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等差数列题型总结、知识点


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等差数列
一.等差数列知识点:
1 等差数列的定义:
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①如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就 叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示 2 等差数列的判定方法:
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②定义法:对于数列 ?a n ? ,若 a n ?1 ? a n ? d (常数),则数列 ?a n ? 是等差数列 ③等差中项:对于数列 ?a n ? ,若 2 a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ,则数列 ?a n ? 是等差数列 3 等差数列的通项公式:
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④如果等差数列 ?a n ? 的首项是 a 1 ,公差是 d ,则等差数列的通项为 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d 该
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公式整理后是关于 n 的一次函数 4 等差数列的前 n 项和:
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⑤Sn ?

n (a1 ? a n ) 2

⑥ S n ? na 1 ?

n ( n ? 1) 2

d
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对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 5 等差中项:
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⑥如果 a , A ,b 成等差数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 即: A ?
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a?b 2

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或2A ? a ? b

在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与 后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 5 等差数列的性质:
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⑦等差数列任意两项间的关系:如果 a n 是等差数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项, 且 m ? n ,公差为 d ,则有 a n ? a m ? ( n ? m ) d ⑧ 对于等差数列 ?a n ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 a n ? a m ? a p ? a q 也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ? ⑨若数列 ?a n ? 是等差数列,S n 是其前 n 项的和,k ? N ,那么 S k ,S 2 k ? S k ,S 3 k ? S 2 k
*
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成等差数列 如下图所示:
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??????????? ??????????? ? ? 3k ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a k ? a k ? 1 ? ? ? a 2 k ? a 2 k ? 1 ? ? ? a 3 k ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?
Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2k

S

二、题型选析:
考试对等差数列的考察,侧重在求值、等差数列性质和前 n 项和,求值的过程中,对首项和
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公差的把握是重中之重,其实很多的试题都是在围绕对首项和公差的应用在考察。性质的题要 求学生对性质的熟练应用,题目一般在简单难度。

题型一、计算求值(等差数列基本概念的应用)
1、.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,2a -5, -3a +2,则 a 等于( A . -1 A.49 B.1 C .-2 B.50 D. 2 ) D.52 ) D.45 ) C.51 2.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则 a101 的值为 ( )

3.等差数列 1,-1,-3,…,-89 的项数是( A.92 B.47 C.46

4、已知等差数列 { a n } 中, a 7 ? a 9 ? 16 , a 4 ? 1, 则 a 12 的值是( ( A 15 B 30 ) C 31

D 64 )

5. 首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是?( A.d>

8 3

B.d<3

C.

8 3

≤d<3

D.

8 3

<d≤3

6、.在数列 { a n } 中,a 1 ? 3 ,且对任意大于 1 的正整数 n ,点 ( a n , a n ?1 ) 在直 x ? y ? 3 ? 0 上,则 a n =_____________. 7、在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10= .

题型二、等差数列性质
1、已知{an}是等差数列,a7+a13=20,则 a9+a10+a11=( A.36 B.30 C.24 D.18 )

2、在等差数列 ?a n ? 中, a 1 ? a 2 ? ... ? a 50 ? 200 , a 51 ? a 52 ? ... ? a 100 ? 2700 , 则 a 1 为( A
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) B
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?2 2 . 5

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?2 1 . 5

C

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?2 0 . 5

D

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? 20

3、 若等差数列 ?a n ? 中, a 3 ? a 7 ? a10 ? 8, a11 ? a 4 ? 4, 则 a 7 ? __________ .
2

1 a n ?1

?

1 a n ?1

2

4、 )数列{an}中,a1=1,a2= 3 ,且 n≥2 时,有 (
2 2 2

=

an

,则
2

A.an=( 3 )n

B.an=( 3 )n-1

C.an= n ? 2

D.an= n ? 1
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5、.设

? a n ? 是首项为1 的正项数列,且 ( n ? 1) ?a n2?1 ? na n2 ? a n ?1a n
an ?

? 0 ( n ? 1,, ? ) 2 3,

,则它的通

项公式是

---------------

题型三、等差数列前 n 项和
1、等差数列 ? a n ? 中,已知 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a10 ? p , a n ? 9 ? a n ? 8 ? ? ? a n ? q ,则其前 n 项

和 Sn ?
1 2 n ?3 n ? 4 ?

. ( C.
1 2

2、等差数列 ? 2 ,1, 4 , ? 的前 n 项和为 A. B.
1 2 n ?3 n ? 7 ?


n ?3 n ? 4 ?

D.

1 2

n ?3 n ? 7 ?

3、已知等差数列 ?a n ? 满足 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 99 ? 0 ,则 A. a 1 ? a 99 ? 0 则n ? B. 。
a 1 ? a 99 ? 0

( D.


a 50 ? 50
[来源:学科网 ZXXK]

C.

a 1 ? a 99 ? 0

4、在等差数列 ?a n ? 中, a 1 ? a 2 ? a 3 ? 15 , a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? 78 , S n ? 155 , 5、等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 2, S 4 ? 10, 则 S 6 等 于 ( A.12 B.18 C.24
*



D.42

6、若等差数列共有 2 n ? 1 项 ?n ? N 则项数为 A. 5 ( B. 7 ) C. 9

?,且奇数项的和为 44,偶数项的和为 33,

D. 11
Sn Tn a5 b5

7、 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 9 , S 6 ? 36 ,则 a 7 ? a8 ? a 9 ?
8、 若两个等差数列 ? a n ? 和 ? b n ? 的前 n 项和分别是 S n, Tn , 已知

?

7n n?3

, 则

等于 (



A. 7

B.

2 3

C.

27 8

D.

21 4

三、等差数列习题精选
1、等差数列 { a n } 的前三项依次为 x , 2 x ? 1 , 4 x ? 2 ,则它的第 5 项为( A、 5 x ? 5 B、 2 x ? 1 C、5 D、4 ) 2、设等差数列 { a n } 中, a 4 ? 5 , a 9 ? 17 ,则 a 14 的值等于( A、11 B、22 C、29 )

D、12

3、设 ? a n ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a 2 ? a 3 ? 15 , a1 a 2 a 3 ? 80 ,
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则 a11 ? a12 ? a13 ? ( A. 120 ) B. 105 C. 90 ( ) D. 75

4、若等差数列 { a n } 的公差 d ? 0 ,则 (A) a 2 a 6 ? a 3 a 5 (C) a 2 a 6 ? a 3 a 5 范围是( A. ? ? 0 ) B. ? ? 0 C. ? ? 0

(B) a 2 a 6 ? a 3 a 5 (D) a 2 a 6 与 a 3 a 5 的大小不确定
2

5、 已知 ? a n ? 满足,对一切自然数 n 均有 a n ?1 ? a n ,且 a n ? n ? ? n 恒成立,则实数 ? 的取值

D. ? ? ? 3

6、等差数列 ?a n ?中, a1 ? 1, 公差 d ? 0 , 若 a1 , a 2 , a 5 成等比数列,则 d 为 ( (A) 3 A、 p ? q 首项是 A、1
9、已知 A. -1 B. 1



(B)

2

(C)

?2

(D)

2 或? 2 D、 pq

7、在等差数列 ?a n ? 中, a p ? q , a q ? p ( p ? q ) ,则 a p ? q ? B、 ? ( p ? q ) C、0 8、设数列 ?a n ? 是单调递增的等差数列,前三项和为 12,前三项的积为 48,则它的 B、2
为等差数列, C. 3

C、4
D.7

D、8
,则
a 20

a1 ? a 3 ? a 5 ? 105, a 2 ? a 4 ? a 6 ? 99

等于(



10、已知 ? a n ? 为等差数列,且 a 7 -2 a 4 =-1, a 3 =0,则公差 d= A.-2 B.-
1 2

C.

1 2

D.2 ) )

11、在等差数列 ? a n ? 中, a 2 ? a 8 ? 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 ( A.18 A.63 则n ? 。 (
9 8

B 27 B.45

C 36 C.36

D9 D.27

12、设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 9 , S 6 ? 36 ,则 a 7 ? a8 ? a 9 ? ( 13、在等差数列 ?a n ? 中, a 1 ? a 2 ? a 3 ? 15 , a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? 78 , S n ? 155 , 14、在等比数列中, a 1 ? a 2 ? a 3 ? 6 , a 2 ? a 3 ? a 4 ? ? 3 , 则 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? A.
11 8



B.

19 16

C.

D.

3 4

15、数列 ?a n ? 是等差数列,它的前 n 项和可以表示为
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A. S n ? An ? Bn ? C
2

B. D.
a
2

S n ? An S n ? An

2 2

? Bn ? Bn ? a ? 0 ?
1 an ? a

C.

S n ? An

2

? Bn ? C ? a ? 0 ?

16、已知数列{an}满足 a1=2a,an=2a- ⑴ 求证:数列{bn}是等差数列. ⑵ 求数列{an}的通项公式.

a n ?1

(n≥2) .其中 a 是不为 0 的常数,令 bn=



小结
1、等差中项:若 a , A , b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?
a?b 2

2、为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,
a ? 2 d , a? d, a, a ? d ? 2 … ( 公 差 为 d ); 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 … , , a d

a ? 3 d , a ? d , a ? d , a ? 3 d ,…(公差为 2 d )

3、当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函 数,且斜率为公差 d ;若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列, 若公差 d ? 0 ,则为常数列。 4 、 当 m ? n ? p ? q时 , 则 有 a m ? a n ? a p ? a q , 特 别 地 , 当 m ? n ? 2 p 时 , 则 有
am ? an ? 2 a p .

5 、 若 { a n } 、 {b n } 是 等 差 数 列 , 则 { ka n } 、 { ka n ? pbn } ( k 、 p 是 非 零 常 数 ) 、
{ a p ? nq }( p , q ? N ) 、 S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n ,…也成等差数列,而 { a n } 成等比数列;
*

a

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