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简单的线性规划问题1 (2)


简单的线性规划问题(一)
x-y≥6 ? ? 1.已知 x、y 满足约束条件?2x+y<9 ,分别确定 x、y ? ?x≥1

z=x+3y 为线 的值,使 z=x+3y 取到最大值或最小值,其中__________
性目标函数.

可行解 ,由所有可行 2.满足线性约束条件的解(x,y)叫做_______ 解组成的集合叫做_______ 可行域 ,其中,使目标函数取得最大值或最 小值的可行解叫做这个问题的________ 最优解 .
x≥0 ? ? 3.已知实数 x 满足 ?y≤1 ? ?x-2y+1≤0

,求 2x+y 的最大值,

线性规划问题 .满足不等式组的解(x,y)叫做可行 这个问题就是_____________ ____
?1 ? 解,如 ? ,1? 是一组可行解,由所有可行解组成的集合即不等式 __ ?2 ? 可行域 .易知,当 组所表示的平面区域(如图 1 中阴影部分)是________ ?1 ? 1 x= ,y=1 时,目标函数 z=2x+y 取最大值 2,故 ? ,1? 是这个 2 ?2 ? 规划问题的_______ 最优解 .

图1
y≥x ? ? 4.设变量 x、y 满足约束条件:?x+2y≤2 ,则 z=x-3y ? ?x≥-2

的最小值( D ) A.-2 B.-4 D.-8

C.-6

解析:如图 12 作出可行域,知可行域的顶点是 A(-2,2), ?2 2? B?3,3?及 C(-2,-2),于是(zA)min=-8. ? ?

图12
x-y+1≥0 ? ? 5.若实数 x、y 满足?x+y≥0 ,则 z=x+2y 的最小值 ? ?x≤0

值是( A )
A.0 B. 1 2 C.1 D.2

重点

线性规划有关概念的理解

(1)可行域是约束条件对应的二元一次不等式组表示的平面 区域(或其内部的一些点),可以是封闭的多边形,也可以是一侧

开放的无穷的的平面区域.
(2)在线性约束条件下,最优解不一定是唯一的,可能有一

个或多个.当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时,
最优解可能有无数个.在线性目标函数 z=-x-y 中,目标函数 z 的最大值对应于截距的最小值,z 的最小值对应于截距的最大 值.

难点

最优解的确定

最优解的确定常用两种方法:

①将目标函数的直线平行移动,通过可行域的顶点且使目
标函数的直线截距最大或最小便是最优解; ②利用围成可行域的直线的斜率来判断.若围成可行域的 直线 l1、l2、…、ln 的斜率分别为 k1、k2、…、kn,且 k1<k2<… <kn,而且目标函数的直线的斜率为 k,则当 ki<k<ki+1(1≤i≤

n-1)时,直线 li 与 li+1 的交点一般是最优解.

线性目标函数的最值
x-4y≤-3 ? ? 例 1:已知变量 x、y 满足?3x+5y≤25 ,求 z=2x+y 的 ? ?x≥1

最大值和最小值. 思维突破:把 z 看成直线在 y 轴上的截距,先画出可行域, 再求 z 的最值.作出不等式组所表示的可行域如图 2.

图 2 解:设l0:2x+y=0,l:2x+y=z,则 z 的几何意义是直线 y=-2x+z 在 y 轴上的截距. 显然,当直线越往上移动时,对应在 y 轴上的截距越大, 即 z 越大;当直线越往下移动时,对应在 y 轴上的截距越小, 即 z 越小. 作一组与 l0 平行的直线系 l,上下平移,可得: 当 l 移动到 l2 时,即过点 A(5,2)时,zmax=2×5+2=12; 当 l 移动到 l1 时,即过点 B(1,1)时,zmin=2×1+1=3.

正确作出可行域后,将目标函数变为直线方 程的斜截式的形式,应注意该直线在y 轴上的截距与目标函数z 取值的关系.再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关 系,以便准确找到最优解.

x-2≤0 ? ? 1-1.若 x、y 满足线性约束条件?y-1≤0 ,求 z= ? ?x+2y-2≥0

x+y 的最小值.

解:作出不等式组所表示的可行域如图13 中阴影部分.

图13

将 z=x+y 变形为 y=-x+z,这是斜率为-1,随 z 变化的
一组平行线,当直线 y=-x+z 经过可行域内的点 A 时,直线 y=-x+z 在 y 轴上的截距最小,z 也最小.这里 A 点是直线

x+2y-2=0 与直线 y=1 的交点.
? ?x+2y-2=0 解方程组 ? ? ?y=1

,得 x=0,y=1.此时 z=0+1=1.

故 z 的最小值为 1.

1 - 2.(2010 年 天 津 ) 设 变 量 x 、 y 满 足 约 束 条 件
x+y≤3 ? ? ?x-y≥-1, 则目标函数 z=4x+2y 的最大值为( B ) ? ?y≥1

A.12 B.10 C.8 D.2 解析:本题主要考查目标函数最值的求法,属于容易题, 做出可行域,如图14,当目标函数过直线y=1 与x+y=3 的交 点(2,1)时 z 取得最大值 10.

图 14

线性规划的逆向性问题 y≥1 ? ? 例 2:已知实数 x、y 满足 ?y≤2x-1 ,如果目标函数 ? ?x+y≤m z=x-y 的最小值为-1,则实数 m 等于( ) A.7 B.5 C.4 D.3 思维突破:画出 x、y 满足的可行域,可得直线 y=2x-1 与直线 x+y=m 的交点使目标函数 z=x-y 取得最小值,故
? ?y=2x-1 ? ? ?x+y=m

m+1 2m-1 ,解得 x= 3 ,y= 3 ,代入 x-y=-1

m+1 2m-1 得 3 - 3 =-1?m=5.
答案:B

2-1.已知以 x、y 为自变量的目标函数ω=kx+y(k>0)的可 行域,如图 3 的阴影部分(含边界),若使ω取最大值时的最优解
有无穷多个,则 k 的值为( A )

图3 A.1 B. 3 2 C.2 D. 2 3

线性规划的间接应用
x+2y-19≥0 ? ? ,所表示的平 例 3:设二元一次不等式组 ?x-y+8≥0 ? ?2x+y-14≤0

面区域为 M,使函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域 M 的 a 的 取值范围是(

)
B.[2, 10] D.[ 10,9]

A.[1,3] C.[2,9]

思维突破:本题考查线性规划与指数函数.如图 4 中的阴 影部分为平面区域 M, 显然,只需研究过(1,9),(3,8)两种情形.

a1≤9 且 a3≥8 即 2≤a≤9.

图 4

答案:C

x-y+1≥0 ? ? 3-1.若实数 x、y 满足 ?x+y≥0 ? ?x≤0

,则 z=3x+2y 的最小

值是( B ) A.0 B.1 C. 3 D.9

?3≤x≤10 ? 5 例 4:若 x、y 满足不等式组?y≥2 ? ?9≤x+y≤14
-2y 的最值.

,求 z=-3x

错因剖析:直线在 y 轴上的截距与目标函数z=-3x-2y
取值的关系上出错.直线ax+by=0 往右(或往左)平移时,z 随 之增大(或减小),只有当a>0 时,才能成立.因为当a>0 时,直

z 线 l: ax+by=0 向右(向左)平移时, 在 x 轴上的截距a随之增大(或

减小),故 z=ax+by 也随之增大(或减小).当 a<0 时,可利用 换元将 a 变为大于 0.

正解:作出约束条件表示的可行域,如图 5 中的阴影部分,


图5

A(10,4),B(3,6).
令 p=3x+2y, 作直线 l:3x+2y=0, 当 l 右移过点 B(3,6)时,pmin=21; 当 l 继续右移过点 A(10,4)时,pmax=38. 又 z=-p, 故 zmax=-21,zmin=-38.

4-1.如果直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4=0 相交于

M、N 两点,且点 M、N 关于直线 x+y=0 对称,则不等式组
kx-y+1≥0 ? ? ?kx-my≤0 ? ?y≥0
1 所表示的平面区域的面积为 . 4

解析:∵M、N 两点,关于直线 x+y=0 对称,
? k m? ∴k=1,又圆心?-2,- 2 ?在直线 ? ?

x+y=0 上.

k m ∴-2- 2 =0,∴m=-1, x-y+1≥0 ? ? ∴原不等式组变为 ?x+y≤0 ? ?y≥0 1 面区域并计算得面积为4.

作出不等式组表示的平


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