当前位置:首页 >> 数学 >>

【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题七 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想课件 文


第1讲

函数与方程思想、数形结合思想

高考定位

函数与方程思想、数形结合思想都是重要的数学

思想,高考对函数与方程思想的考查,一般是通过函数与导

数试题,三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查,
重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题,通过方程 思想求解一些待定系数等,对数形结合思想的考查,一般体 现在选择题或填空题中.

1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中

的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构
造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从 而使问题获得解决的思想方法. (2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建 立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或

者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思
想方法.

2.函数与方程的思想在解题中的应用 (1)函数与不等式的相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就 转化为不等式f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问 题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的 观点去处理数列问题十分重要. (3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决, 这都涉及二次方程与二次函数的有关理论. 3.数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅 形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:①借助形的生 动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的, 比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;②借助于数的 精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段, 形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 .

4.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第 一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数 特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分 析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,

由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参
数的取值范围 . 数学中的知识,有的本身就可以看作是数 形的结合.

热点一 函数与方程思想的应用
[微题型1] 运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题
【例 1 - 1 】 设函数 f(x) = cos2x + sin x + a - 1 ,已知不等式

17 1≤f(x)≤ 4 对一切 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围.

解 f (x)=cos2x+sin x+a-1 =1-sin2x+sin x+a-1
? =-?sin ?

1?2 1 x- ? +a+ . 2? 4

因为-1≤sin x≤1, 1 所以当 sin x= 时, 2 1 函数有最大值 f (x)max=a+4, 当 sin x=-1 时,函数有最小值 f (x)min=a-2. 17 因为 1≤f (x)≤ 对一切 x∈R 恒成立, 4 1 17 ? ? a+4≤ 4 , 17 所以 f (x)max≤ 4 且 f (x)min≥1,即? ? ?a-2≥1, 解得 3≤a≤4,所以 a 的取值范围是[3,4].

探究提高

(1)在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就

是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题;(2)函数

f (x)>0或f (x)<0恒成立,一般可转化为f (x)min>0或f (x)max<0;
已知恒成立求参数范围可先分离参数,然后利用函数值域求解.

[微题型2] 运用函数与方程思想解决数列问题
【例 1-2】 (2015· 郑州模拟)已知数列{an}满足 a1=3,an+1=an+ p· 3n(n∈N*,p 为常数),a1,a2+6,a3 成等差数列. (1)求 p 的值及数列{an}的通项公式; n2 4 (2)设数列{bn}满足 bn=a ,证明:bn≤9. n (1)解 由a1=3,an+1=an+p· 3n,

得a2=3+3p,a3=a2+9p=3+12p.
因为a1,a2+6,a3成等差数列, 所以a1+a3=2(a2+6), 即3+3+12p=2(3+3p+6), 得p=2,依题意知,an+1=an+2×3n.

当 n≥2 时,a2-a1=2×31, a3-a2=2×32,?, an-an-1=2×3n 1.


将以上式子相加得 an-a1=2(31+32+?+3n-1), 3×(1-3n-1) n 所以 an-a1=2× =3 -3, 1-3 所以 an=3n(n≥2). 又 a1=3 符合上式,故 an=3n. (2)证明 因为 an=3n, n2 所以 bn= n. 3

(n+1)2 n2 -2n2+2n+1 所以 bn+1-bn= -3n= (n∈N*), n+1 n+1 3 3 若-2n2+2n+1<0, 1+ 3 则 n> 2 , 即当 n≥2 时,有 bn+1<bn, 1 4 又因为 b1= ,b2= , 3 9 4 故 bn≤9.

探究提高

数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型:

(1)数列中的恒成立问题,转化为最值问题,利用函数的单调性或 不等式求解. (2)数列中的最大项与最小项问题,利用函数的有关性质或不等式
? ?an-1≤an,? ?an-1≥an, ? 组? 求解. ? ?an≥an+1,? ?an≤an+1

(3)数列中前 n 项和的最值:转化为二次函数,借助二次函数的单 调性或求使 an≥0(an≤0)成立时最大的 n 值即可求解.

[微题型3] 运用函数与方程的思想解决解析几何中的问题

【例 1-3】设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶

点,直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. → → (1)若ED=6DF,求 k 的值; (2)求四边形 AEBF 面积的最大值.



x2 2 (1)依题意得椭圆的方程为 4 +y =1,

直线 AB,EF 的方程分别为 x+2y=2,y= kx(k>0).如图,设 D (x0,kx0),E (x1,kx1), F(x2,kx2),其中 x1<x2,且 x1,x2 满足方程 (1+4k2)x2=4, 2 故 x2=-x1= 2.① 1+4k → =6DF → 知 x -x =6(x -x ), 由ED 0 1 2 0 1 5 10 得 x0= (6x2+x1)= x2= 2; 7 7 7 1+4k 2 由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2,得 x0= . 1+2k

2 10 所以 = 2, 1+2k 7 1+4k 化简得 24k2-25k+6=0, 2 3 解得 k=3或 k=8. (2)根据点到直线的距离公式和①式知,点 E,F 到 AB 的距离 分别为 |x1+2kx1-2| 2(1+2k+ 1+4k2) h1= = , 2 5 5(1+4k ) |x2+2kx2-2| 2(1+2k- 1+4k2) h2= = 5 5(1+4k2)

又|AB|= 22+1= 5, 1 所以四边形 AEBF 的面积为 S= |AB|(h1+h2) 2 4(1+2k) 2(1+2k) 1 = · 5· = 2 2 5(1+4k ) 1+4k2 =2
2

1+4k2+4k ≤2 2, 1+4k2

1 当 4k =1(k>0),即当 k=2时,上式取等号. 所以 S 的最大值为 2 2. 即四边形 AEBF 面积的最大值为 2 2.

探究提高

解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的

综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认

识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一
个 ( 或者多个 ) 变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使 问题得以解决.

热点二 数形结合思想的应用 [微题型1] 运用数形结合思想解决函数、方程问题
【例 2-1】 已知函数 f(x)=|x-2|+1, g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两 个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是(
? 1? A.?0,2? ? ? ?1 ? B.?2,1? ? ?

)

C.(1,2)

D.(2,+∞)

解析

先作出函数 f(x)=|x-2|+1 的图象, 如图所示, 当直线 g(x)

=kx 与直线 AB 平行时斜率为 1,当直线 g(x)=kx 过 A 点时斜率
?1 ? 1 为 ,故 f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k 的范围为?2,1?. 2 ? ?

答案 B

探究提高

(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、

根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基 本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不

熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐
标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个 ①研究函数的单调性与奇偶性:画出函数的图象,从图象的变化 趋势看函数的单调性,从图象的对称看函数的奇偶性.

数.(2)数形结合思想在解决函数性质有关问题时常有以下几种类型:

②研究函数的对称性:画出函数的图象,可从图象的分布情况看
图象的对称性. ③比较函数值的大小:对于比较没有解析式的函数值大小,可结 合函数的性质,画出函数的草图,结合图象比较大小.

[微题型2] 运用数形结合思想解决不等式中的问题
【例 2-2】若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b],且 b-a=2,则 k=________.

解析

如图,分别作出直线 y=k(x+2)- 2

与半圆 y= 9-x2. 由题意,知直线在半圆的上方,由 b-a=2, 可知 b=3,a=1, 所以直线 y=k(x+2)- 2过点(1,2 2), 则 k= 2.
答案 2

探究提高

不等式的解可转化为两个函数图象的一种相对

位置关系,故利用数形结合将问题转化为对两个函数图象

位置关系的研究,利用函数图象的几何特征,准确而又快
速地求出参数的值或不等式的解集.

[微题型3] 运用数形结合思想解决解析几何中的问题
已知 P 是直线 l:3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是

【例 2-3】

圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的两条切线,A、B 是切点,C 是圆心, 则四边形 PACB 面积的最小值为________.

解析

从运动的观点看问题, 当动点 P 沿直线 3x+4y+8=0 向左

上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC= 1 1 |AC|=2|PA|越来越大,从而 S 四边形 PACB 也越来越大; 2|PA|·

当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S 四边形 PACB 变小,显 然,当点 P 到达一个最特殊的位置, 即 CP 垂直直线 l 时,S 四边形 PACB 应有唯一的最小值, |3×1+4×1+8| 此时|PC|= =3, 2 2 3 +4 从而|PA|= |PC|2-|AC|2=2 2. 1 所以(S 四边形 PACB)min=2×2×|PA|×|AC|=2 2.
答案 2 2

探究提高

在几何的一些最值问题中,可以根据图形的性质结合

图形上点的条件进行转换,快速求得最值.

1.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间 的关系,通过变量之间的关系探究问题的答案,这就需要使用 函数思想. 2.借助有关函数的性质,一是用来解决有关求值、解(证)不等式、

解方程以及讨论参数的取值范围等问题,二是在问题的研究中, 可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.

3.许多数学问题中,一般都含有常量、变量或参数,这些参变量
中必有一个处于突出的主导地位,把这个参变量称为主元,构 造出关于主元的方程,主元思想有利于回避多元的困扰,解方 程的实质就是分离参变量.

4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、 向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径,

当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过图形分析
这些数量关系,达到解题的目的. 5.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对 图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的. 6.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不需

要精确图象.


赞助商链接
相关文章:
更多相关标签:

相关文章