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2015年高考真题分类汇编(二二)---极坐标与参数方程


专题二十二 坐标系与参数方程
π? ? 1.(15 北京理科)在极坐标系中,点 ? 2 ? ? 到直线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 6 的距离为 3? ?

?

?



【答案】1 【解析】 试题分析:先把点(2, )极坐标化为直角坐标(1, 3),再把直线的极坐标方程 ?

cos ? ? 3 sin ? ? 6 化为

?

3

?

?

直角坐标方程 x ?

3y ? 6 ? 0 ,利用点到直线距离公式 d ?

1?3?6 1?3

? 1.

考点:1.极坐标与直角坐标的互化;2.点到直线距离.

? 2.(15 年广东理科)已知直线 l 的极坐标方程为 2 ? sin(? ? )

π 4

2 ,点 A 的极坐标为

7? ? A ? 2 2, 4 ?
【答案】

? ? ,则点 A 到直线 l 的距离为 ?

5 2 . 2 ? ?

【解析】依题已知直线 l : 2 ? sin ? ? ?

??

7? ? ? ? 2 和点 A ? 2 2, 4? 4 ?

? ? 可化为 l : x ? y ? 1 ? 0 和 A ? 2, ?2? ,所以 ?

点 A 与直线 l 的距离为 d ?

2 ? ? ?2 ? ? 1 12 ? ? ?1?
2

?

5 2 ,故应填入. 2

【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离,属于容易题. 3.(15 年广东文科)在平面直角坐标系 x?y 中,以原点 ? 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1
2 ? ?x ? t 的极坐标方程为 ? ? cos ? ? sin ? ? ? ?2 ,曲线 C 2 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,则 C1 与 C 2 交点的直角 ? ? y ? 2 2t

坐标为 【答案】 ? 2, ?4 ? 【解析】



试题分析: 曲线 C1 的直角坐标方程为 x ? y ? ?2 , 曲线 C 2 的普通方程为 y ? 8 x , 由?
2

? x ? y ? ?2 ? y ? 8x
2

得:?

?x ? 2 , ? y ? ?4

所以 C1 与 C 2 交点的直角坐标为 ? 2, ?4 ? ,所以答案应填: ? 2, ?4 ? . 考点:1、极坐标方程化为直角坐标方程;2、参数方程化为普通方程;3、两曲线的交点. 4.(15 年福建理科)在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 í

ì ? x = 1 + 3cos t (t 为参数) .在极坐标系(与 y = 2 + 3sin t ? ?

平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,直线 l 的方程为

2 r sin(q -

p ) = m, (m R). 4

(Ⅰ)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值. 【答案】(Ⅰ) 【解析】 试题分析:(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得 x - 1

( x - 1) +( y + 2)

2

2

= 9 , x - y - m = 0 ;(Ⅱ) m=-3 ± 2 2 .

(

) +( y + 2)

2

2

= 9 , 利 用 x ? ? cos? ,

y ? ? sin ? 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解.
试题解析:(Ⅰ)消去参数 t,得到圆的普通方程为 x - 1 由 2 r sin(q -

(

) +( y + 2)

2

2

= 9,

p ) = m ,得 r sin q - r cosq - m = 0 , 4

所以直线 l 的直角坐标方程为 x - y - m = 0 . (Ⅱ)依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,即

|1 - ( - 2) + m | 2

解得 m=-3 ± 2 2 = 2,

考点:1、参数方程和普通方程的互化;2、极坐标方程和直角坐标方程的互化;3、点到直线距离公式.
? x ? t cos ? 5.(15 年新课标 2 理科)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ? (t 为参数,t ≠ 0) ,其中 0 ≤ α < π, ? y ? t sin ?

在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? 。 (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求 | AB | 的最大值。

6.(15 年新课标 2 文科)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? , ? y ? t sin ? ,

在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值. 【答案】(I) ? 0, 0 ? , ? 【解析】 试题分析:( I )把 C2 与 C3 的方程化为直角坐标方程分别为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 , x2 ? y 2 ? 2 3x ? 0 , 联立解

? 3 3? ? 2 ,2? ? ;(II)4. ? ?

考点:参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 7. (15 年陕西理科)在直角坐标系 x?y 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) .以原点为极点, x 3 ?y ? t ? ? 2
轴正半轴为极轴 建立极坐标系,

C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? .

(I)写出 C 的直角坐标方程; (II) ? 为直线 l 上一动点,当 ? 到圆心 C 的距离最小时,求 ? 的直角坐标. 【答案】 (I) x2 ? y ? 3 【解析】 试题分析: (I)先将 ? ? 2 3 sin ? 两边同乘以 ? 可得 ? 2 ? 2 3? sin ? ,再利用 ? ? x ? y , x ? ? sin ? 可
2 2 2

?

?

2

(II) ? 3,0 ? . ?3;



2 C 的直角坐标方程; (II)先设 ? 的坐标,则 ?C ? t ? 12 ,再利用二次函数的性质可得 ?C 的最小值,

进而可得 ? 的直角坐标. 试题解析: (I)由 ? ? 2 3sin ? , 得? 2 ? 2 3? sin ? ,

从而有 x2 +y 2 ? 2 3 y, 所以x2 + y ? 3

?

?

2

? 3.
2

2 ? 1 3 1 ? ? 3 ? (II)设 P(3 + t, t), 又C(0, 3) ,则 | PC |? ? 3 ? t ? ? ? t ? 3 ? t 2 ? 12 , ? ? ? 2 2 2 ? ? 2 ? ?

故当 t=0 时,|PC|取最小值,此时 P 点的直角坐标为(3,0). 考点:1、极坐标方程化为直角坐标方程;2、参数的几何意义;3、二次函数的性质.

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 8.(15 年陕西文科)在直角坐标版权法 xOy 吕,直线 l 的参数方程为 ? ,以原点为极 (t 为参数) 3 ?y ? t ? ? 2
点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, (I)写出

C 的极坐标方程为 ? ? 2 3sin ? .

C 的直角坐标方程;

(II) P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的坐标. 【答案】(I) x ? y ? 3
2

?

?

2

? 3 ; (II) (3,0) .

【解析】 试题分析:(I)由 ? ? 2 3sin ? ,得 ? 2 ? 2 3? sin? ,从而有 x 2 ? y 2 ? 2 3 y ,所以 x ? y ? 3
2

?

?

2

?3

2 ? ? 1 3 ? 1 ? ? 3 ? t ? ,又 C (0, 3) ,则 PC ? ? 3 ? t ? ? ? (II)设 P ? 3 ? t , t ? 3 ? ? t 2 ? 12 ,故当 t ? 0 时, PC 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ?

2

取得最小值,此时 P 点的坐标为 (3,0) . 试题解析:(I)由 ? ? 2 3sin ? , 得 ? 2 ? 2 3? sin? , 从而有 x 2 ? y 2 ? 2 3 y 所以 x ? y ? 3
2

?

?

2

?3

(II)设 P ? 3 ?

? ?

1 3 ? t, t ? ,又 C (0, 3) , 2 2 ?
2

2 ? 1 ? ? 3 ? 则 PC ? ? 3 ? t ? ? ? t ? 3 ? ? t 2 ? 12 , 2 ? ? 2 ? ?

故当 t ? 0 时, PC 取得最小值,

此时 P 点的坐标为 (3,0) . 考点:1. 坐标系与参数方程;2.点与圆的位置关系. 9.(15 年江苏)已知圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2 2 ? sin(? ? 【答案】 6

?
4

) ? 4 ? 0 ,求圆 C 的半径.

考点:圆的极坐标方程,极坐标与之间坐标互化


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