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成才之路·北师大版数学必修1-第3、4章综合测试题


第三、四章综合测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 7 1.若 logx y=z,则 x,y,z 之间满足( A.y7=xz C.y=7xz [答案] B [解析]
1 1 7 logxy =z, logxy=z,y=x7z.

) B.y=x7z D.y=zx

7

2.设集合 M={x|x≤m},N={y|y=3 x,x∈R},若 M∩N≠?,则实数 m 的取值范围是


(

) A.m≥0 C.m≤0 [答案] B [解析] N=(0,+∞),要使 M∩N≠?,利用数轴易知 m>0. 3.设 f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数 f(x)有零点的区间是( A.[0,1] C.[-2,-1] [答案] D 1 2 - [解析] ∵f(-1)=3 1-(-1)2= -1=- <0,f(0)=30-02=1>0, 3 3 ∴f(-1)· f(0)<0, ∴有零点的区间是[-1,0]. 1 4.函数 f(x)=x+ 的零点是( x A.1 C.± 1 [答案] D [解析] 由 f(x)=0 知 f(x)不存在零点. 5.(2013· 陕西高考)设 a,b,c 均不等于 1 的正实数,则下列等式中恒成立的是( A.logab· logcb=logca C.loga(bc)=logab· logac B.logab· logca=logcb D.loga(b+c)=logab+logac ) ) B.-1 D.不存在 B.[1,2] D.[-1,0] ) B.m>0 D.m<0

[答案] B lgb lga lgb [解析] 由换底公式得 logab· logca= · = =logcb,B 正确. lga lgc lgc 1 2 6.若 a >a ,则 a 的范围是( 4 3 A.a>1 1 2 C. <a< 4 3 [答案] B 1 2 1 2 [解析] ∵ < ,a >a , 4 3 4 3 ∴y=ax 在(0,+∞)上是减函数. ∴0<a<1,故选 B. 7.若函数 f(x)=3x+3 x 与 g(x)=3x-3 x 的定义域均为 R,则(
- -

) B.0<a<1 2 D.a> 3

)

A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 [答案] B [解析] f(x)=3x+3 数. 同理得 g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数.故选 B. 2 2 2 8.( )3 ,( )3 ,( )3 的大小关系为( 3 5 3 2 2 2 A.( )3 >( )3 >( )3 3 5 3 2 2 2 B.( )3 >( )3 >( )3 5 3 3 2 2 2 C.( )3 >( )3 >( )3 3 3 5 2 2 2 D.( )3 >( )3 >( )3 3 3 5 [答案] D 2 1 2 [解析] ∵y=( )x 为减函数, < , 3 3 3 2 2 ∴( )3 >( )3 . 3 3
1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1
-x

且定义域为 R,则 f(-x)=3 x+3x,∴f(x)=f(-x),∴f(x)为偶函


)

2 2 2 3 又∵y=x 在(0,+∞)上为增函数,且 > ,

3 5

2 2 ∴( )3 >( )3 , 3 5 2 2 2 ∴( )3 >( )3 >( )3 .故选 D. 3 3 5 9.生物学中指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约只有 10%~20%的 能量能够流动到下一个营养级,在 H1→H2→H3→H4→H5→H6 这条生物链中,若能使 H6 获 得 10kJ 的能量,则需要 H1 最多提供的能量是( A.107kJ C.105kJ [答案] B 1 [解析] 设 H1 最多提供的能量为 xkJ,则 x· ( )5=10,即 x=106. 10 log x, x>0, ? ? 2 10.设函数 f(x)=? 1 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( ?log2?-x?, x<0. ? A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) [答案] C [解析] 解法 1:由图像变换知函数 f(x)图像如图, 且 f(-x)=-f(x),即 f(x)为奇函数, ∴f(a)>f(-a)化为 f(a)>0, ∴当 x∈(-1,0)∪(1,+∞)时,f(a)>f(-a),故选 C. ) B.106kJ D.104kJ
1 2 2

2

2

)

解法 2:①若 a>0,则-a<0, 1 1 ∴log2a>log1 a?log2a>log2 ?a> ?a>1. a a 2 ②若 a<0,则-a>0,

log1 (-a)>log2(-a)? 2 1 1 log2(- )>log2(-a)?- >-a a a ?a2<1?a∈(-1,1). 又∵a<0,∴-1<a<0. 由①②可知 a∈(-1,0)∪(1,+∞). 故选 C. 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.已知函数 y=f(2x)定义域为[-1,1],则函数 y=f(log2x)的定义域为__________. [答案] [ 2,4] [解析] ∵函数 y=f(2x)的定义域为[-1,1], 1 ∴-1≤x≤1,∴ ≤2x≤2, 2 1 ∴函数 y=f(log2x)中, ≤log2x≤2, 2 ∴ 2≤x≤4, ∴函数 y=f(log2x)的定义域为[ 2,4]. 12.若函数 y=mx2+x-2 没有零点,则实数 m 的取值范围是________. 1 [答案] (-∞,- ) 8 [解析] 当 m=0 时,函数有零点,
?m≠0 ? 所以应有? ?Δ=1+8m<0, ?

1 解得 m<- . 8 log ?3x+1??x<3? ? ? 2 7 13.已知函数 f(x)=? 1 3 ,则 f[f( )]的值是__________. 3 ? ?log3x ?x≥3? [答案] -3 log ?3x+1? ?x<3? ? ? 2 [解析] ∵f(x)=? 1 3 , ?log3x ?x≥3? ? 7 7 ∴f[f( )]=f[log2(3× +1)]=f(log28)=f(3) 3 3 =log1 33=3log1 3=-3. 3 3

14.某类产品按质量可分 10 个档次(第 1 档次为最低档次,第 10 档次为最高档次),最 低档次的产品,每件利润为 8 元,如果产品每提高一个档次,则每件利润增加 2 元;最低档 次产品每天可生产 60 件,用同样的工时,每提高一个档次将少生产 3 件产品,则生产第 __________档次的产品,所获利润最大. [答案] 9 [解析] 设生产第 x 档次的产品获利为 y 元,则 y=[8+2×(x-1)][60-3(x-1)]=(6+2x)(63-3x)=6(x+3)(21-x)=6(-x2+18x+63) =-6(x-9)2+864. ∴当 x=9 时,y 取最大值,即获利最大. 15.给出以下结论,其中正确结论的序号是________. ①函数图像通过零点时,函数值一定变号 ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 ③函数 f(x)在区间[a,b]上连续,若满足 f(a)· f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]上一定 有实根 ④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效 [答案] ②③ [解析] 零点有变号零点与不变号零点,故①不对;“二分法”针对的是连续不断的函 数的变号零点,故④不对.据零点的性质知②③都正确. 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 1 1 7 27 - 16.(本小题满分 12 分)(1)计算:(2 )2 +(lg5)0+( ) 3 ; 9 64 (2)解方程:log3(6x-9)=3. 1 1 25 3 - 5 4 [解析] (1)原式=( )2 +(lg5)0+[( )3] 3 = +1+ =4. 9 4 3 3 (2)由方程 log3(6x-9)=3 得 6x-9=33=27, ∴6x=36=62,∴x=2. 经检验,x=2 是原方程的解. ∴原方程的解为 x=2. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 y=log4(2x+3-x2), (1)求函数的定义域; (2)求 y 的最大值,并求取得最大值时的 x 值. [解析] (1)由真数 2x+3-x2>0,解得-1<x<3,

所以函数的定义域为{x|-1<x<3}; (2)将原函数分解为 y=log4u,u=2x+3-x2 两个函数.因为 u=2x+3-x2=-(x-1)2 +4≤4, 所以 y=log4(2x+3-x2)≤log44=1. 所以当 x=1 时, u 取得最大值 4, 又 y=log4u 为单调增函数, 所以 y 的最大值为 y=log44 =1,此时 x=1. 18.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=
? ?2x-2,x∈[1,+∞?, 1 ? 2 求函数 g(x)=f(x)- 的零点. 4 ?x -2x,x∈?-∞,1?, ?

1 1 [解析] 求函数 g(x)=f(x)- 的零点,即求方程 f(x)- =0 的根. 4 4 1 9 当 x≥1 时,由 2x-2- =0 得 x= ; 4 8 2+ 5 2- 5 1 当 x<1 时,由 x2-2x- =0 得 x= (舍去)或 x= . 4 2 2 1 9 2- 5 ∴函数 g(x)=f(x)- 的零点是 或 . 4 8 2 19.(本小题满分 12 分)已知函数 y=a2x+2ax+3(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上有最大值 11,试求 a 的值. [解析] y=a2x+2ax+3=(ax)2+2ax+3 =(ax+1)2+2, 令 ax=t,则 y=(t+1)2+2, 1 当 a>1 时,因为-1≤x≤1,所以 ≤ax≤a, a 1 即 ≤t≤a. a 因为函数的对称轴为 t=-1,所以当 t=a 时函数取最大值,所以(a+1)2+2=11,所以 a=2; 1 当 0<a<1 时,因为-1≤x≤1,所以 a≤ax≤ , a 1 1 即 a≤t≤ ,所以当 t= 时函数取最大值, a a 1 ?2 1 所以? ?a+1? +2=11,所以 a=2. 1 综上所述,a 的值是 2 或 . 2 20.(本小题满分 13 分)已知 f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(其中 a>0 且 a≠1). (1)求 f(x)+g(x)的定义域;

(2)判断 f(x)+g(x)的奇偶性并说明理由; (3)求使 f(x)+g(x)<0 成立的 x 的集合.
?x+1>0, ? [解析] (1)f(x)+g(x)的定义域需满足? ?1-x>0, ?

∴-1<x<1, ∴定义域为(-1,1). (2)f(x)+g(x)为偶函数 设 F(x)=f(x)+g(x),则 F(-x)=loga(-x+1)+loga(1+x)=F(x), 又因为 F(x)的定义域为(-1,1)关于原点对称, 所以 f(x)+g(x)为偶函数. (3)由 f(x)+g(x)<0 得 loga(x+1)+loga(1-x)<0,
?-1<x<1, ? ∴? 2 ? ?loga?1-x ?<0, ? ?-1<x<1, 当 a>1 时? 得 x∈(-1,0)∪(0,1); 2 ?0<1-x <1, ? ? ?-1<x<1, 当 0<a<1 时? 解集为空集. 2 ?1-x >1, ?

综上所述当 a>1 时, 使 f(x)+g(x)<0 成立的 x 的集合为(-1,0)∪(0,1); 当 0<a<1 时使 f(x) +g(x)<0 成立的 x 的集合为?. 21.(本小题满分 14 分)已知甲、乙两个工厂在今年的 1 月份的利润都是 6 万元,且甲 厂在 2 月份的利润是 14 万元,乙厂在 2 月份的利润是 8 万元.若甲、乙两个工厂的利润(万 元)与月份 x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型: f(x)=a1x2+b1x+6, g(x)=a23x+b2(a1, a2,b1,b2∈R). (1)求甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润; (2)在同一直角坐标系下画出函数 f(x)与 g(x)的草图,并根据草图比较今年甲、乙两个工 厂的利润的大小情况.
?f?1?=6 ?a1+b1=0 ? ? [解析] (1)依题意:由? ,有? , ?f?2?=14 ? ? ?4a1+2b1=8

解得:a1=4,b1=-4,∴f(x)=4x2-4x+6.
? ? ?g?1?=6 ?3a2+b2=6 由? ,有? , ?g?2?=8 ?9a2+b2=8 ? ?

1 1 - 解得 a2= ,b2=5,∴g(x)= ×3x+5=3x 1+5. 3 3 所以甲厂在今年 5 月份的利润为 f(5)=86 万元,乙厂在今年 5 月份的利润为 g(5)=86 万元,故有 f(5)=g(5),即甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润相等. (2)作函数图像如下:

从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润: 当 x=1 或 x=5 时,有 f(x)=g(x); 当 1<x<5 时,有 f(x)>g(x); 当 5<x≤12 时,有 f(x)<g(x).


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