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勾股数的基本组及其性质


.

6 3

.









勾 股 数 的基 本 组 及 其 性质

本文 给 出勾 股数 基 本 组 的 某 些 性 质 由 此 得 出 排 列 勾 股 数 基 本 组 的 一 个方 法 定义 1

r />a
Z
,


其中
x
,




y 均 是 非 负 整数
a “



此时
Z

,

+

b



=
Z

4(
,

x “

+ y

+ x

+
a Z

y)

+
Z

2

,

如 果 正 整 数a
Z

,

b

,

c

能 满足不定
(i )
,

+ b 方程 则 它 们 叫一 组 勾 股 数

=

e “,
,

用 〔
b
,

a

,

b

c

〕 表示



从 而2 } ( 一 b ) 但 4 率( + b ) Z Z c 即 2 }c 而 4 水 这与c 是 整 数 矛 盾 故 a 与 b 不可 能 同奇 所 以 一 奇 一 偶 因 奇 数 平
a Z
, ,


,



定 义2

,

a 如果 〔
,

,

且 (

a

b )

=

1
,

,

〕 为一 勾 股 数 , 则 〔 b e 〕叫 一
a
,

c

个勾 股 数 的 基 本 组

全 体 勾股 数的基 本 组 用
b
, ,

集合 A

表示 定义3
, ,



偶 数平方 为 偶 奇加 偶 为奇 从 而 e c 为奇 又 因 为 整 数 故 为 奇 数 定 理 4 一 切 勾股 数 的 基 本 组 可 用 下 述 ; 公 式表 示
方 为奇
c “
, ,
,


,



若 〔a
ka 〔
,

,

e

〕 为一 勾 股 数 的

a

=

Z xn

n
,

,

b
n


= ,z,

2

一n

Z ,

e = ,n

12 + n Z ,。



(2 )
n

基 本组 导 出组
=

则 其 中k 为 正 整 数
若 〔
(b
,

kb

ke 〕叫 一


勾股 数 的
a
.

其 中。

为正整 数且
,

>

n

,

(m

,

)二 i

,

一奇 一偶
,

定 理1
(a (a
=
,

a

,

b
=

,

e
,

〕 任A
b
,

则 (
=

,

b)

,

c

)

=

c

)

(a

e

)

1

〔 符号

b

,

n 证 明 由m 为 正 整数 且 m > n 知a e ,l 2 , 11 2 一 。 “ “ ) 为 正 整 数 由 (2 山 ) + (
,


,




a 表 示 正 整数 和 b 的 最大 公 约 数 〕 , a e b ) 〕 任A 知 ( a 证明 由 〔 b
, , ,

) b

(llJ Z

+ n

,

)2
n
,

,

a 知 〔

,

b
,

,

e

〕 为 一 勾 股数组
一n
e
Z

由n i
c 一

,

1



e


a “
,

+

b

Z

=

e “,

a 数 今证 (

) c
,



1

.

b 其中 为 正整 如 若 不 然 假 设
, ,
,

a

e

一奇 一偶
, , 飞“



, 11 2


为奇 数
,n

,

2 , , 山 为偶 数

+ ,,

b

=

Zn “

,



e


由 + b 二2 与 b 的任 何 公 因 数 必 是 Z l l “与 J


为 奇数
,, 1
,

“ ,

(a
b


,

)

=

k ) 1
Z


, 2
,

a


a ,

ka


,

,

e 二

ke
=

产 ,

则 矛
,

= e

一 a

=

k

Z

(e



)



从而 k } b a 盾 故 (
,

Z

Z ,

k
c

}b
=
a
,

这 与 (a
.

,

b )


1

) = i 的 公 因 数 又因 ( 所以 ; c 与 b 至 多 有公 因 数 2 与 1 但 与b 均 为 奇 数 C ) = 1 从 而 (a b ) = 1 b 故只 有 ( 故
2n
2

n

,

e

,

,

.

,

,

,

)
d>

1

同 法可 证 其 它
b
,

a 〔

,

b

,

e

〕 任A
,

.

定 理2 且 (
a
,

若 〔
=


C a

〕 为一勾 股数组
,
,

反之
=

a 设 〔

,

b
a
,

,

e

〕 任 A 则 (a
, ,

,

b )


b)

1,

则 〔 七
b)
,

e

〕 为一 勾 股
a
,

1

.

由定理
,

3



b 一 偶一 奇

c

为奇数

数 的 导 出组
证明
da
,
,

不 妨 设 a 偶b 奇 由 ( a
,


,

=
=

d>
i
,

b

=
,

db
.

‘ ,

(a
,

,

b )


可 设 从 而d } C
,

1

=




k

=



e =
,

de

a 由 (d )



+
.

, “ (d b )

=

(d e )
,



,

“ + b, ‘

‘一


+

“ 一 b, ‘

知 a 从而 〔
d。 〕

,

a ‘ “
,
,

+
‘ ,

b

‘ “

=

c ‘2

则k
,

,

t

为 正 整数 ) t



b

a 即 〔

,

d db 故 〔 b e 〕 为一勾 股 数 的 导 出组
e ,

〕 任A
,

,

a , ,

先 证 (k


=

1

.

如若 不 然
e

,

假 设
,

,

(k
e

,

t )

=

d> 1

,


,
,

b

=

定理 3 若 〔 c 一 为奇 数 奇 偶
a
,

b

,

c

〕 任A

,

则 与b 一


a

2

k d
l



b

=

=

b) 〕 〔A 知 ( 1 , 从而 a 与 b 不 可 能 同 偶 今 证 亦 不可 能 同

证明

由 〔
,

a

,

b

,

e

a

,

2

kZ d
=
Z

,

而 (k


k


Z

)
,

=

1

.

由 b

=

1 2



(Z k
a Z =



Zt )

k
=

t



(k

:

k


:

)d 知 d
=





如 若不 然

假设

a =

Zx +

i

,

b

=

Zy + z ,

!
l

b 又因
.

e “ 一

b

(

e +

b ) (e

b)

4k

k : dZ

,

1 9 8 4

年 第 一 期
,

从而 d ! a 这与 (
,

Z

a Z

即d } a
=

.

a 于是 (
,

,

b)
,

=
=

d
1
,

,

a 则4 }b (

+ e

)

,



a e

为奇 数

,

4
,

+

Za


e

,


Za C
+ C

b)
= =

1

矛盾
b
Z

故 (k
(e
+
,

t )

即d

=

1

.


a “ e


a . ( b



) c



加c 不 可 能 成 立

即b

a


?

=

b ) (e



b )


Zk

Zt

=

4kt

及 (k
2

,

) t
=

=
2 ,

1

,

从 而 k 与 t 均为 平 方 数
= n
么 一
Z ,

故可 设 k
由 (k
=

= , 11

t


n

a 皿 =

4m
+
;

2 n 2 Z

,

a

=


1

,

b
,

k


=

t

=

m

n
,

Z ,

e =

k

t = m

+ n
,

不 可能 成 立 综上 所述 同法 可 证 a b 成调 和 级 数
,




,

a
,

,

c

不 可 能 成调 和 级 数 它 的 其 排 列 次 序亦 不 可 能
, ,

b

c




p


t)

z 3

及定理


1 ) 由 ( d) 知 ( “ n 一 n Z m 知 一奇 为 奇 数 而m
In

=

a

q

定 理 了 设 a 为奇数 均 为 正 整数




a =

q P

,

p

>

q

,

,

,

( 1 ) 当 (p
l, : =

,

q
,

)
n

= =


, k> 1时


(3

一偶

定 理5
,

三数 成 等 差 级数 的勾 股 数 基 本
, ,


2
,

(p + q
b
,

)

1 (p
2

一 q

)

3 4 5 〕 组 只有 〔 a 一 证明 设 〔 d
a

a

,

a


+

d 〕 任A
:

,

1 贝 1

a 决定 的 〔

e

〕 去户 ;
,

( 2 ) 当 (p
〔 b
a
,

,

q

, ) = 1时

由 (3 ) 式 决 定的
p
+



d

,

a

,

a

+


d 成等 差 级 数
+ a
Z


“,

,

e

〕任A


,

(
a
Z

a 一

d)

=
a
.

(
a 了

a

+

d)

的充要 条 件 是 > (1
, ,



2 )q




=
:


,

4a d

=
a =

0

,



4d

)
a

0

.



a

午 。


a

4d 3d


, ( 1 ) 由a = r q 为奇 数 知 p q 均 证明 , D = q ) k> 1 为奇 数 由 ( 可 设p = k p
,

从而三 数 为
4d
=
,

q =

kq

,

,



d

=

,

+

d



sd

.

其 中p
1
.

‘ ,

q

,

,

k 必 为奇数
q
,

,

巨 (p

,

,

q
:

/

又因 ( 3 d
3
,

,

4d )

d

1

,

所 以 三数 只 能 是
,

)

=

由p >
2

q

,

‘ 知p >

/

.


(4

4

,

5

,

即 只 有 〔3
,

4

,

5

P, +

P

,

一q




2

定 理 6 任何 一 个 勾 股 数 基 本 组 中 的 三 数 不可 能 成等 比 级 数 亦不可 能成调 和 级 数
(1 ) 设 〔 证明 c a b b 成等 比 级 数 因 c 不 是 等 比 中项 不 妨 设b
a
,
,



均 为 正 整数
111



由 (4 ) 式
+

,

b


,

e

〕 任A
c
,

,

c

中 最大
“ =

,

且 显然
’ ,

a

,

=

(p
n
,

,

口,

)

1_

_
,


_ 一


n





q a
Z

q a

q

为 大于

1

的正 整 数
a Z +




2

于是 所 以 由m
,

111

均是正整 数



2



1 1

(p

,

一 q




)1

,



但(
, ,

,, :

——

,

n

,



)) k >


1

,

(
Z

a 。

)

=
=

(
0

a
,

q

)

2 ,

(2

, a b 决定 的 〔 a = pq ) 由 为奇 数

c

〕 去A
,

知p
,

q
n

均 为奇

q

4

一 q




1





由p
n

夕 知
,

q

(3 )

式 决定 的m

为正 整 数

q

Z

里 兰 之互
2
,

( >
, 1,

) 且 适合

2 11 飞

显 然 q 不 是整 数
b
,



故 q 不 是 整数


,

从 而
且a
)
=
,

a





=



,


月,


D ‘

+ (飞 ,



2





一 合



q

, 〕

c

不 可能成 等 比级数 a e b (2 ) 设 〔 〕 任A
,

=
,

pq =

,

b
:

,

e

成调 和 级 数
从 而 ”一

,

a 则(
,



) b
?

:

b (
,

一 c
a

a

。,

n 一奇 一偶 从而 m l 1 动 = 今证 (
, ,

1
,

.

如 若 不 然


,

假 设



其 中 为奇数

为偶 数 或 奇

(

rx l ,

n



d > i

则 11 1

d l, 1
=

,

,

。 =



,

,

由 (3 ) 式得
Zd i
, i,


.



= P + q
,
,

,

Zd
= =

n ,

p 一 q

,

当 a 为 偶数
b (
a +
e



b 为奇 数时
,

,

a

十c

为奇数
,

,

p =
q =

d ln

+


dn dn

,

d (m
d (

,

+

n 产

)
、 2 、 I 、


) 为 奇数




Za e

为 偶 数

从 而

n d
,
,

l

,
.

n i,

, 一 n q
,

b



~

a

丝竺 不 可 能 成 立
+
C

于 是d l p 所 以d = 1
,

d

}q
(n i
.

这 与 (p
n

1

矛盾



)



]

.

故由

11 飞,

n

决定 的

当 为 奇数

a



b 为 偶 数时

a

+

c

为偶 数

,

a 〔

,

b

,

e

〕 任A



?

38

?


2 :一 、


3 l
,




:

一 11



n < Zl

n

.

11 1 令令 (

一 n

)



<

2n

2

a

.

1,

(a
a

,

1)

=

2
+

.

因a )
2 )
?

从而适 合

< 三乡 川

一 。

< 侧 百n 令 乡 m < ( 1
) < (l
+



侧 百) n 由定 理
,: ,

>
a

(1


:



( 、李


p + q

) 了 玄


粤(

: ,

p 一 。)

7


(2 ) 知

( 3 ) 式 决定 的
1
,

工(

+

z ),
a
,

_
?

令乡 p >
推论
a 〔
,

(1

+

侧 万) q
=



b
,

、以 一 生 尹
.

1
e

当, 1 1
,

八 +

z时

,

由,1
;1

n

决定 的
,

b
n

,

〕 任A

而 决定 的 〔 一 个大 于 1 的 奇 数 a
组 中的 最 小 正 整 数 定理 9
;:1 若 >


, 11 ,

n

,

e

〕任 八 1 任 A

.

即任 意

必 是 某个 勾 股 数 基 本
,

证明
(, 11
e
,


=

, ,1 =

n

+ 1


,

: 1飞 ,

一奇 一偶
,


b
,

)
.

z,

从 而 由 : 、,
(




a 决 定 的 〔

;1

、 (, 、

,

::

)

=

z

,

, 、 , n

是偶

〕 任A


, ,

l: 飞2 一 n Z =

n +

1)



一 n
。 +

Z

=

Zn +
?

1

为一 奇数
p = Zn + 1

a 可设
. q 二 1

Zn + 1 =
,

(2
q

1)
=

1

,

从 而 (p
?

)

i

,

又因

n a 数 则m 决定 的 〔 b 条 件 是 二 > (1 十 了 厄 ) l . i
, , ,


,

c

〕 〔A
)
=

:

的充 要
与n 不
.

Zn + i>
p

(1 +
+

了百 )
?

1,

证明 可 能同偶



:

由 > 1 又 因J
11 1
,

n

,

(11 1
a
,

,

n
,

1知
,

11 ,



) (i

了 百)

q
,

是 偶数

l ] 故J
,



一奇 一 由
r 2
,
,

,


由 (3 ) 式
n 工 (Z

,

所以
2 11i n

,,1

n

决定 的 〔

b

e

〕 任A

根 据 定理

7 (2 )

<

1: : “ 一 n “ r

< = > , 11 >
,

(l +

侧 百)
=
a
,

,1.

李 乙
_
1 1

p 。

+

q) =

+

1 + 1)

=

n +

l,
n =

2


推论
1;
1


设 是 非 负整 数 则
5
+

由1

4

+

n飞=

Zr

,

n =

=

— 艺

1

,

= 一 q 少
,

、r

工 (z , ,
2

+

z



z)
,

2决

定 的 〔
,

b

e



二 。

任户
l
.

n 。 a c 决定 的 即 十 1 决 定 的 〔 b 〕任 A 根 据定 理 7 ( 2 ) 还 可 得 出 下 面 的
, ,

证明
,

对 任 意非 负 整 数 r
:

m 与n 一 奇 一
+



推论
;, 且 。

2
,1


c

11飞,



决定 的 〔
;〕 + 贝 小

a

,

b

,

e

〕 任A
z

: ,

偶 显 然 育 (4 + 4 + Z r > (] + 召 百)
Zr

,

z) 二 2
?

,

(5

Zr

,

2) 二 z

,


?

1 , 5 + Zr

>

(1
,

+

了 百)
,

2
、.

.

+
,

i,
,

+ z

)

=
l

z,


z,

,1 +

决定

〕 任A 的 〔 b 下 面 用 集 合 A , 的 定 义 直 接 证 明 这个 推

a

由 定理 9 , 同样

,

所 以 它们 决定 的 自 b 〕任 A 类似 上 面 的推 论 还可 得 出一 些 别
4

c

的结 论





,

要 比 根 据定 理
证明 由
)
=
,, i
,

7

( 2 ) 更为 简便
a
,



l飞

决定的 〔
,

b

,

e

〕 〔A
=
11 1 “

,

的 任何 一个 大于 1 的 正整 倍 数必 是 某 个勾 股 数 基 本 组 的 最 小 正 整 数
定理 1 0 证明
4 t (t > i


知 (
一 n


,、 i

,

n

i
n ,



,:,

;飞

一奇 一偶
1 )“
+ 2





1 )“
+

,, i“ 一 n “

<

2 In

11 , 得(

+

(n
+

对任 一个 4 的 大于
)
,

1

的正 整 倍 数
=

+
2〕

令2
,

, : In 二 ,, ,

4t
,:
,

,

且m
(: : ,
,

Zt
n

,

, 一=

1
.

.

+

2(
+
,

z: , 一 ; ,

) < 2
=

1 1, n

1n

2

2

=

2

(
,

Joa

+

1)
+

(n
1
a
,

1)
n +
,

.

又 因
1)

nl
,

+

1,

n + ,,1 +

1一

偶一 奇
n +

则川 , 11 因 =


,

,:

一 偶一 奇
9
,

)
,

)

=

2


n
, ,

Zt ) 理 > (l

+

侧畜)
Zt
了 : =

?

1 1



(1

+

(。

1
1

所以
.

1

,

1决

训万)
a
,



根 据定 理
〕任A


〕 任A 的 〔 b 事 实 上 根据 定 理
, ,

c

:

7

(2 )


,

还 可 以得
,

到类似 以 上二 推 论 的 其 它 结 论 由定 理 4 可 知 在 基 本 组 中
4


整 倍数 整数
8

,

决定 的 〔 b 仁A 即 4 的 任何 一 个 大 于 1 的 正 必 是 某 个 勾 股 数 基 本 组 中的 最 小 正 由
.

, 11 =

Zm

n

必为

定理 1
;

任 一个 勾 股 数 的 基 本 组 必 含 有


的 涪数 。 必为 奇 数 那 么 是 否 每 个 奇 数 和 每 个 4 的 倍 数均 在 基 本 组 中 呢 ? 定 理
,



一 n



; 的 倍 数 必 含 有 4 的 倍 数 必 含 有 5 的 倍数 数 学 通 报》 1 9 7 9 年 该 定理 的 证 明详 见 《

8

和 定理 1 0 说明了这 个 问题 定 理 8 任 何 一 个 大 于 1 的 奇 数 必 是某




个勾 股 数 基 本 组 中的 最 小 正整 数 a 证 明 若 是 大于 1 的 住 一 奇 数

,







勾 股 数 组 的一个 性 质 》 期 陈 芦生 《 一文 9 1 0 及 其推 论 根据 定理 4 7 8 a 我们可 以按 由 小 至 大 的 顺 序 逐 个 写 出勾 股 数 的 基 本组 F面 列 出3 ( a < 5 0 的情 形



6

:











,







1

9

8

4

年 第 一 期

3g



.

a

的 分解 式

a
,

b

,

e


:

偶 Zm

:i



奇P
:
.

?

q

,

{

: 2

1

1

一 … 一

:

一 了


m

2

?

2

?

1
3

//
2 : 7
?

> (1 +


、/



2 )

n

12 : ‘ 24 15 40 11
60

13
: :


1

4

3

{



一 一一

2

.

4

.

4 5 11 1
6

1
4

17
41 6 1
3 7

11

?

5
,

一 不一 {
12

,

.



.

,

{



{
.

。 6

1

{

、 2 1

。 。

{


m



.



.

2

//
/

华(1 +

IJ

1

7 丫 8

6

1j l

石4

乙口 口

15 5

?

1 3

7

15

1 12

11 3


v
/

2 )

n

?

/
8
,

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