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导数的几何意义练习题



技能演练

[ 来源:zzs tep.com]

基 础 强 化 1.设 f′(x0)=0,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( A.不存在 C.与 x 轴平行 答案 D 2.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系为 s 1 = t2,则当 t=2 时,此木块在水平方向的瞬时速度为( 8 A. 2 1 C. 2 1 1 ?t+Δt?2- t2 8 8 Δs s′= lim = lim Δt Δt
Δt→0 Δt→0

)

B.与 x 轴垂直 D.与 x 轴平行或重合

)

B. 1 1 D. 4

解析

1 1 tΔt+ ?Δt?2 4 8 1 1 1 = lim = lim ( t+ Δt)= t. Δt 4 8 4
Δt→0 Δt→0

1 ∴当 t=2 时,s′= . 2 答案 C 3.若曲线 y=h(x)在点 P(a,h(a))处切线方程为 2x+y+1=0,则( A.h′(a)<0 C.h′(a)=0 解析 由 2x+y+1=0,得 h′(a)=-2<0. ∴h′(a)<0. 答案 A 9 4.曲线 y= 在点(3,3)处的切线方程的倾斜角 α 等于( x A.45° C.135° 9 9 - x+Δx x Δy 解析 k=y′= lim = lim Δx Δx
Δx→0 Δx→0

)

B.h′(a)>0 D.h′(a)的符号不定

)
[ 来源:中 ,国教, 育出,版 网]

B.60°

D.120°

= lim
Δx→0

-9 9 =- 2. x x?x+Δx?

∴当 x=3 时,tanα=-1.

第 1 页 共 4 页

∴α=135° . 答案 C π 5.在曲线 y=x2 上切线倾斜角为 的点是( 4 A.(0,0) 1 1 C.( , ) 4 16 解析 y′= lim
Δx→0

) B.(2,4) 1 1 D.( , ) 2 4

?x+Δx?2-x2 Δy = lim Δx Δx
Δx→0

= lim
Δx→0

2xΔx+?Δx?2 = lim (2x+Δx)=2x. Δx
Δx→0

π 1 1 令 2x=tan =1,∴x= ,y= . 4 2 4 1 1 故所求的点是( , ). 2 4 答案 D 6.已知曲线 y=2x2 上一点 A(2,8),则过点 A 的切线的斜率为________. 解析 k=f′(2)= lim
Δx→0

2?2+Δx?2-2×22 Δx

= lim
Δx→0

8Δx+2?Δx?2 = lim (8+2Δx)=8. Δx
Δx→0

答案 8 7.若函数 f(x)在 x0 处的切线的斜率为 k,则极限 lim
Δx→0

f?x0-Δx?-f?x0? =________. Δx 解析 lim
Δx→0

[ 来源:中教网]

f?x0-Δx?-f?x0? Δx

=- lim
Δx→0

f?x0-Δx?-f?x0? -Δx

=-k. 答案 -k

第 2 页 共 4 页

8.已知函数 f(x)在区间[0,3]上图像如图所示,记 k1=f′(1),k2=f′(2),k3=f′(3),则 k1,k2,k3 之间的大小关系为________.(请用“>”连接) 解析 由 f(x)的图像及导数的几何意义知,k1>k2>k3. 答案 k1>k2>k3 能 力 提 升 9.已知曲线 y=2x2 上的点(1,2),求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程. 解 ∵f′(1)= lim
Δx→0

f?1+Δx?-f?1? =4,∴过点(1,2)的切线的斜率为 4.设过点(1,2)且与过 Δx

1 该点的切线垂直的直线的斜率为 k,则 4k=-1,k=- . 4 1 ∴所求的直线方程为 y-2=- (x-1), 4 即 x+4y-9=0. 1 10.已知点 M(0,-1),F(0,1),过点 M 的直线 l 与曲线 y= x3-4x+4 在 x=2 处的切 3 线平行. (1)求直线 l 的方程; (2)求以点 F 为焦点,l 为准线的抛物线 C 的方程. 解 (1)∵f′(2)=

1 3 1 ? ?2+Δx?3-4?2+Δx?+4-? ?3×2 -4×2+4? 3 lim Δx
Δx→0

=0,∴直线 l 的斜率为 0,其直线方程为 y=-1. p (2)∵抛物线以点 F(0,1)为焦点,y=-1 为准线,∴设抛物线的方程为 x2=2py,则- = 2 -1,p=2.故抛物线 C 的方程为 x2=4y.
[ 来源:中*教* 网 z* z* s*tep]

品 味 高 考

第 3 页 共 4 页

11.设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a 等于( A.1 1 C.- 2 解析 f′(1)= lim
Δx→0

)

1 B. 2 D.-1 a?1+Δx?2-a Δy = lim Δx Δx
Δx→0

= lim (2a+aΔx)=2a.
Δx→0

令 2a=2,∴a=1. 答案 A 12.曲线 y=x3-2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( A.30° C.60° 解析 Δy=(1+Δx)3-2(1+Δx)+4-(1-2+4) =3Δx+3(Δx)2+(Δx)3-2Δx =Δx+3(Δx)2+(Δx)3 Δy ∴y′|x=1= lim = lim [1+3Δx+(Δx)2] Δx Δx→0 Δx→0 =1. ∴tanα=1,α=45° . 答案 B B.45° D.120° )

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