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几何体与球的切接问题


方法技巧专题 ——几何体与球的切接问题
南充高中数学组 陈 龙 高考链接 柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征,是立体几何的基础,而它们的表面积与体积 (尤其是体积)是高考热点,其中几何体与球的切接问题出现频率较高! 一、知识准备 1、表面积公式

S圆拄 ? 2?r 2 ? 2?rl (r 为底面积半径,l 为母线长) S圆 锥 ? ?r 2 ? ?rl (r 为底面积半径,l 为母线长) S球 ? 4?R 2 (R 为球半径)
2、体积公式

V柱 ? Sh (S 为底面积面积,h 为高)
V锥 ? V球 1 Sh (S 为底面积面积,h 为高) 3 4 ? ?R 3 (R 为球半径) 3

3、定义 多面体的外接球——若多面体的各顶点都在一个球的球面上, 则称这个多面体是这个球 的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球。 多面体的内切球——若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是 这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。 二、几何体的外接球 题型一、球与多面体的组合 解题关键:通过多面体的一条侧棱和球心,或接点作出截面图。 例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,求该球的表面积为和体积。 分析: S球 ? f (R)

V球 ? g (R)

需要求出半径。

解决途径:作出截面图,在轴截面中建立关系。 常用结论:长(正)方体的外接球直径是长(正)方体的体对角线。

变式 1 求长、宽、高分别为 1、2、3 的长方体的外接球体积。 变式 2 P、A、B、C 是球 O 面上的四个点,PA、PB、PC 两两垂直,PA=PB=PC=a,求这 个球的体积。 分析:采用割、补法,化复杂的几何体为简单几何体(拄、锥、台) ,化离散为集中。此题 可将条件给出的几何体“补形”成一个正方体再求外接球体积。

例2 求棱长为 1 的正四面体 ABCD 的外接球体积。 分析:作出合适的球的轴截面图,找准球心位置,构造三角形求解半径。 常用结论:正四面体外接球的球心在高线上,半径是正四面体高的 解法一、

3 4

解法二、

变式 3 变式 4

已知各顶点都在一个球面上的正四棱拄高为 4,体积为 16,求这个球的表面积。 等腰梯形 ABCD 中, AB ? 2CD ? 2, ?DAC ? 600 , E 为 AB 的中点,将△ADE

和△BEC 分别沿 ED、EC 折起,使 A、B 重合与点 P,则三棱锥 PEDC 的外接球 体积为( ) 变式 5 在矩形 ABCD 中, AB=4, BC=3, AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D, 沿 则四面体 ABCD 的外接球的体积为( ) 题型二、球与旋转体的组合 例3 半径为 R 的 3 球 O 中有一内接圆柱,当圆柱侧面积最大时,求球的表面积与圆柱的 侧面积之差。 分析:作出正确的轴截面图,找准圆柱底面半径与球半径之间的关系。

三、几何体的内切球 解题关键:找正多面体的内切球半径往往可以用等体积法 例4 求棱长为 a 的正四面体的内切球半径。 分析: 并非所有多面体都有内切球, 正多面体存在内切球, 且正多面体的中心为内切球球心。 常用结论:正多面体内切球半径是高的

1 1 ; V多 ? S 表 ? R内切 ? 4 3

变式 4:求半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积和体积

直击高考 (2009 全国)直三棱柱 ABC-A1B1C1D 的各顶点都在同一球面上,若 AB=AC=AA1=2,

?BAC ? 1200 ,则此球的表面积等于



(2011 新课标) 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, AB=6, 且 BC= 2 3 , 则棱锥 O-ABCD 的体积为 。


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