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高中立体几何大量习题及答案1


立体几何 一、选择题 1. 给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行;②垂直于同一平面的两个平面互相平行; ③若直线 l1 , l2 与同一平面所成的角相等,则 l1 , l2 互相平行;④若直线 l1 , l2 是异面直线,则与 l1 , l2 都相
交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 将正方形 ABCD 沿对角

线 BD 折成一个 120° 的二面角,点 C 到达点 C1,这时异面直线 AD 与 BC1 所成 角的余弦值是( ) A. 3.

2.

2 2

B.

1 2

C.

3 4

D.

3 4

一个长方体一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ,这个长方体对角线的长为( ) A.2 3 B.3 2 C.6 D. 6
A H J D I B E G F C

4.

5.

6.

如图,在正三角形 ABC 中,D、E、F 分别为各边的中点,G、H、I、J 分别 为 AF、AD、BE、DE 的中点.将△ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥以后, GH 与 IJ 所成角的度数为( ) A.90° B.60° C.45° D.0° 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体,可放棱长 为 1 的正 方体内,使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行, 且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无穷多个 正方体 A′B′C′D′—ABCD 的棱长为 a,EF 在 AB 上滑动,且 |EF|=b(b<a=,Q 点在 D′C′上滑动,则四面体 A′—EFQ 的体积( ) A.与 E、F 位置有关 B.与 Q 位置有关 C.与 E、F、Q 位置都有关 D.与 E、F、Q 位置均无关,是定值

7.

三个两两垂直的平面,它们的三条交线交于一点 O,点 P 到三个平面的距离比为 1∶2∶3,PO=2 14 ,

则 P 到这三个平面的距离分别是( ) A.1,2,3 B.2,4,6 C.1,4,6 D.3,6,9 A 8. 如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四面体的内切球(与四个 面都相切的球)球心 O,且与 BC,DC 分别截于 E、F,如果截面将 四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥 A-BEFD 与三棱锥 A- O D EFC 的表面积分别是 S1, S2,则必有( ) F A.S1?S2 B.S1?S2 C.S1=S2 D.S1,S2 的大小关系不能确定 B E 9. 条件甲:四棱锥的所有侧面都是全等三角形,条件乙:这个四棱锥 C 是正四棱锥,则条件甲是条件乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10. 已知棱锥的顶点为 P,P 在底面上的射影为 O,PO=a,现用平行于底面的平面去截这个棱锥,截面 交 PO 于点 M,并使截得的两部分侧面积相等,设 OM=b,则 a 与 b 的关系是( ) A.b=( 2 -1)a B.b=( 2 +1)a
1

C.b=

2 ? 2a 2

D.b=

2 ? 2a 2
)

11. 已知向量 a =(2,4,x), b =(2,y,2),若| a |=6, a ⊥ b ,则 x+y 的值是 (

12. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6 ,这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上, 这个球的表面积是( ) A.12π B. 18π C.36π D. 6π 13. 已知某个几何体的三视图如下,图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是( ) A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3
20

C. 2000cm3

D. 4000cm3

20 20 20 正视图 侧视图 俯视图 14. 已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( ) A.1200 B.1500 C.1800 D.2400 15. 在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经过棱锥的一条侧 棱和高作截面,正确的截面图形是( )
D1 A1 B1 C1 N

10 10

P R M A 16. 正四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 中,AB=3,BB1=4.长为 1 的线段 PQ 在棱 D B C Q C AA1 上移动,长为 3 的线段 MN 在棱 CC1 上移动,点 R 在棱 BB1 上移 D A 动,则四棱锥 R–PQMN 的体积是( ) B A.6 B.10 C.12 D.不确定 17. 已知三棱锥 O-ABC 中,OA、OB、OC 两两互相垂直,OC=1,OA=x,OB=y,若 x+y=4,则已知 三棱锥 O-ABC 体积的最大值是 ( )

A.1

B.

1 3

C.

2 3

D.

3 3

18. 如图,在正四面体 A-BCD 中,E、F、G 分别是三角形 ADC、ABD、BCD 的中心,则△EFG 在该正 四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ( ) A.①③ B.②③④ C.③④ D.②④ A

F?
B

① ② ③ 19. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 ( D
A.

G?

?

E

C


)

S S 2

B.

S S 2 ?

C.

S S 4

D.

S S 4 ?

20. 已知直线 AB、CD 是异面直线,AC⊥AB,AC⊥CD,BD⊥CD,且 AB=2,CD=1,则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 ( ) A.300 B.450 C.600 D.750

? ? ? ? ? ? a ? (1,1,0) , b ? (?1,0,2) ,且 k a ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 值是 ( ) 21. 已知向量
2

A. 1

B.

1 5

C.

3 5

D.

7 5

22. 在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有 ( ) A.4 个 B.2 个 C.3 个 D.1 个 23. 三棱锥 A-BCD 中,AC⊥BD,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,则四边形 EFGH 是 ( ) A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.正方形 24. 在正四面体 P—ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( ) A.BC//平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 ABC D.平面 PAE⊥平面 ABC 25. 一棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积的比为 1:3,则此截面把一条侧棱分成的两 线段之比为( ) A.1:3 B.1:2 C.1: 3 D.1: 3 —1 26. 正四面体 P—ABC 中,M 为棱 AB 的中点,则 PA 与 CM 所成角的余弦值为( ) 3 3 3 3 A. B. C. D. 2 6 4 3 27. 一个三棱锥 S—ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,且长度分别为 1, 6 ,3 已知该三棱锥的 四个顶点都在一个球面上,则这个球的表面积为( ) A.16π B.32π C.36π D.64π a 28. 在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P、Q 是对角线 A1C 上的点,PQ= ,则三棱锥 P—BDQ 2 的体积为( ) 3 3 3 A. a3 B. a3 C. a3 D.不确定 18 24 36 29. 若三棱锥 P—ABC 的三条侧棱两两垂直,且满足 PA=PB=PC=1,则 P 到平面 ABC 的距离为( ) 6 6 3 3 A. B. C. D. 6 3 6 3 30. 将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为( ) 3 +2 6 2 6 2 6 4 3 +2 6 A. B.2+ C.4+ D. 3 3 3 3 31. PA、PB、PC 是从 P 点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 60° ,那么直线 PC 与平面 PAB 所成 角的余弦值是( ) 1 2 3 6 A. B. C. D. 2 2 3 3 32. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,任作平面 α 与对角线 AC1 垂直,使得 α 与正方体的每个面都有公共点, 设得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l,则( ) A.S 为定值,l 不为定值 B.S 不为定值,l 为定值 C.S 与 l 均为定值 D.S 与 l 均不为定值 二、填空题 33. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ? ,则 cos ? =______. 34. 多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一 个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,正方体上与顶点 A 相 邻的三个顶点到 ? 的距离分别为 1,2 和 4,P 是正方体的其余四个顶 点中的一个,则 P 到平面 ? 的距离可能 ? 是:( ) A1 ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7 以上结论正确的为______________.(写出所有正确结论的编号)

D1 C

C1 A1 B1

D

B A

3

35. 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 1,高为 8,一质点自

A 点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短路线的长为
. 36. 如图,表示一个正方体表面的一种展开图,图中 的四条线段 AB、CD、EF 和 GH 在原正方体中 相互异面的有_____对

主视图
A1 C1 A1 C D1 A

左视图
C1 B

37. 如图是一个长方体 ABCD-A1B1C1D1 截去一个角后的 多面体的三视图,在这个多面体中,AB=4,BC=6, CC1=3.则这个多面体的体积为 .

B A1

B

C1

俯视图
38. 如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等 D 是 A1C1 的 中点,则直线 AD 与平面 B1DC 所 成角的正弦值为_______ . 39. 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角形,?ACB=90?,AC=6,BC=CC1= 2 ,P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是_________. 40. 已知平面 ? 和平面 ? 交于直线 l ,P 是空间一点,PA⊥ ? ,垂足为 A,PB⊥

? ,垂足为 B,且 PA=1,PB=2,若点 A 在 ? 内的射影与点 B 在 ? 内的射 影重合,则点 P 到 l 的距离为 ___________ .

A B P

C

1 C1 41. 若三角形内切圆半径为 r,三边长为 a,b,c,则三角形的面积 S= r (a+b+c) , A1 2 根据类比思想,若四面体内切球半径为 R,四个面的面积为 S1,S2,S3,S4, B1 则四面体的体积 V=______________. 42. 四面体 ABCD 中,有如下命题:①若 AC⊥BD,AB⊥CD,则 AD⊥BC;② 若 E、F、G 分别是 BC、AB、CD 的中点,则∠FEG 的大小等于异面直线 AC 与 BD 所成角的大小; ③若点 O 是四面体 ABCD 外接球的球心,则 O 在面 ABD 上的射影为△ABD 的外心;④若四个面是 全等的三角形,则 ABCD 为正四面体 _ (填上所有正确命题的序号). 三、解答题 43. 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 DA ? DC ? 4, DD1 ? 3 ,求异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示).

44. 如图, 1 、 2 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段。点 A、B 在 1 上,C 在 2 上, AM ? MB ? MN . (1)证明 AC⊥ NB ; (2)若 ?ACB ? 60 ,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值.
O

l

l

l

l

4

45. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, p 是侧棱 CC1 上的一点, CP ? m . (1)若直线 AP 与平面 BDD1 B1 所成角的正切值为 3 2 ,求 m; (2)在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q ,使得对任意的 m , D1Q 在平 面 APD 上的射影垂直于 AP .并证明你的结论. 1

46. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、P 分别为棱 AB、BC、DD1 的中点, 求证:PB⊥平面 MNB1。 47. 如图,在长方体 ABCD─A1B1C1D1 中,E、P 分别是 BC、A1D1 的中 点,M、N 分别是 AE、CD1 的中点,AD=AA1=a,AB=2a. (1)求证:MN∥面 ADD1A1; (2)求三棱锥 P─DEN 的体积.

48. 在四棱锥 P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB⊥平面 PBC,

D A E B P
?

1 AB∥CD,AB= DC, E为PD中点 . 2
(1)求证:AE∥平面 PBC; (2)求证:AE⊥平面 PDC.

C

49. 设空间两个不同的单位向量 a =(x1,y1,0), b =(x2,y2,0)与向量 c =(1,1,1)的夹角都等于 4 (1)求 x1+y1 和 x1y1 的值; (2)求< a , b >的大小(其中 0<< a , b ><π ) . 50. 如图,棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P、M、N 分别为棱 DD1、AB、BC 的中点. (1)证明:PB⊥MB1; (2)在线段 A1D1 上求一点 Q,使得 QD∥平面 B1MN; (3)画出这个正方体表面展开图,使其满足―有 4 个正方形面相连成一 个长方形‖的条件,并求出展开图中 P、B 两点间的距离.

.

D1 A1 P D N A M B B1

C1

C

51. 矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4(如图),沿对角线 BD 把△ABD 折起,使点 A 在平面 BCD 上的射影 E 落在 BC 上. (1)求证:平面 ACD⊥平面 ABC; (2)求三棱锥 A-BCD 的体积.
5

A

A

D

B

D E

52. 53. 54.

B

C

C

55. 如图,三棱锥 P-ABC 中,∠ABC= 90 ? ,PA=1,AB= 3 ,AC=2,PA⊥面 ABC. (1)求直线 AB 和直线 PC 所成角的余弦值; (2)求 PC 和面 ABC 所成角的正弦值;
P

56. 已知三点 A(1,0,0) , B(3,1,1) , C (2,0,1) , (1)求 CB 与 CA 的夹角; (2)求 CB 在 CA 方向上的投影.

A C

B

57. 有一块边长为 4 的正方形钢板,现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不 计).有人应用数学知识作如下设计:在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剰余部分围成一个长方 体,该长方体的高是小正方形的边长. (1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的最大容积 V1; (2)请你判断上述方案是否最佳方案,若不是,请设计一种新方案,使材料浪费最少,且所得长方体容 器的容积 V2>V1. 58. 如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB=2, AA1 ? 2 ,由顶点 B 沿棱柱 侧面经过棱 AA1 到顶点 C1 的最短路线与 AA1 的交点记为 M,求: (1)三棱柱的侧面展开图的对角线长;
A1 B1 M A B C C1

AM (2)该最短路线的长及 1 的值; AM
59. 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E 是棱 BC 的中点,点 F 是棱 CD 上的动点.试确定点 F 的位置,使得 D1E⊥平面 AB1F。
P

60. 如图,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高都是 2, AB=4. (1)证明 PQ⊥平面 ABCD; (2)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; A (3)求点 P 到平面 QAD 的距离.

D B

C

Q

6

参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 D D D B D D B C 9 10 11 12 13 14 15 16 B C A D B C B A 17 18 19 20 21 22 23 24 C C D C D A B C 25 26 27 28 29 30 31 32 D B A C D C C B 1. D.利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确,故选择答案 D. 2. D.由题意易知∠ABC1 是 AD 与 BC1 所成的角,解△ABC1,得余弦为

3 .答案:D. 4

?ab ? 2 ?a 2 ? 2 ? ? ? ? 3. D.设长宽高为 a、b、c,则 ?bc ? 3 ? ?b 2 ? 1 ? l= 6 ,答案:D. ? ? 2 ?c ? 3 ?ac ? 6 ? ?
4. B.平面图形折叠后为正三棱锥.如图,取 EF 的中点 M,连结 IM、MJ,则 MJ ∴MJ∥GH,∠IJM 为异面直线 GH 与 JI 所成的角.
(A , , ) BC
D' A' Q B' C'

1 FD,GH 2

1 FD, 2

G F H M J D

I E

D A E F B

C

R

i.

2 3

ii. 由已知条件易证△MJI 为正三角形.∴∠IJM=60° .答案:B. 5. D. 法一:本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形,显然有无穷多个

1 ,考查放入正方体后,面 ABCD 所在的截面,显然其 2 ?1 ? ?1 1 ? 面积是不固定的,取值范围是 ? ,1? ,所以该几何体的体积取值范围是 ? , ? ?2 ? ?6 3 ?
法二:通过计算,显然两个正四棱锥的高均为 6. D.VA′-EFQ=VQ-A′EF. 7. B. 8. 9. C .连 OA、OB、OC、OD 则 VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD b) VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC 又 VA-BEFD=VA-EFC 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的 半径,故 SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC+SEFC 又面 AEF 公共,故选 C 9. 11. B.乙 ? 甲,但甲 乙,例如四棱锥 S—ABCD i. 的底面 ABCD 为菱形,但它不是正四棱锥.

10. 12. C.由平行锥体底面的截面性质,知 案:C.

2 2? 2 PM OM 2 ? 2 b 2? 2 = ,∴ = .∴ = .∴b= a.答 2 2 2 2 PO PO a

7

11. A

?4 ? 16 ? x 2 ? 36 ? ? ?4 ? 4 y ? 2 x ? 0 ? 由题知 ?

? x ? 4, ? x ? ? 4, ? ? y ? ?3 ? y ? 1 . ? 或 .

12. D.先计算出三条棱的长度分别为 3, 2 ,1 .所以体对角线长为 6 .所以外接球的直径为 6 ,算出表面积 为 6π. 13. B. V=20× 20/3 . 20× 14. C.提示:设圆锥母线长为 L,底面半径为 R,由题意知侧面积是底面积的 2 倍,所以有 πRL=2πR2,解出 L=2R. 侧面展开图扇形的弧长为 2πR,半径为 L=2R,所以扇形的圆心角大小为

2?R ?? . 2R

15. B. 16. A.提示:连接 PC,将四棱锥分割成成两个三棱锥 M-PQR,P-MNR.分别计算两个三棱锥的体积即可.

1 1?x? y? 2 xy ? ? ? ? . 6? 2 ? 3 17. C.体积为 6
2

18. C.正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上,所以①②不正确,根据射影的 性质 E、F、G、三点在平面 ABC 内的射影形状如―④‖所示,在其它平面上的射影如―③‖所示. 19. D.设底面直径为 d,则侧面积为 πd2=S,所以 d=

S

?

.

cos? ? cos ? AB, CD ? ?
20. C.设 AB 与 CD 所成的角为 θ,则

AB ? CD AB ? CD

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ??? ??? ???? ??? ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? AB ? CD 2 由于 AB ? CD ? ( AC ? CD ? DB ) ? CD ? AC ? CD ? CD ? DB ? CD ? 0 ? 1 ? 0 ? 1,? cos ? ? ??? ??? ? ? AB ? CD ? 1 1 ? .由于00 ? ? ? 900 ,?? ? 600,故异面直线AB与CD所成角的大小为600. 2 ?1 2

21. D. k a ? b = k (1,1,0) ? (?1,0,2) ? (k ? 1, k ,2) , 2a ? b ? 2(1,1,0) ? (?1,0,2) ? (3,2,?2) , ∵两向量垂直 ∴ 3(k ? 1) ? 2k ? 2 ? 2 ? 0 ∴ k ? 22. A. 23. B. 33.

7 . 5

D1 C

C1 A1 B1

6 .不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角 3
相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,

D A1

?

B A 第 16 题图

34. ①③④⑤. 如图,B、D、A1 到平面 ? 的距离分别为 1、2、4,则 D、 A1 的中点到平面 ? 的距离为 3,所以 D1 到平面 ? 的距离为 6;B、A1

2 6 ? 即为体对角线与该正方体所成角.故 cos ? ? . 3 3

5 ,所以 B1 到平面 ? 的距离为 5;则 D、B 2 3 的中点到平面 ? 的距离为 ,所以 C 到平面 ? 的距离为 3;C、A1 的 2 7 中点到平面 ? 的距离为 ,所以 C1 到平面 ? 的距离为 7;而 P 为 C、 2
的中点到平面 ? 的距离为 C1、B1、D1 中的一点,所以填①③④⑤.
8

35. 将正三棱柱 ABC ? A1B1C1 沿侧棱 CC1 展开,其侧面展开图如图所示,由图

中路线可得结论. 36. 解析:相互异面的线段有 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH3 对. 37. 60.提示:用长方体的体积减一个三棱锥的体积. 38.
4 5

39. 5 2 40. 5 41.
1 r (S1+S2+S3+S4 ) 3 ③

42. ①

法一:连接 A1 D ,

? A1 D // B1C , ? ?BA1 D 为异面直线 A1 B 与 B1C 所成的角. 连接 BD ,在△ A1 DB 中,

A1 B ? A1 D ? 5, BD ? 4 2 ,
则 cos ?BA1 D ?

A1 B 2 ? A1 D 2 ? BD 2 2 ? A1 B ? A1 D

?

25 ? 25 ? 32 9 ? . 2?5?5 25 9 . 25

?异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为 arccos

法二:以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DD1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系. 则 A1 (4, 0, 3)、B(4, 4, 0)、B1 (4, 4, 3)、C (0, 4, 0) , 得 A1 B ? (0, 4, ? 3),

B1C ? (?4, 0, ? 3) .

设 A1 B 与 B1C 的夹角为 ? , 则 cos ? ?

A1 B ? B1C A1 B ? B1C

?

9 , 25

? A1 B 与 B1C 的夹角大小为 arccos

9 , 25

即异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为

arccos

9 . 25

43. (1)AM = MB = MN,说明 NM 是△ANB 的中线且为边 AB 的一半,所以△ANB 是直 角三角形,其中 ? ANB 为直角。所以 BN ? NA。① l1 ? l2 且 MN ? l2 ? l2 ? 面 ABN ? l2 ? BN。②

9

由①、②可推出 BN ? 面 NAC。所以 AC ? BN。 (2)MN ? AB 且 M 为 AB 中点 ? AN = MN ③ 由(1)知,AN、BN、CN 两两垂直 ④ 由③、④ ? AC = BC,又 ? ACB = 60? ,所以△ABC 是等边三角形。 设 BN 长度为 1,则 AB = 2 ,

C

A M 图 3 B N

S?ABC ?

3 4

? 2?

2

?

3 2

1 ; 6 1 三棱锥 N ? ABC 的体积为: S ?ABC h 3
三棱锥 C ? ABN 的体积为: 由 VC ? ABN ? VA? ABC 可得 点 N 到面 ABC 的距离 h ?

实际上,这个题的命题背景是 N ? ABC 是正方体的一个―角‖。如图 3. 44. 法一:(1)连 AC,设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与平面 BDD1B1 相交于点,,连结 OG,因为 PC∥平面 BDD1B1 , 平面 BDD1B1 ∩平面 APC=OG, 故 OG∥PC,所以,OG=
D1 A1

3 3 h 3 记 NB 与平面 ABC 所成角为 ? ,则 sin ? ? 。 ? NB 3 6 从而 cos? ? 3

C1 B1
G O P

1 m PC= . 2 2

又 AO⊥BD,AO⊥BB1,所以 AO⊥平面 BDD1B1 , 故∠AGO 是 AP 与平面 BDD1B1 所成的角.
2 1 OA 在 Rt△AOG 中,tan ? AGO= ? 2 ? 3 2 ,即 m= 3 . m GO 2
A

D

C

B

所以,当 m=

1 时,直线 AP 与平面 BDD1B1 所成的角的正切值为 3 2 . 3

(2)可以推测,点 Q 应当是 AICI 的中点 O1,因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ,所以 D1O1⊥平面 ACC1A1, 又 AP ? 平面 ACC1A1,故 D1O1⊥AP. 那么根据三垂线定理知,D1O1 在平面 APD1 的射影与 AP 垂直。 法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1) ??? ? ???? ??? ? ??? ? 所以 BD ? (?1, ?1,0), BB1 ? (0,0,1), AP ? (?1,1, m), AC ? (?1,1,0). 又由 AC ? BD ? 0, AC ? BB1 ? 0 知, AC 为
D1 A1 D C
y

??? ??? ? ?

??? ???? ?

??? ?

z

C1
j

O1 B1

P

A

B

10

x

z D1 A1 P D A N M B B1

C1

C y

平面 BB1D1D 的一个法向量.

x

??? ??? ? ? AP ? AC ? 2 设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 ? ,则 sin ? ? cos( ? ? ) ? ??? ??? ? 依题意有 ? ? 2 2 AP ? AC 2? 2?m
2 2 ? 2 ? m2 ? 3 2 1 ? (3 2) 2 , 解得 m ?
1 1 .故当 m ? 时,直线 AP 与平面 BB1D1D 所成的角的正切 3 3

值为 3 2 . 依题意,对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP,等价于 D1Q⊥AP

(2)若在 A1C1 上存在这样的点 Q,设此点的横坐标为 x ,则 Q(x,1- x ,1), D1Q ? ( x,1 ? x,0) 。

???? ?

??? ???? ? ? 1 ? AP ? D1Q ? 0 ? ? x ? (1 ? x) ? 0 ? x ? . 即 Q 为 A1C1 的中点时,满足题设要求. 2

45. (1)如图,以 D 为原点,DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,取正方体棱长 为 2,则 P(0,0,1) 、M(2,1,0) 、B(2,2,0) 1(2,2,2). 、B

∵ PB · 1 =(2,2,-1)· (0,1,2)=0, MB ∴MB1⊥PB,同理,知 NB1⊥PB. ∵MB1∩NB1=B1,∴PB⊥平面 MNB1. 46. 法一:以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 D─xyz, 则 A(a,0,0)、B(a,2a,0)、C(0,2a,0)、A1(a,0,a)、 D1(0,0,a) ∵E、P 分别是 BC、A1D1 的中点,M、 N 分别是 AE、CD1 的中点, ∴E(

a a 3a a ,2a,0 ),P( ,0, a ),M( , a,0 ) ,N( 0, a, ) 2 2 4 2
0 ,∴ MN

???? ? ? ???? ? 3a a (1) MN = (,0, ) ,取 n ? (0,1,0) ,显然 n ⊥面 ADD1A1 而 MN ?n 4 2 ADD1A1, ∴MN∥面 ADD1A1;

? n .又∴MN ? 面

(2)设 n1 = ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 DEN 的法向量, n1 ? DE, n1 ? DN ???? ???? ? a a ??? a 又 DE = ( , 2a,0) , DN = (0, a, ) , DP = ( , 0, a) 2 2 2

?? ?

?a ? 2 x1 ? 2qy1 ? 0, ? x1 ? ?4ay1 , ? ?? 即? 所以面DEN的一个法向量n1 ? (4,?1,2) a ? z1 ? ?2 y1 . ?ay ? z ? 0. ? 1 2 1 ?
∴P 点到平面 DEN 的距离为 d=
???? ???? ???? ???? DE ×DN ∵ cos < DE, DN > = ???? ???? = DE DN
??? ?? ? ? DP ×n1 ?? = ? n1 2a + 2a 16 + 1 + 4 21 ???? ???? ???? ???? 8 DE ×DN , sin < DE, DN > = ???? ???? = 85 DE DN
11

=

4a

21 85

,

SD DEN =

???? ???? 1 ???? ???? DE 鬃 DN sin < DE , DN > = 2

21 2 a . 8

1 a3 . SDDEN ?d 3 6 法二: (1)证明:取 CD 的中点 K ,连结 MK , NK ∵ M , N , K 分别为 AK , CD1 , CD 的中点

所以 VP- DEN =

∵ MK // AD, NK // DD1 ∴ MK // 面 ADD1 A1 , NK // 面 ADD1 A1 ∴面 MNK // 面 ADD1 A1 ∴ MN // 面 ADD1 A1 (2) S?NEP ?

作 DQ ? CD1 ,交 CD1 于 Q ,由 A1 D1 ? 面CDD1C1 ,得 A1 D1 ? DQ ,∴ DQ ? 面BCD1 A1 . 在 Rt ?CDD1 中, DQ ?
CD ? DD1 2a ? a 2 ? ? a, CD1 5a 5

1 1 1 5 2 S矩形ECD1P ? BC ? CD1 ? ? a ? a 2 ? 4a 2 ? a . 2 4 4 4



VP ? DEN ? VD ? NEP

1 1 5 2 2 a3 ? S ?NEP ? DQ ? ? a ? a? 3 3 4 6 5

.

48. (1)证明:取 PC 的中点 M,连接 EM,则 EM∥CD,EM=

1 DC,所以有 EM∥AB 且 EM=AB,则四边形 ABME 是平行 2

四边形.所以 AE∥BM,因为 AE 丌在平面 PBC 内,所以 AE∥平面 PBC. (2) 因为 AB⊥平面 PBC,AB∥CD,所以 CD⊥平面 PBC,CD⊥BM.由(1)得,BM⊥PC,所以 BM⊥平面 PDC,又 AE∥BM,所以 AE⊥平面 PDC. 49. (1) ∵(2 a - b )· a =2 a - b · a =2| a | -| a |·| b |·cos120°=2·4-2·5(-
2 2

1 )=13. 2

? ? (2)(1)∵| a |=| b |=1,∴x +y =1,∴x =y =1.又∵ a 不 c 的夹角为 4 ,∴ a · c =| a || c |cos 4 =
2 1 2 1 2 2 2 2

2 2

6 6 6 2 2 12 ? 12 ? 12 = 2 .又∵ a · c =x1+y1,∴x1+y1= 2 .另外 x 1 +y 1 =(x1+y1)2-2x1y1=1,∴2x1y1=( 2 )2-

1 1 2 .∴x1y1= 4 . 1=

(2)cos< a , b >= 解.

a ?b | a ||b|

1 1 6 6 2 =x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1= 2 ,x1y1= 4 .∴x1,y1 是方程 x - 2 x+ 4 =0 的

? ? ? ? 6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 , ? x1 ? , , ?x2 ? , ? x1 ? ?x2 ? ? ? ? ? 4 4 4 4 ? ? ? ? 6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ? ? ? ? , ? y1 ? . , ?y2 ? . ? y1 ? ?y2 ? 4 4 4 4 ∴? 或? 同理可得 ? 或?
12

? ? 6? 2 6? 2 , ? x1 ? y 2 ? , ? x1 ? y 2 ? ? ? 4 4 ? ? 6? 2 6? 2 ? ? x 2 ? y1 ? , ? x 2 ? y1 ? . ? 4 4 ? ? ∵ a ≠ b ,∴ 或

∴cos< a , b >=

6? 2 4 ·

6? 2 4 +

6? 2 4 ·

6? 2 1 1 1 4 =4+4=2.

? ∵0≤< a , b >≤π ,∴< a , b >= 3 .
50. (1)过点 P 向棱 AA1 作垂线 PE,垂足为 E.则 PE∥DA,连接 BE,又 DA⊥平面 ABB1A1,∴PE⊥平面 ABB1A1,∴ PE⊥MB1.在正方形 A1ABB1 中,BE⊥B1M,所以 B1M⊥平面 PBE.所以 B1M⊥PB. (2)取线段 A1D1 的中点 Q ,则点 Q 就是要求的点.下面证明 QD∥平面 B1MN. 取线段 AD 的中点 Q1,则 A1Q1∥DQ,在四边形 A1Q1NB1 中, A1B1∥Q1N,且 A1B1=Q1N,所以四边形 A1Q1NB1 是平 行四边形.所以 A1Q1∥B1M,所以 QD∥B1M,而 QD ? 平面 B1MN,所以 QD∥平面 B1MN. (3)由展开图知, PB ? 12 ? ( 3 )2 ? 13 ,符合条件的正方体表面展开图可以是以下 6 种之一. 2 2

注:只要画出上述 6 种之一即可. 51. (1)证明:因为 AE⊥平面 BCD,所以 AE⊥CD,又 BC⊥CD,且 AE∩BC=E, 所以 CD⊥平面 ABC,又 CD ? 平面 ACD,所以平面 ACD⊥平面 ABC. (2)解:因为 CD⊥平面 ABC,所以 VA-BCD=VD-ABC= S ?ABC ? CD ,在△ADC 中,AC⊥CD, AD=BC=4,AB=CD=3,所以 AC= AD2 ? CD 2 = 42 ? 32 = 7 .所以在△ABC 中,

1 3

AB2 ? BC 2 ? AC2 9 ? 16 ? 7 3 cos∠ABC= = = , 2 ? 3? 4 4 2AB? BC
sin∠ABC= 1? ( ) 2 =

P

3 4

1 7 ,所以 S△ABC= AB ? BC ? sin?ABC ? 2 4
D

A

1 7 3 7 1 3 7 3 7 = ,又 CD=3,所以 VA-BCD= ? ? 3? 4 ? ?3= 2 4 2 3 2 2

H G C

B

13

52. (1)以 A 为坐标原点,,分别以 AB、AP 所在直线为 y 轴、z 轴,以过 A 点且平行于 BC 直线为 x 轴建立空 间直角坐标系.在直角△ABC 中,∵AB= 3 ,AC=2,∴BC=1A(0,0,0),B(0, 3 ,0),C(1, 3 ,0), P(0,0,1). AB ? (0, 3 ,0), PC ? (1, 3 , ? 1 ),cos< AB , P C >=

AB ? P C | AB | ? | P C |

=

0?3?0 0 ? 3 ? 0 ? 1? 3 ?1

=

15 15 .∴直线 AB 不直线 PC 所成的角余弦为 . 5 5

(2)取平面 ABC 的一个法向量 AP =(0,0,1),设 PC 和面 ABC 所成的角为 ? ,则 sin ? =|cos< P C ,

AP >|=

| P C ? AP | | P C | ? | AP |

=

| 0 ? 0 ? 1| 1? 3 ?1 ? 0 ? 0 ?1

?

5 5 .∴PC 和面 ABC 所成的角的正弦值为 . 5 5
CB ? CA | CB | ? | CA | ? ?1? 0 ? 0 2? 2 ?? 1 , 2

53. (1) CB ? (1,1,0) , CA ? (?1,0,?1) , cos ? CB, CA ??

∴ ? CB, CA ??

CB ? CA ? 1 ? 0 ? 0 2 2π ? ?? ;(2) CB 在 CA 方向上的投影 ? . 2 3 2 | CA |
2

54. (1)解:设切去正方形边长为 x,则焊接成的长方体的底面边长为 4—2x,高为 x,∴Vl=(4—2x) x= 4(x 一 4x +4x) (0<x<2)
3 2 2 V1/ =4(3x 一 8x+4)= 12( x ?

2 2 )( x ? 2) ,当 0 ? x ? 时, V1/ >0,当 3 3

2 ? x ? 2 时, V1/ <0 3

∴当 x ?

2 128 时,Vl 取最大值 .(2)解:重新设计方案如下: 3 27

如图①,在正方形的两个角处各切下一个边长为 1 的小正方形;如图②,将切下的小正方形焊在 未切口的正方形一边的中间;将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形,长为 3,宽 为 2,此长方体容积 V2=3×2×1=6,显然 V2>Vl.故第二种方案 要求.
M A1 B1 C1

符合

图①

图②

D

A B

C

55. 本小题主要考查直线不平面的位置关系、棱柱等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算 能力. 解:(I)正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面展开图是长为 6,宽为 2 的矩形 其对角线长为 62 ? 2 2 ? 2 10 . (II)如图,将侧面 AA1 B1 B 绕棱 AA1 旋转 120 使其不侧面 AA1C1C 在同一平面上,点 B 运动到
?

点 D 的位置,连接 DC1 交 AA1 于 M,则 DC1 就是由顶点 B 沿棱柱侧面经过棱 AA1 到顶点 C1 的最短 路线,其长为
14

DC 2 ? CC1 ? 4 2 ? 2 2 ? 2 5 .
2

? ?DMA ? ?C1 MA1 ,? AM ? A1 M , 故

A1 M ? 1. AM

56. 本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识,考查空间想象能力和推理运算能力, 解:(I)连结 A1B,则 A1B 是 D1E 在面 ABB1A;内的射影 ∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1,于是 D1E⊥平面 AB1F ? D1E⊥AF. 连结 DE,则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影. ∴D1E⊥AF ? DE⊥AF.

∵ABCD 是正方形,E 是 BC 的中点.∴当且仅当 F 是 CD 的中点时,DE⊥AF, 即当点 F 是 CD 的中点时,D1E⊥平面 AB1F. 57. 解(Ⅰ)取 AD 的中点,连结 PM,QM.因为 P-ABCD 不 Q-ABCD 都是正四棱锥, 所以 AD⊥PM,AD⊥QM. 从而 AD⊥平面 PQM.又 PQ ? 平面 PQM,所以 PQ⊥AD. 同理 PQ⊥AB,所以 PQ⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连结 AC、BD 设 AC ? BD ? O ,由 PQ⊥平面 ABCD 及正四棱锥的性质可知 O 在 PQ 上,从而 P、

A、Q、C 四点共面.因为 OA=OC,OP=OQ,所以 PAQC 为平行四边形,AQ∥PC.从而∠BPC(或
其补角)是异面直线 AQ 不 PB 所成的角. 因为 PB ? PC ? OC 2 ? OP2 ? (2 2 ) 2 ? 2 2 ? 2 3 , 所以 cos ?BPC=
PB 2+PC 2 ? BC 2 12 ? 12 ? 16 1 ? ? . 2 PB ? PC 2? 2 3 ? 2 3 3

从而异面直线 AQ 不 PB 所成的角是 arccos . (Ⅲ)连结 OM,则 OM ?
1 1 AB ? 2 ? PQ .所以∠PMQ=90°,即 PM⊥MQ. 2 2

1 3

由(Ⅰ)知 AD⊥PM,所以 PM⊥平面 QAD. 从而 PM 的长是点 P 到平面 QAD 的距离. 在直角△ PMO 中, PM ? PO2 ? OM 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 . 即点 P 到平面 QAD 的距离是 2 2 .

15


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