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2012年理科实验班自主招生考试数学试卷(一)


2012 年理科实验班自主招生考试数学试卷(一)

2016 年理科实验班自主招生考试数学试卷
一、选择题 1. (3 分)在﹣0.3168 中,用数字 4 替换其中的一个非 0 数字后,使所得的数最大,则被替换的数字是( A.1 B.3 C .6 D.8 )

2. (3 分)如图,线段 AF 中,AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,EF=e.则以 A,B,C,D,E,F 为端点的所有线段 长度的和为( )

A.5a+8b+9c+8d+5e C. 5a+9b+9c+9d+5e
2

B. 5a+8b+10c+8d+5e D.10a+16b+18c+16d+10e )

3. (3 分)二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,则点 P(ac,b)所在象限是(

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4. (3 分) 如图, 四边形 ABCD 中, ∠A=∠C=90°, ∠ABC=60°, AD=4, CD=10, 则 BD 的长等于 ( A. 5. (3 分)给出一列数 值等于 1 的项的序号是( A.4900 ) B.4901 B. C.12 D.



,在这列数中,第 50 个

C.5000

D.5001

6. (3 分)如图,⊙O1 与⊙O2 外切于 P,⊙O1,⊙O2 的半径分别为 2,1.O1A 为⊙O2 的切线,AB 为⊙O2 的直径, O1B 分别交⊙O1,⊙O2 于 C,D,则 CD+3PD 的值为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题 7. (5 分)已知 _________ 象限. 8. (5 分)如图,在△ ABC 中,AB=AC,AD=AE,∠BAD=60°,则∠EDC= _________ . ,且 a+b+c≠0,那么直线 y=mx﹣m 一定不通过第

9. (5 分)如图,在直角△ ABC 中,AB=AC=2,分别以 A,B,C 为圆心,以 围成的图形(图中阴影部分)的面积为 _________ .

为半径做弧,则三条弧与边 BC

10. (5 分)分解因式:2m ﹣mn+2m+n﹣n = _________ . 11. (5 分)如图:四边形 EFGH 是一个长方形台球桌面,有白、黑两球分别位于 A,B 两点的位置上.试问,怎样 撞击白球 A,才能使白球 A 先碰撞台边 GH,再碰撞 FG,经两次反弹后再击中黑球 B? (将白球 A 移动路线画在图上,不能说明问题的不予计分)

2

2

12. (5 分)有三位学生参加两项不同的竞赛,则每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有两位学生参加的概率 为 _________ . 13. (5 分)设[x]表示不超过 x 的最大整数(例如:[2]=2,[1.25]=1) ,则方程 3x﹣2[x]+4=0 的解为 _________ . 14. (5 分)如图,是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O 是其秒针的转动中心,M 是秒针的另一端,OM=8cm,l 是 过点 O 的铅直直线.现有一只蚂蚁 P 在秒针 OM 上爬行,蚂蚁 P 到点 O 的距离与 M 到 l 的距离始终相等.则 1 分 钟的时间内,蚂蚁 P 被秒针 OM 携带的过程中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程)是 _________ cm.

三、解答题 15. (12 分)已知 A、B 两地相距 45 千米,骑车人与客车分别从 A、B 两地出发,往返于 A、B 两地之间.如图中, 折线表示某骑车人离开 A 地的距离 y 与时间 x 的函数关系. 客车 8 点从 B 地出发, 以 45 千米/时的速度匀速行驶. (乘 客上、下车停车时间忽略不计) ①在阅读如图的基础上, 直接回答: 骑车人共休息几次?骑车人总共骑行多少千米?骑车人与客车总共相遇几次? ②试问:骑车人何时与客车第二次相遇?(要求写出演算过程) .

16. (12 分)如图 1:等边△ ADE 可以看作由等边△ ABC 绕顶点 A 经过旋转相似变换得到.但是我们注意到图形中 的△ ABD 和△ ACE 的关系,上述变换也可以理解为图形是由△ ABD 绕顶点 A 旋转 60°形成的.于是我们得到一个 结论:如果两个正三角形存在着公共顶点,则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转 60°形成的. ①利用上述结论解决问题:如图 2,△ ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,△ ABD,△ ACE,△ BFC 都是等边三角形, 求四边形 ADFE 的面积; ②图 3 中,△ ABC∽△ADE,AB=AC,∠BAC=∠DAE=θ,仿照上述结论,推广出符合图 3 的结论. (写出结论即

可) 17. (12 分)在三角形 ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 对应的边分别是 a,b,c,其中 a﹣b=2 于 D,BD﹣AD=2 ,求△ ABC 三边的长. ,CD⊥AB

18. (12 分)按下面规则扩充新数:已有 a 和 b 两个数,可按规则 c=ab+a+b 扩充一个新数,而 a,b,c 三个数中任 取两数,按规则又可扩充一个新数,…,每扩充一个新数叫做一次操作.现有数 2 和 3. ①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数; ②能否通过上述规则扩充得到新数 5183?并说明理由.

19. (14 分)如图,二次函数 y=ax +bx(a>0)的图象与反比例函数

2

图象相交于点 A,B,已知点 A 的坐标为

(1,4) ,点 B 在第三象限内,且△ AOB 的面积为 3(O 为坐标原点) . ①求实数 k 的值; 2 ②求二次函数 y=ax +bx(a>0)的解析式; ③设抛物线与 x 轴的另一个交点为 D,E 点为线段 OD 上的动点(与 O,D 不能重合) ,过 E 点作 EF∥OB 交 BD 于 F,连接 BE,设 OE 的长为 m,△ BEF 的面积为 S,求 S 于 m 的函数关系式; ④在③的基础上,试说明 S 是否存在最大值?若存在,请求出 S 的最大值,并求出此时 E 点的坐标;若不存在, 说明理由.

2014 年理科实验班自主招生考试数学试卷(一)
参考答案与试题解析
一、选择题 1. (3 分)在﹣0.3168 中,用数字 4 替换其中的一个非 0 数字后,使所得的数最大,则被替换的数字是( A.1 B.3 C .6 D.8 考点: 专题: 分析: 解答: 有理数大小比较. 存在型. 先用 4 替换该数中任一不等于 0 的数,再根据负数比较大小的法则进行解答即可. 解:若使所得数最大,则替换后的数的绝对值应最小, 当 4 替换 3 时所得数为:﹣0.4168; 当 4 替换 1 时所得数为:﹣0.3468; 当 4 替换 6 时所得数为:﹣0.3148; 当 4 替换 8 时所得数为:﹣0.3164; ∵0.4168>0.3468>0.3164>0.3148, ∴﹣0.4168<﹣0.3468<﹣0.3164<﹣0.3148, ∴﹣0.3148 最大, ∴被替换的数字是 6. 故选 C. 点评: 本题考查的是有理数的大小比较,解答此题的关键是熟知两负数比较大小时,绝对值大的反而小.
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2. (3 分)如图,线段 AF 中,AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,EF=e.则以 A,B,C,D,E,F 为端点的所有线段 长度的和为( )

A.5a+8b+9c+8d+5e C. 5a+9b+9c+9d+5e

B. 5a+8b+10c+8d+5e D.10a+16b+18c+16d+10e

考点: 比较线段的长短. 分析: 首先求出以 A 为端点线段的长度,类比依次求出 B、C、D、E 为端点的线段的长度,然后求出这些线段的 长度总和. 解答: 解:以 A 为端点线段有 AB、AC、AD、AE、AF,这些线段长度之和为 5a+4b+3c+2d+e, 以 B 为端点线段有 BC、BD、BE、BF,这些线段长度之和为 4b+3c+2d+e, 以 C 为端点线段有 CD、CE、CF,这些线段长度之和为 3c+2d+e, 以 D 为端点线段有 DE、DF,这些线段长度之和为 2d+e, 以 E 为端点线段有 EF,线段的长度为 e, 故这些线段的长度之和为 5a+8b+9c+8d+5e, 故选 A. 点评: 本题主要考查比较线段的长短的知识点,解答本题的关键是求出 A,B,C,D,E,F 为端点的所有线段的 条数,本题不是很难.
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3. (3 分)二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,则点 P(ac,b)所在象限是(

2



A.第一象限 考点: 专题: 分析: 解答:

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

二次函数图象与系数的关系. 计算题. 根据二次函数的图象判断 a、b、c 的符号,再判断点 P 所在的象限. 解:抛物线开口向上,∴a>0,
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抛物线对称轴 y=﹣

>0,且 a>0,∴b<0,

抛物线与 y 轴交于正半轴,∴c>0, ∴点 P(ac,b)在第四象限. 故选 D. 点评: 本题考查了二次函数的图象与系数的关系.二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛 物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定.

4. (3 分) 如图, 四边形 ABCD 中, ∠A=∠C=90°, ∠ABC=60°, AD=4, CD=10, 则 BD 的长等于 ( A. B. C.12 D.



考点: 勾股定理;特殊角的三角函数值. 分析: 分别延长 AD、BC,两条延长线相交于点 E,构造特殊三角形 ABE,其中有一个锐角是 60°,∠A 是 90°, 那么另一个锐角是 30°,在 Rt△ CDE 中,∠E=30°,有 CD=10,可求 DE,那么 AE 的长就求出,在 Rt△ ABE 中,利用∠E 的正切值可求出 AB,在 Rt△ ABD 中,再利用勾股定理可求斜边 BD 的长. 解答: 解:延长 AD、BC,两条延长线相交于点 E, ∵在 Rt△ ABE 中,∠A=90°,∠B=60°, ∴∠E=90°﹣60°=30°. ∴在 Rt△ DCE 中,∠E=30°,CD=10, ∴DE=2CD=20, ∴AE=AD+DE=20+4=24.
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∴在 Rt△ ABE 中,AB=AE?tan∠E=AE?tan30°= ∴在 Rt△ ABD 中, BD= 故选 A. = = =4

×24=8





点评: 关键是作辅助线,构造特殊直角三角形,然后利用了勾股定理、特殊三角函数值解题. 5. (3 分)给出一列数 值等于 1 的项的序号是( A.4900 ) B.4901 ,在这列数中,第 50 个

C.5000

D.5001

考点: 规律型:数字的变化类. 专题: 规律型. 分析: 观察数字可知分子分母的和为 k 的分数的个数为 k﹣1,并且分子分母的和为偶数的项中,有一个值等于 1, 依此即可求出第 50 个值等于 1 的项的序号. 解答: 解:第 50 个值等于 1 的项的分子分母的和为 2×50=100, 由于从分子分母的和为 2 到分子分母的和为 99 的分数的个数为: 1+2+…+98=4851.
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第 50 个值等于 1 的项为



故 4851+50=4901. 故选 B. 点评: 本题考查了规律型:数字的变化,有一定的难度,找到分子分母的和与分数的个数的关系,以及分子分母 的和为偶数的项中,有一个值等于 1 的规律是解题的关键. 6. (3 分)如图,⊙O1 与⊙O2 外切于 P,⊙O1,⊙O2 的半径分别为 2,1.O1A 为⊙O2 的切线,AB 为⊙O2 的直径, O1B 分别交⊙O1,⊙O2 于 C,D,则 CD+3PD 的值为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 相切两圆的性质. 专题: 计算题. 分析: 分别求出 CD 和 PD 的长度,再计算 CD+3PD: (1)由相似关系求 PD 的长度.连接 O1O2,则 O1O2 过 P 点,三角形 O1PD 相似于 O1BO2,由相似关系求 出 PD; (2)由切割线定理求 CD 的长度.这个要分两步做: ①由勾股定理求出 O1A、O1B 的长度.在直角三角形 O1O2A 和 O1AB 中,分别用勾股定理求出 O1A、O1B 的长度; 2 ②由切割线定理求 O1D 的长度.由切割线定理 O1A =O1D?O1B,所以 O1D 可求出来.而 O1D=O1C+CD=2+CD,故 CD 可求.
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解答: 解:连接 O1O2, ∵AO2=1,O1O2=3, ∴AO1= ∴BO1=
2

=2

, = =2 , = ,

∴由切割线定理 O1A =O1D?O1B,得 O1D= ∴CD=O1D﹣O1C= 又∵cos∠O2O1B= 则 PD =4+ ∴PD= , ∴CD+3PD= 故选 D. ﹣2+3× = .
2

﹣2, = , ﹣ × = ,



cos∠O2O1B=4+

点评: 本题考查了相切两圆的性质,三角形的相似以及性质,是重点知识,要熟练掌握. 二、填空题 7. (5 分)已知 二 象限. 考点: 一次函数的性质;等式的性质;比例的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据比例的性质得到 3a+2b=cm,3b+2c=am,3c+2a=bm,相加即可求出 m 的值是 5,得出 y=5x﹣5,即可 得出答案. 解答: 解:∵ ,
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,且 a+b+c≠0,那么直线 y=mx﹣m 一定不通过第

∴3a+2b=cm,3b+2c=am,3c+2a=bm, ∴5a+5b+5c=(a+b+c)m, ∵a+b+c≠0, ∴m=5, ∴y=mx﹣m=5x﹣5, ∴不经过第二象限. 故答案为:二. 点评: 本题主要考查对一次函数的性质,比例的性质,等式的性质等知识点的理解和掌握,能根据已知求出 m 的 值是解此题的关键.题型较好.

8. (5 分)如图,在△ ABC 中,AB=AC,AD=AE,∠BAD=60°,则∠EDC= 30° .

考点: 专题: 分析: 解答:

等腰三角形的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质. 数形结合. 根据三角形外角的性质,可得:∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD,∠AED=∠EDC+∠C. 解:∵△ADE 中,AD=AE, ∴∠ADE=∠AED; ∵∠AED=∠EDC+∠C①,而∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD②; ∴②﹣①得:2∠EDC=∠B﹣∠C+∠BAD; ∵AB=AC, ∴∠B=∠C;
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∴∠EDC= ∠BAD=30°. 故答案为:30°. 点评: 此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质,难度不大,注意等腰三角形性质的掌握与运用. 9. (5 分)如图,在直角△ ABC 中,AB=AC=2,分别以 A,B,C 为圆心,以 围成的图形(图中阴影部分)的面积为 .

为半径做弧,则三条弧与边 BC

考点: 扇形面积的计算;等腰三角形的性质. 专题: 计算题. 分析: 阴影部分的面积=三角形 ABC 的面积减去三个扇形的面积,然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式 计算即可. 解答: 解:三个扇形的面积 S= = ,
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∴S 阴影部分=S△ ABC﹣S= ?2?2﹣ 故答案为 2﹣ 点评: .

=2﹣



本题考查了扇形的面积公式:S=
2 2

.也考查了三角形的面积公式.

10. (5 分)分解因式:2m ﹣mn+2m+n﹣n = (2m+n) (m﹣n+1) . 考点: 因式分解-分组分解法.

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专题: 计算题. 分析: 多项式有 5 项,采用分组分解法,1,2,5 项结合,因式分解,再与 3,4 两项提公因式. 解答: 解原式=(2m2﹣mn﹣n2)+(2m+n) =(2m+n) (m﹣n)+(2m+n) =(2m+n) (m﹣n+1) . 故答案为: (2m+n) (m﹣n+1) . 点评: 本题考查了分组解法进行因式分解,关键是分组后组与组之间可以继续进行因式分解. 11. (5 分)如图:四边形 EFGH 是一个长方形台球桌面,有白、黑两球分别位于 A,B 两点的位置上.试问,怎样 撞击白球 A,才能使白球 A 先碰撞台边 GH,再碰撞 FG,经两次反弹后再击中黑球 B? (将白球 A 移动路线画在图上,不能说明问题的不予计分)

考点: 作图—应用与设计作图. 专题: 作图题. 分析: 分别作出点 A 关于 HG 的对称点 A′,点 B 关于 FG 的对称点 B′,然后连接 A′B′,交 HG、FG 于点 M,N, 再连接 AM、BN,则白球 A 移动路线图可得. 解答: 解: (1)作出点 A 关于 HG 的对称点 A′,点 B 关于 FG 的对称点 B′, (2)连接 A′B′,分别交 HG、FG 于点 M、N, (3)连接 AM,BN, 所以白球 A 的移动路线为 A→M→N→B.
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点评: 本题是考查了作图问题的应用与设计作图,利用轴对称的性质作出对称点是解题的关键,难度中等. 12. (5 分)有三位学生参加两项不同的竞赛,则每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有两位学生参加的概率 为 .

考点: 列表法与树状图法. 分析: 先根据题意画出树状图,从图上可知每项竞赛只许有两位学生参加的情况有 6 种,共有 8 种等可能的结果, 再根据概率公式求解即可. 解答: 解:用 A、B 分别表示两项不同的竞赛,如图所示:
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每项竞赛只许有两位学生参加的情况是 AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,共 6 种, 则每项竞赛只许有两位学生参加的概率为 = . 故答案为: . 点评: 本题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 13. (5 分)设[x]表示不超过 x 的最大整数(例如:[2]=2,[1.25]=1) ,则方程 3x﹣2[x]+4=0 的解为 ﹣4 或﹣ 或﹣ .

考点: 取整计算. 分析: 首先令[x]=n,可得方程 3x﹣2n+4=0,即可求得 x 的值,然后由[x]≤x<[x]+1,可得关于 n 的不等式组,解 不等式组即可求得 n 的值,则代入方程即可求得 x 的值,注意要检验. 解答: 解:令[x]=n,代入原方程得 3x﹣2n+4=0,即 x= ,
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又∵[x]≤x<[x]+1, ∴n≤ <n+1,

整理得:3n≤2n﹣4<3n+3,即﹣7<n≤﹣4, ∴n=﹣4 或 n=﹣5 或 n=﹣6, ∴当 n=﹣4 时,x=﹣4, 当 n=﹣5 时,x=﹣ 当 n=﹣6 时,x=﹣ , , 或 x=﹣ . 是原方程的解.

经检验,x=﹣4 或 x=﹣ 故答案为:﹣4 或﹣

或﹣

点评: 此题考查了取整函数的知识.注意[x]≤x<[x]+1 性质的应用是解此题的关键. 14. (5 分)如图,是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O 是其秒针的转动中心,M 是秒针的另一端,OM=8cm,l 是 过点 O 的铅直直线.现有一只蚂蚁 P 在秒针 OM 上爬行,蚂蚁 P 到点 O 的距离与 M 到 l 的距离始终相等.则 1 分 钟的时间内,蚂蚁 P 被秒针 OM 携带的过程中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程)是 16π cm.

考点: 弧长的计算. 专题: 压轴题. 分析: 作出辅助线得出△ OMN≌△Q2OP,进而得出∠OPQ2=∠NOM=90°,得出从而蚂蚁 P 在 1 分钟时间内被秒 针 OM 携带的过程中移动的轨迹就是分别以 OQ1,OQ2 为直径的两个圆,求出即可. 解答: 解:过 M 作 MN⊥L 于点 N,过 O 作 L 的垂线交于点 Q1,Q2,连接 PQ2,则 MN∥OQ2, ∠M=∠MOQ2, ∵OM=OQ2,MN=OP, ∴△OMN≌△Q2OP, ∴∠OPQ2=∠MNO=90°, ∴点 P 在以 OQ1 为直径的圆上,同理点 P 在以 OQ2 为直径的圆上, 从而蚂蚁 P 在 1 分钟时间内被秒针 OM 携带的过程中移动的轨迹就是分别以 OQ1,OQ2 为半径的两个圆, 移动的路程为: 2×8π=16π. 故答案为:16π.
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点评: 此题主要考查了弧长的计算以及物体移动路线问题,此题综合性较强得出从而蚂蚁 P 在 1 分钟时间内被秒 针 OM 携带的过程中移动的轨迹就是分别以 OQ1,OQ2 为直径的两个圆是解决问题的关键. 三、解答题 15. (12 分)已知 A、B 两地相距 45 千米,骑车人与客车分别从 A、B 两地出发,往返于 A、B 两地之间.如图中, 折线表示某骑车人离开 A 地的距离 y 与时间 x 的函数关系. 客车 8 点从 B 地出发, 以 45 千米/时的速度匀速行驶. (乘 客上、下车停车时间忽略不计) ①在阅读如图的基础上, 直接回答: 骑车人共休息几次?骑车人总共骑行多少千米?骑车人与客车总共相遇几次? ②试问:骑车人何时与客车第二次相遇?(要求写出演算过程) .

考点: 一次函数的应用. 专题: 应用题;图表型. 分析: (1)看图可知,折线图中有两段水平的线,故休息了两次,时间是两次之和(看横轴) ; (2)根据题意,客车一小时行驶 45 千米,故它的图象是两小时一个来回.从左向右看,两条折线的第二 个交点就是它们第二次相遇.求出 EF 的函数解析式就可以了,找到特殊点(9,0)和(10,45)用待定系 数法可求出. 解答: 解: (1)依题意得:骑车人共休息 2 次;骑车人总共骑行 90 千米;骑车人与客车总共相遇 8 次;
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(2)已知如图:设直线 EF 所表示的函数解析式为 y=kx+b. 把 E(9,0) ,F(10,45)分别代入 y=kx+b, 得 解得 , ,

∴直线 EF 所表示的函数解析式为 y=45x﹣405, 把 y=20 代入 y=45x﹣405,得 45x﹣405=20, ∴ 答: . 时骑车人与客车第二次相遇.

点评: 本题考查了一次函数的应用:通过表格当中的信息是解题关键;根据题目给出的条件,找出合适的等量关 系,列出方程组,再求解.此题比较复杂,首先是正确理解题意,这要求仔细观察图象,从图象中得到需 要的信息,关键知道它们走的方向不同.此外还用到了待定系数法求函数解析式. 16. (12 分)如图 1:等边△ ADE 可以看作由等边△ ABC 绕顶点 A 经过旋转相似变换得到.但是我们注意到图形中 的△ ABD 和△ ACE 的关系,上述变换也可以理解为图形是由△ ABD 绕顶点 A 旋转 60°形成的.于是我们得到一个 结论:如果两个正三角形存在着公共顶点,则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转 60°形成的.

①利用上述结论解决问题:如图 2,△ ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,△ ABD,△ ACE,△ BFC 都是等边三角形, 求四边形 ADFE 的面积; ②图 3 中,△ ABC∽△ADE,AB=AC,∠BAC=∠DAE=θ,仿照上述结论,推广出符合图 3 的结论. (写出结论即

可) 考点: 旋转的性质;等边三角形的性质;相似三角形的判定与性质. 专题: 计算题. 分析: ①最外沿大五边形等于一个正三角形+2 个直角三角形,故可求其面积;用大五边形面积减去 3 个三角形面 积即可求得结果(三角形 ABD、三角形 ACE、三角形 ABC) ; ②结论应该是:如果两个等腰三角形有公共顶点,则该图形可以看成是一个三角形绕着该顶点旋转 θ 度形 成的. 解答: 解:①SFDAE=SDFECB﹣S△ ABD﹣S△ ABC﹣S△ ACE,
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=S△ BCF+S△ BDF+S△ CEF﹣S△ ABD﹣S△ ABC﹣S△ ACE, = × =6; ②结论:如果两个等腰三角形有公共顶角顶点,顶角均为 θ, 则该图形可以看成一个三角形绕着该顶点旋转 θ 形成的. 点评: 本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质和三角形面积的计算,解题的关键是要把握图形的变换. 17. (12 分)在三角形 ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 对应的边分别是 a,b,c,其中 a﹣b=2 于 D,BD﹣AD=2 ,求△ ABC 三边的长. ,CD⊥AB ×5+ ﹣ × ×3﹣ ×2 ×4﹣ ×3×4,

考点: 勾股定理. 专题: 计算题. 分析: 设出斜边长和斜边上的高,利用锐角三角函数表示出 a 与 b 的和,再利用已知条件中的两边之差求得 a 和 b 的值即可. 解答: 解:设 AB=c,CD=h
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BD=a×sinA=a× ,AD=b×cosA=b× , BD﹣AD= a﹣b=2 a+b=( )×c
2 2 2



=

=2

两边同时平方得:c +2ab= c ∴2ab= c , ∵ ab= ch, ∴ab=ch= c , ∴4h=c a +b ﹣2ab=8
2 2 2

c ﹣2ch=8 c ﹣ c =8 c=4 a= +
2 2

2

b=



点评: 本题考查了勾股定理的知识,解题的关键是利用锐角三角函数值表示出两直角边的和,然后利用已知条件 求得两直角边的值. 18. (12 分)按下面规则扩充新数:已有 a 和 b 两个数,可按规则 c=ab+a+b 扩充一个新数,而 a,b,c 三个数中任 取两数,按规则又可扩充一个新数,…,每扩充一个新数叫做一次操作.现有数 2 和 3. ①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数; ②能否通过上述规则扩充得到新数 5183?并说明理由. 考点: 因式分解的应用. 分析: ①将 2 与 3 分别代入求解,再取其最大的两个值依次代入即可求得答案;
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②找到规律:设扩充后的新数为 x,则总可以表示为 x+1=(a+1) ?(b+1) ,式中 m、n 为整数,即可得 m n 当 a=2,b=3 时,x+1=3 ×4 ,然后求解即可. 解答: 解:①∵a=2,b=3, c1=ab+a+b=6+2+3=11, ∴取 3 和 11, ∴c2=3×11+3+11=47, 取 11 与 47, ∴c3=11×47+11+47=575, ∴扩充的最大新数 575; ②5183 可以扩充得到. ∵c=ab+a+b=(a+1) (b+1)﹣1, ∴c+1=(a+1) (b+1) , 取数 a、c 可得新数 d=(a+1) (c+1)﹣1=(a+1) (b+1) (c+1) (a+1)﹣1=(a+1) (b+1) , 2 即 d+1=(a+1) (b+1) , 同理可得 e=(b+1) (c+1)=(b+1) (a+1)﹣1, 2 ∴e+1=(b+1) (a+1) , m n 设扩充后的新数为 x,则总可以表示为 x+1=(a+1) ?(b+1) ,式中 m、n 为整数, m n 当 a=2,b=3 时,x+1=3 ×4 , 4 3 又∵5183+1=5184=3 ×4 , 故 5183 可以通过上述规则扩充得到. 点评: 此题考查了因式分解的应用,解题的关键是找到规律设扩充后的新数为 x,则总可以表示为 x+1=(a+1)m? n (b+1) ,式中 m、n 为整数.
2

m

n

19. (14 分)如图,二次函数 y=ax +bx(a>0)的图象与反比例函数

2

图象相交于点 A,B,已知点 A 的坐标为

(1,4) ,点 B 在第三象限内,且△ AOB 的面积为 3(O 为坐标原点) . ①求实数 k 的值; 2 ②求二次函数 y=ax +bx(a>0)的解析式; ③设抛物线与 x 轴的另一个交点为 D,E 点为线段 OD 上的动点(与 O,D 不能重合) ,过 E 点作 EF∥OB 交 BD 于 F,连接 BE,设 OE 的长为 m,△ BEF 的面积为 S,求 S 于 m 的函数关系式; ④在③的基础上,试说明 S 是否存在最大值?若存在,请求出 S 的最大值,并求出此时 E 点的坐标;若不存在, 说明理由.

考点: 二次函数综合题;解二元一次方程;反比例函数图象上点的坐标特征;二次函数的最值;待定系数法求二 次函数解析式;平行线的性质;三角形的面积;勾股定理;锐角三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: ①把 A(1,4)代入即可; ②过 B 作 BM⊥x 轴于 M, BN⊥y 轴于 N, 过 A 作 AH⊥x 轴于 H, 两线 BN 和 AH 交于 Q, 设 OM=c, ON=d,
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c>0,d>o,根据 S=S△ ABQ﹣S△ AOH﹣S△ BNO﹣S 矩形 ONQH,和 cd=4,求出 c=2,d=2,得到 B(﹣2,﹣2) , 把 A(1,4)和 B(﹣2,﹣2)代入抛物线得出方程组 ,求出方程组得解即可;

③充分利用(﹣2,﹣2)这一坐标,由△ DFE 相似于△ DBO 求得 EF 的长(含 m) ,再表示出 F 到 x 轴的 距离,利用△ EDB 的面积减去△ EDF 的面积即可建立 S 与 m 的函数关系 ④S= m(1+ ﹣m) ,当 m= 时,S 最大,把 m= 代入即可求出 s,从而得到 E 的坐标.

解答: 解:①把 A(1,4)代入得:k=xy=4, 答:实数 k 的值是 4. ②过 B 作 BM⊥x 轴于 M,BN⊥y 轴于 N,过 A 作 AH⊥x 轴于 H,两线 BN 和 AH 交于 Q,

设 OM=c,ON=d,c>0,d>o, 则:S=S△ ABQ﹣S△ AOH﹣S△ BNO﹣S 矩形 ONQH, 即:3= (1+c) (4+d)﹣ ×1×4﹣ cd﹣d×1, cd=k=4,

解得:c=2,d=2, ∴B(﹣2,﹣2) , 把 A(1,4)和 B(﹣2,﹣2)代入抛物线得: 解得:
2





∴y=x +3x, 2 2 答:二次函数 y=ax +bx(a>0)的解析式是 y=x +3x. 2 2 ⑨把 y=0 代入 y=x +3x 得:x +3x=0, 解得:x1=0,x2=﹣3, ∴D(﹣3,0) , 即 OD=3, ∵B(﹣2,﹣2) , ∴由勾股定理得:OB=2 , ∵EF∥OB, ∴△DFE∽△DBO, ∴ ∴ = = ﹣ , , m,

∴EF=2

过 F 作 FC⊥x 轴于 C, 根据相似三角形的对应高之比等于相似比得: ∴ FC= = , = ,

S=S△ EDB﹣S△ EDF = DE×BM﹣ FC×DE, 即 S=﹣ m +m, ∴S 与 m 的函数关系 S=﹣ m +m.
2 2

④S=﹣ m +m.

2

当 m= 时,S 最大,是 , ∴ ,

答:在③的基础上,S 存在最大值,S 的最大值是 ,此时 E 点的坐标是(﹣ ,0) . 点评: 本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式,反比例函数的图象上点的坐标特征,解二元一次方程, 三角形的面积,平行线的性质,勾股定理,函数的最值,锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握,能 熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个拔高的题目,有一定的难度.

参与本试卷答题和审题的老师有:liume。 ;zcx;sd2011;zjx111;王岑;星期八;bjy;yangwy;lantin;gsls;HLing; zhangCF;sjzx;workholic;ZJX;zhqd(排名不分先后)
菁优网 2013 年 8 月 18 日


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