种:圆的一般方程—— x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
D 2 ? E 2 ?4 F . 2 当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个圆,

2

2

其中圆心 C ? ?

? D E? ,? ? , 2? ? 2

半径 r ?

当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个点 ? ?? 当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程无图形.

D E? ,? ? . 2? ? 2

第二种:圆的标准方程—— ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 .其中点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的 圆 第三种:圆的参数方程——圆的参数方程: ?
? x ? a ? r cos? ( ? 为参数) ? y ? b ? r sin?

注:圆的直径方程:已知 A( x1 , y 1 ) B( x 2 , y 2 ) ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) ? 0 3. 点和圆的位置关系:给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ① M 在圆 C 内 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ② M 在圆 C 上 ? (x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ③ M 在圆 C 外 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 4. 直线和圆的位置关系: 设圆圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 (r ? 0) ; 圆心 C (a, b) 到直线 l 的距离 d ? ① d ? r 时, l 与 C 相切; ② d ? r 时, l 与 C 相交; , ③ d ? r 时, l 与 C 相离. 5、圆的切线方程: 2 ①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R . 特别地, 过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 .(注:该点在圆上,则切线方程只 有一条)
Aa ? Bb ? C A2 ?B 2

直线 l : Ax ? By ? C ? 0( A 2 ? B 2 ? 0) ; .

? y 1 ? y 0 ? k ( x1 ? x 0 ) ? b ? y 1 ?k (a ? x 1 ) , ②若点(x0 ,y0)不在圆上, 圆心为(a,b)则 ? 联立求出 k ? 切线方程. (注: ?R ? R 2 ?1 ?

过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解,那么另外一条切线必定是垂直于 X 轴的直线。 ) 6.圆系方程: 过 两 圆 的 交 点 的 圆 方 程 : 假 设 两 圆 方 程 为 : C1:x +y +D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 则 过 两 圆 的 交 点 圆 方 程 可 设 为 : x2+y2+D1x+E1y+F1+λ
2 2

(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
过两圆的交点的直线方程:x +y +D1x+E1y+F1- x +y +D2x+E2y+F2=0(两圆的方程相减得到的方 程就是直线方程) 7.与圆有关的计算: 2 2 弦长的计算:AB=2*√R -d 其中 R 是圆的半径,d 等于圆心到直线的距离 2 AB=(√1+k )*∣X1-X2∣ 其中 k 是直线的斜率,X1 与 X2 是直线与圆的方程联 立之后得到的两个根 过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线 圆内的最长弦是直径 8.圆的一些最值问题 ①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径 ②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径 ③假设 P(x,y)是在某个圆上的动点,则(x-a)/(y-b)的最值可以转化为圆上的点与 该点(a,b)的斜率问题,即先求过该定点的切线,得到的斜率便是该分式的 最值。 ④假设 P (x, y) 是在某个圆上的动点, 则求 x+y 或 x-y 的最值可以转化为: 设 T=x+y 或 T=x-y, 在圆上找到点(X,Y)使得以 y=x+T 或 y=x-T 在 Y 轴上的截距最值化。 9.圆的对称问题 ①已知圆关于已知的直线对称, 则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的, 只需求出已知圆 的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。 ②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆, 则这个直线必过某定点, 且该定点是圆的圆 心坐标
2 2 2 2


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