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必修5


解三角形
正弦定理(一)

?1? 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C ? 2 R ,
(2)推论:正余弦定理的边角互换功能
① a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ② sin A ? ③

a

b

c

a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

a b c a?b?c ? ? = = 2R sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C

④ a : b : c ? sin A : sin B : sin C

典型例题:
1.在△ABC 中,已知 a ? 5 2 , c ? 10, A ? 300 ,则∠B 等于( A. 1050 B. 600 C. 15
0 0 0 D. 105 或15



2.在△ABC 中,已知 a ? 6, b ? 2, A ? 600 ,则这样的三角形有_________个. 3.在△ABC 中,若 a : b : c ? 1 : 3 : 5 ,求

2 sin A ? sin B 的值. sin C

练习:
一、 选择题
0 0 0 0

1.一个三角形的两内角分别为 45 与 60 ,如果 45 角所对的边长是6,那么 60 角所对的边的边长为 ( ) . B. 3 2 C. 3 3 D. 2 6 ) C. sin A ? 2aR ) D.等腰三角形或直角三角形 D. b ? R sin B

A. 3 6

2.在△ABC 中,若其外接圆半径为R,则一定有( A.

a b c ? ? ? 2R B. a sin B ? 2 R sin A sin B sin C a b ? 3.在△ABC 中, ,则△ABC 一定是( cos B cos A
A.等腰三角形 二、填空题 B.直角三角形

C.等腰直角三角形

4.在△ABC 中,已知 a ? 8, b ? 6, 且S△ABC= 12 3 ,则C=_______ 5.如果

1 ? cos A a ? ,那么△ABC 是__ ____ 1 ? cos B b B 的值. 2

三、解答题 6.在△ABC 中,若AB=2,BC=5,面积S△ABC=4,求 sin
1 / 15

7.在△ABC 中, a, b, c, 分别为内角A,B,C的对边,若 b ? 2a, B ? A ? 600 ,求A的值. 8.在△ ABC 中,求证:

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b

正弦定理(二)
三角形的面积公式:
( 1) s ?

1 1 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 2 2

(2)s= 2R 2 sin A sin B sin C

(3) s ?

abc 4R ??

典型例题:
【例 1】 .在△ABC 中,已知 b ?

2 , c ? 1, B ? 450 ,则 a 的值为 (
C. 2 ? 1 D. 3 ? 2



A.

6? 2 2

B.

6? 2 2

【例 2】 .在△ABC 中,已知 a ? 5, B ? 1050 , C ? 150 ,则此三角形的最大边长为_________ 2 【例 3】 .△ABC 的两边长分别为 3cm,5cm,夹角的余弦是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,求△ABC 的面积. 【例 4】在锐角三角形 ABC 中,A=2B, a 、 b 、 c 所对的角分别为 A、B、C,试求

a 的范围。 b

练习:
一、选择题 1.在△ABC 中,已知 a ? 8, B ? 60 , C ? 75 ,则 b 等于(
0 0



A. 4 2

B. 4 3

C. 4 6
0

D.

32 3

2.在△ABC 中,已知 a ? xcm, b ? 2cm, B ? 45 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则 x 的取值范围 是 ( )

<x< 2 2 A. 2

<x ? 2 2 B. 2

C. x> 2

D. x< 2 )

3.△ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=m:(m+1):2m,

则 m 的取值范围是(

1 A. (0,+∞) B. ( ,+∞) C. (1,+∞) D. (2,+∞) 2 1 4.在△ ABC 中,A 为锐角,lgb+lg( )=lgsinA=-lg 2 , 则△ ABC 为( ) c
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、填空题 5.在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 的形状是一定是_ 6.在△ABC 中,已知 a ? 3 2 , cos C ? 三、解答题 7.已知方程 x ? (b cos A) x ? a cos B ? 0 的两根之积等于两根之和,且 a , b 为△ABC 的两边,A、B 为两
2

1 ,S△ABC= 4 3 ,则 b ? ________ 3

内角,试判断这个三角形的形状

2 / 15

8.在△ABC 中, a ? c ? 2b, A ? C ?

?
3

,求 sinB 的值。

9、在 ?ABC中,?B ? 45?, AC ? 10, cos C ? (1) BC ? ?

2 5 ,求 5

(2)若点 D是AB的中点,求中线CD的长度。

10、如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? . A (1)证明 sin ? ? cos 2? ? 0 ; (2)若 AC= 3 DC,求 ? 的值. β B D C α

11 如图所示,在等边三角形中, AB ? a, O 为三角形的中心,过 O 的直线交 AB 于 M ,交 AC 于 N ,求

1 1 ? 的最大值和最小值. 2 OM ON 2

余弦定理(一)
? b2 ? c2 ? a 2 , ?cos A ? 2 bc 2 2 2 ? a ? b ? c ? 2bc cos A, ? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2 ? 2 2 , 余弦定理: ?b2 ? a2 ? c 2 ? 2ac cos B, ? ?cos B ? 2 ac c ? a ? b ? 2 ab cos C . ? ? 2 2 2 ? ? cos C ? a ? b ? c . ? 2ab ?
典型例题:
1.在△ABC 中,已知 a ? 8, b ? 4 3, c ? 13 ,则△ABC 的最小角为( )

? ? D. 12 4 0 2.在△ABC 中,已知 b ? 1, c ? 3, A ? 60 ,则 a ? _________
A. B. C. 3.在△ABC 中,已知 b ? 5, c ? 5 3, A ? 300 ,求 a、B、C 及面积 S

? 3

? 4

练习:
一、选择题 1.在△ABC 中,如果 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,则角A等于(
3 / 15



A. 30 0

B. 600

C. 1200

D. 1500 )

2.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是( A. b ? 10, A ? 450 , C ? 750 C. a ? 60, b ? 48, C ? 600

B. a ? 7, b ? 5, A ? 800 D. a ? 14, b ? 16, A ? 450 )

3在△ABC 中,已知 a 4 ? b 4 ? c 4 ? 2c 2 (a 2 ? b 2 ) 则角C=( A. 30 0 B. 600 C. 450 或1350 D. 1200

4.某人朝正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新方向走 3km,结果他离出发点恰好 3 km,那么 x 的值为( A. ) B. 2 3 C. 2 3 或 3 D. 3

3

二、填空题 5.已知锐角三角形的边长为 1、3、 a ,则 a 的取值范围是______ 6、在△ABC 中, ?b ? c ? : ?c ? a ? : ?a ? b? ? 4 : 5 : 6 ,则△ABC 的最大内角的度数是 7.在△ABC 中,三边的边长为连续自然数,且最大角是钝角,这个三角形三边的长分别为________ 三、解答题 8.在△ABC 中,已知A>B>C,且A=2C, b ? 4, a ? c ? 8 ,求 a、c 的长. 9. 已知锐角三角形 ABC 中, 边 a、 b 为方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,角 A、 B 满足 2 sin( A ? B) ? 3 ? 0 ,
2

求角 C、边 c 及S△ABC。 10 如图,半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作等 边三角形 ABC。问:点 B 在什么位置时,四边形 OACB 面积最大?

余弦定理(二)
典型例题:
1.在△ABC 中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 ) D.非钝角三角形

2、△ ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量 p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p / / q ,则 角 C 的大小为 (A)

? 6

(B)

? 3

(C)

? 2

(D)

2? 3

3.如图,在 ?ABC 中, ?BAC ? 120?, AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD, 则

AD ? BC ? __________ .
4 / 15

A B D

C

4. 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,且 8sin (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值.

2

B?C ? 2 cos 2 A ? 7 . 2

练习:
一、选择题

?C 的对边, a , b , c 分别是 ? A , ?B , 1. 在△ ABC 中, 且 b ? c ? 3bc ? a 则 ? A 等于 (
2 2 2



A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6


2.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,并有 sinA=2sinBcosC,那么△ABC 是( A.直角三角形 B.等边三角形 C. 等腰三角形 D.等腰直角三角形

3.在Δ ABC 中,已知 AB ?

4 6 6 ,AC 边上的中线 BD= 5 ,求 sinA 的值为( , cos B ? 3 6
70 C. 14 10 D. 14
( ) D.由增加的长度决定 )



70 A. 17
A.锐角三角形

70 B. 12

4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 B.直角三角形 C.钝角三角形

B a+c 5.在△ABC 中,cos2 = ,(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为 ( 2 2c A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

二、填空题 6.△ABC 中,AB=2,BC=5,S△ABC=4,则AC=______ 7. 在△ABC 中,已知 b ? 1, A ? 600 ,S△ABC= 3 ,则 三、解答题

a ? _______ sin A

a 2 ? b 2 sin( A ? B) ? 8.在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a, b, c ,证明 。 sin C c2
9.已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积

10 、 在 △ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,

4 sin 2

A? B 7 ? cos 2C ? , a ? b ? 5, c ? 7 . 2 2

(1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积.

5 / 15

正、余弦定理的综合应用
典型例题:
例题1.在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是___________. 例 题 2 . 在 △ ABC 中 , ∠ A 满 足 条 件 _________ ,△ABC 的面积等于_______

3 sin A ? cos A ? 1, AB ? 2cm, BC ? 2 3cm , 则 ∠ A =
a ?b?c 的值。 sin A ? sin B ? sin C

例题 3 在△ABC 中,A=60°,b=1, S △ABC ?

3 ,求

例题 4. 在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a, b, c ,已知 b 2 ? ac, 且a 2 ? c 2 ? ac ? bc , (1)求∠A的大小; (2)求

b sin B 的值 c

练习:
一、选择题 1.在△ABC 中,有一边是另一边的2倍,并且有一个角是 30 0 ,那么这个三角形( A.一定是直角三角形 B.一定是钝角三角形 C.可能是锐角三角形 )

D.一定不是锐角三角形

o s A? 2. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c , 且c
A.

1 2 B?C ? cos 2 A 的值为 , 则 sin ( 3 2



1 9

B. ?

1 9

C.

1 10

D. ?

1 10


2 2 3.已知△ABC 中, (a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) =( a ? b ) sin C 成立的条件是(

A. a ? b

0 B. ?C ? 90

0 C. a ? b 且 ?C ? 90

0 D. a ? b 或 ?C ? 90

1 4.△ABC 的两边长分别为 2,3,其夹角的余弦值为 ,则其外接圆的半径为( 3 9 2 A . 2 二、填空题 B 9 2 . 4 9 2 C . 8 D.9 2

)

2 0 5.已知在△ABC 中,A= 60 ,最大边和最小边的长是方程 3x ? 27x ? 32 ? 0 的两实根,那么 BC边

长等于______ 6.已知锐角 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c, 且(b 2 ? c 2 ? a 2 ) tan A ? 3bc. 则角 A 的大小_______; 7.在△ABC 中,AB=5,BC=8,∠ABC= 60 ,D是其外接圆 AC 弧上一点,且CD=3,则 AD的长是_______ 三、解答题 8.在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a, b, c ,S为△ABC 的面积,
0

6 / 15

2 且有 4 sin B sin (

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 1 ? 3 , 2

(1)求角B的度数; (2)若 a ? 4 ,S= 5 3 ,求 b 的值 9.△ABC 中的三 a, b, c 和面积S满足S= c 2 ? (a ? b) 2 ,且 a ? b ? 2 ,求面积S的最大值。 10.在 ?ABC 中,已知内角 A ?

?
3

,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,面积为 y .

(1) 求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

cos C 2a ? c ? b、 b , c .若 ?ABC 的外接圆的半径 R ? 3 ,且 cos B 11. 在 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a 、
求B

应用举例(一)
典型例题:
例 1 如图 1 所示,为了测河的宽度,在一岸边选定 A、 B 两点,望对岸标记物 C,测得∠CAB=30° ,∠CBA=75° , AB=120cm,求河的宽度。 分析:求河的宽度,就是求△ABC 在 AB 边上的高,而 在河的一边,已测出 AB 长、∠CAB、∠CBA,这个三角形 可确定。 2. 在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 0 30 ,600,则塔高为( ) A C

A 图1

D

B

400 米 3

B

400 3 米 3

C

200 3 米 3

D 200 米 A 3

3.在湖面上高 h 处,测得云彩仰角为?,而湖中云彩影的俯角为?,求云彩高. . 4、 如图, 为了测量塔 AB 的高度, 先在塔外选和塔脚在一直线上的三点 C 、

A

D 、E ,测得塔的仰角分别是 ? ,2? ,4? ,CD ? 30m, DE ? 10 3m ,求求 ?
的大小及塔的高。
C

? 30

2?

4?

练习:

D 10 3 E

B

一、选择题 1.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角,则 B、C 间的距离是( ) A.10 3 海里 B.

10 6 3

C. 5 2

D.5 6 海里

7 / 15

2.如图,要测量河对岸 A、B 两点间的距离,今沿河岸选取相距 40 米的 C、D 两点,测得 ∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则 AB 的距离是( (A)20 2 (B)20 3 (C)40 2 (D)20 6 ).

3、甲船在岛 B 的正南方 A 处,AB=10 千米,甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行,同时乙船自 B 出 发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60°的方向驶去,当甲,乙两船相距最近时,它们所航行的时间是 A.

150 分钟 7

B.

15 分钟 7

C.21.5 分钟

D.2.15 分钟

二、填空题 4.一树干被台风吹断折成与地面成 30°角,树干底部与树尖着地处相距 20 米,则树干原来的高度为 5.甲、乙两楼相距 20 米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°,则甲、乙 两楼的高分别是 三、解答题 6.如图:在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15?,向山顶前进 100m 后,又从点 B 测得斜度为 45?,假设建筑物高 50m,求此山对于地平面的斜度?
王新敞
奎屯 新疆

7 如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处 时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 北

120 A

2

B2

B1
乙 8 在某海滨城市附近海面有一台风,据检测,当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南 ? (cos ? ?
?

105 A 1


2 并以 20 km ) 方向 300 km 的海面 P 处, 10

/ h 的速度向西偏北 45 的方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当 前半径为 60 km ,并以 10 km / h 的速度不断增加,问几小时后该城 市开始受到台风的侵袭?持续多长时间?

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应用举例(二)
典型例题:
例 1.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时 后,看见一灯塔在船的南 60°西, 另一灯塔在船的南 75°西,则这只船的速度是每小时( ) A.5 B.5 3 海里 C.10 D.10 3 海里

例 2 某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45°距离为 10 海里的 C 处,此时得知,该渔船沿北偏东 105° 方向,以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速 21 海里,则舰艇到达渔船的最短时间是 时 例 3 如图 3,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45° 方向,距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南 偏西 15° 方向航行,若甲船以 28n mile/h 的速度航 行,应沿什么方向,用多少 h 能尽快追上乙船? 解析:设用 t h,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇。 在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9, 设∠ABC=α,∠BAC=β。 ∴α=180°-45° -15° =120° 。根据余弦定理

2 小 3

北 A 45° B 15°

AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ? ,

C 图3

1 (4t ? 28t ? ? 81 ? ? 20t ? ? 2 ? 9 ? 20t ? (? ) , 128t 2 ? 60t ? 27 ? 0 , 2 3 9 -3) (32t+9)=0,解得 t= ,t= (舍) 4 32 3 3 ∴AC=28× =21 n mile,BC=20× =15 n mile。 4 4
2 2

根据正弦定理, 得 sin ? ?

BC sin ? ? AC

15 ?

3 2 ? 5 3 ,又∵α=120°,∴β 为锐角,β=arcsin 5 3 ,又 5 3 21 14 14 14



7 2 2 5 3 ? < ,∴arcsin < , 4 14 2 14

∴甲船沿南偏东

? 3 5 3 -arcsin 的方向用 h 可以追上乙船。 4 4 14

点评: (1)航海问题常涉及到解三角形的知识,本题中的 ∠ABC、AB 边已知,另两边未知,但他们都是 航行的距离,由于两船的航行速度已知,所以,这两边均与时间 t 有关。这样根据余弦定理,可列 出关于 t 的一元二次方程,解出 t 的值。 (2)在求解三角形中,我们可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的应用题,必 须检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 例 4 已知△ ABC,BD为 B 的平分线,求证:AB∶ BC=AD∶ DC 分析:前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而 B 的平分线 BD 将△ ABC 分成了两 个三角形:△ ABD 与△ CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式:AB∶ AD=BC∶ DC,从而把问题转化
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到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为

AB AD BC DC ? , ? ,再根据相等角正弦值相等,互补角正弦值也相等即可证明结 sin ABD sin ABD sin BDC sin DBC
论. 证明:在△ ABD 内,利用正弦定理得:

AB AD AB sin ADB ? 即 ? sin ADB sin ABD AD sin ABD
在△ BCD 内,利用正弦定理得:

BC DC BC sin BDC ? ,即 ? . sin BDC sin DBC DC sin DBC
∵ BD 是 B 的平分线. ∴ ∠ ABD = ∠ DBC ∴ sinABD = sinDBC. ∵ ∠ ADB + ∠ BDC = 180° ∴ sinADB = sin ( 180° -∠ BDC ) = sin ∴

AB sin ADB sin BDC BC AB AD ? ? ? ? ∴ AD sin ABD sin DBC CD BC DC

练习:
一、选择题 1.台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心 30 km 内的地区为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 km 处,B 城市处于危险区内的时间为( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 2.已知 D、C、B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 的点仰角分别为α 、β (α >β ) 则 A 点离地面的高 AB 等于( ) A.

a sin ? sin ? sin(? ? ? )

B.

a sin ? sin ? cos(? ? ? )

C.

a cos? cos ? sin(? ? ? )

D.

a cos? cos ? cos(? ? ? )

3.在△ABC 中,已知 b=2,B=45°,如果用正弦定理解三角形有两解,则边长 a 的取值范 围是( ) A. 2 ? a ? 2 2 B. 2 ? a ? 4 C. 2 ? a ? 2 D. 2 ? a ? 2 2

二、填空题 4.我舰在敌岛 A 南 50°西相距 12nmile B 处, 发现敌舰正由岛沿北 10°西的方向以 10nmile/h 的速度 航行,我舰要用 2 小时追上敌舰,则需要速度的大小为 14nmile/h 5.在一座 20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为 60°,塔底俯角为 45°,那么这座塔的高为__20 (1+ 3 ) m _____ 三、解答题 6.如图所示,对于同一高度(足够高)的两个定滑轮,用一条(足够长)绳子跨过它们,并在两端分别挂 有 4 kg 和 2 kg 的物体,另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体,为使系统保持平衡状态,此物体的质 量应是多少?(忽略滑轮半径、绳子的重量)

F 1 4k g mk g

F 2 2k g

解:设所求物体质量为 m kg 时,系统保持平衡,再设 F1 与竖直方向的夹角为θ 1, ① 4 g cos?1 ? 2 g cos? 2 ? mg ②

F2 与竖直方向的夹角为θ 2, 则有 4 g sin ?1 ? 2 g sin ? 2
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( 其 中 g 为 重 力 加 速 度 ) 由 ① 式 和 ② 式 消 去

? 2 , 得 m 2 ? 8m cos?1 ? 12 ? 0 即

m ? 4 cos ?1 ? 2 4 cos 2 ?1 ? 3 .



2 ∵ cos? 2>0 ,由②式知,③式中 m ? 4 cos ? 1 ? 2 4 cos ? 1 ? 3 不合题意,舍去
2

又∵4cos θ 1-3≥0,解得

3 ? cos?1 ? 1 2

经检验,当 cos?1 ?

3 时, cos? 2 ? 0 ,不合题意,舍去.∴2 3 <m<6 2

综上,所求物体的质量在 2 3 kg 到 6 kg 之间变动时,系统可保持平衡. 7.海岛上有一座高出水面 1000 米的山,山顶上设有观察站 A,上午 11 时测得一轮船在 A 的北偏东 60° 的 B 处,俯角是 30°,11 时 10 分,该船位于 A 的北偏西 60°的 C 处,俯角为 60°, (1)求该船的速度; (2)若船的速度与方向不变,则船何时能到达 A 的正西方向,此时船离 A 的水平距离是多少? (3)若船的速度与方向不变,何时它到 A 站的距离最近? 解:设 AD=x,AC=y,

即x 2 ? y 2 ? xy ? 441
而在△ABC 中,



( x ? 20) 2 ? y 2 ? 2( x ? 20) y cos60? ? 312 , 2 2 即 x ? y ? xy ? 40x ? 20y ? 561 ② ②—①得 y ? 2 x ? 6 , 2 代入①得 x ? 6 x ? 135 ? 0 得 x ? 15(km) ,即此人还需走 15km 才能到达 A 城.
8.为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架
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三角形支架形状如图,要求 ?ACB ? 60 ,BC 的长度
0

大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米 为了广告牌稳固,要求 AC 的长度越短越好,求 AC 最短为多少米? 且当 AC 最短时,BC 长度为多少米? A 解:如图,设 BC 的长度为 x 米,AC 的长度为 y 米,则 AB 的长度 为(y-0.5)米 在△ABC 中,依余弦定理得:
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AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos?ACB

( y ? 0.5) 2 ? y 2 ? x 2 ? 2 yx ?


1 2
C ∵ x ? 1 ,∴ x ? 1 ? 0 B

y ( x ? 1) ? x 2 ?
化简,得
x2 ?

1 4

1 3 4 ? ( x ? 1) ? y? ?2? 3?2 x ?1 4( x ? 1) 因此

x ?1 ?
当且仅当

3 3 4( x ? 1) 时,取“=”号,即 x ? 1 ? 2 时,y 有最

小值 2 ? 3
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解三角形测试题
一、选择题 1.在△ABC 中, tan A ? sin 2 B ? tan B ? sin 2 A ,那么△ABC 一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解:由正弦定理,得 ( )

sin 2 A tan A ? sin 2 B tan B



sin 2 A sin A cos B ? · ,∵ sin A ? 0, sin B ? 0 2 sin B sin B cos A

∴ sin A cos A ? sin B cos B,即 sin 2 A ? sin 2 B 。
∴2A= 2 k? ? 2 B 或 2 A ? 2k? ? ? ? 2 B( k ? Z ) 。 ∵ 0 ? A ? ?,0 ? b ? ?,∴k ? 0,则A ? B 或 A ?

?
2

?B。
( )

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 2.△ABC 中 a ? 4 sin 10?, b ? 2 sin 50?, ?C ? 70? ,则 S△ABC= A.

1 8

B.

1 4

C.

1 2

D.

1 3
C.asinB=bsinA ) D..cosB=bcosA

3.在△ABC 中,一定成立的等式是( ) A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB

sin A cos B cos C ? ? 4.若, ,则△ABC 为( a b c

A.等边三角形 B.等腰三角形 C.有一个内角为 30°的直角三角形 D.有一个内角为 30°的等腰三角形 5.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 ( A.90° B.120° C.135° D.150° 6.设 A 是△ABC 中的最小角,且 cos A ? A.a≥3 B.a>-1

) )

a ?1 ,则实数 a 的取值范围是 a ?1
D.a>0



C.-1<a≤3

7.△ABC 中,A、B 的对边分别为 a,b,且 A=60°, a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的△ABC( A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 8.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是( ) A.b = 10,A = 45°,B = 70° B.a = 60,c = 48,B = 100° C.a = 7,b = 5,A = 80° D.a = 14,b = 16,A = 45° 9.在△ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 2 : 6 : ( 3 ? 1) ,则三角形最小的内角是 ( ) A.60° B.45° C.30° D.以上都错 10.有一长为 1 公里的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡底要伸长( A.1 公里 B.sin10°公里 C.cos10°公里 D.cos20°公里 二.填空题 11.在△ABC 中,B=1350,C=150,a=5,则此三角形的最大边长为





5 2

12 / 15

12.在△ABC 中,a+c=2b,A-C=60°,则 sinB=

39 8

.

13.在△ABC 中,已知 AB=l,∠C=50°,当∠B= 40 时,BC 的长取得最大值. 14.△ABC 的三个角 A<B<C,且 2B=A+C,最大边为最小边的 2 倍,则三内角之比为 1:2:3 15、在△ABC 中,AB=2,BC=3,AC= 7 ,则△ABC 的面积为 接圆的面积为 。 ,△ABC 的外

.

3 7? 3, 2 3

三、解答题: 16.在△ABC 中,a+b=1,A=600,B=450,求 a,b 16. a ? 3 ? 6 b ? 6 ? 2 17. a、b、c 为△ABC 的三边,其面积 S△ABC=12 3 ,bc=48,b-c=2,求 a. 解:解法一:由 ?

?b ? c ? 2 ?b ? 8 ,解得 ? ?bc ? 48 ?c ? 6
1 1 3 bc sin A ? ? 8 ? 6 sin A ? 12 3 , ∴ sin A ? 2 2 2 1 2

又∵S△ABCC=

∴cosA=± ,∴a2=b2+c2-2bc· cosA=64+36-2× 8× 6× (± )=100± 48, ∴a=2 13 或 2 37 . 解法二:∵S△ABC= ∴ sin A ?

1 2

1 1 bc sin A ? ? 48 ? sin A ? 12 3 , 2 2

3 2
1 2

∴cosA=± ,∴a2=b2+c2-2bccosA=(b-c)2+2bc(1-cosA)=22+2× 48× (1± )=100± 48 ∴a=2 13 或 a=2 37 18.在 ?ABC 中, AC ? 2 , BC ? 1 , cos C ? 3 .
4

1 2

(1)求 AB 的值; (2)求 sin ?2 A ? C ? 的值. 解: (Ⅰ) 由余弦定理,得
AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC.BC.cos C ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 3 ? 2. 4

那么, AB ? 2. (Ⅱ )由 cos C ? 3 ,且 0 ? C ? ? , 得 sin C ? 1 ? cos2 C ? 7 . 由正弦定理,得
4

4

BC sin C 14 .所以, 5 2 .由倍角公式 AB BC 解得 sin A ? ? cos A ? ? , sin C sin A AB 8 8
13 / 15

sin 2 A ? sin 2 A ? cos A ?

9 ,故 5 7 ,且 3 7. cos 2 A ? 1 ? 2sin 2 A ? sin ? 2 A ? C ? ? sin 2 A cos C ? cos 2 A sin C ? 16 16 8

19.如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ABC=600,AC=7,AD=6,S△ADC= 19.AB=9

15 3 ,求 AB 的长. 2
D

1 20.在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= . 3
(I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 解: (Ⅰ)由 C ? A ? B

A 2

1

600

C

? ? B ? B 2 B B ,且 C ? A ? ? ? B ,∴ A ? ? ,∴ sin A ? sin( ? ) ? (cos ? sin ) , 2 4 2 4 2 2 2 2

2 ∴ sin A ?

1 1 3 (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3

( Ⅱ ) 如 图 , 由 正 弦 定 理 得

AC BC AC sin A ? ∴ BC ? ? sin B sin A sin B

6? 1 3

3 3 ?3 2 , 又

s iC n?

sA i? n B ( ?

) A s i B n ?

c oA s ?

3 2 2 6 1 6 B c? o s ? s i n? ? 3 3 3 3 3

∴ S?ABC ?

1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

21.一缉私艇在岛 B 南 50°东相距 8( 6 ? 2 )n mile 的 A 处,发现一走私船正由岛 B 沿方位 角为 10 方向以 8 2 n mile/h 的速度航行,若缉私艇要在 2 小时时后追上走私船,求其航速和 航向. 21. 缉私艇应以 8 3 n mile/ h 的速度按方位角 355°方向航行. 22、如图所示,为了测量河对岸 A,B 两点间的距离, 在这一岸定一基线 CD,现已测出 CD=a 和∠ACD=60° , ∠BCD=30° ,∠BDC=105° ,∠ADC=60° ,试求 AB 的长. 解:在△ACD 中,已知 CD=a,∠ACD=60° ,∠ADC=60° ,所以 AC=a. asin105° 3+1 在△BCD 中,由正弦定理可得 BC= = a. sin45° 2 ① ②

在△ABC 中,已经求得 AC 和 BC,又因为∠ACB=30° ,所以利用余弦定理可以求得 A、B 两点之
14 / 15

间的距离为 AB= AC2+BC2-2AC· BC· cos30° =

2 a. 2

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