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高中数学解题方法谈:函数奇偶性的判定方法


函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性的判定方法较多,下面把常见的判定方法分类加以研究分析. 1.定义域判定法 例 1 判定 f ( x) ? ( x ? 1)? x ? 2 的奇偶性. 解:要使函数有意义,须 x ? 2 ≥ 0 ,解得 x≥ 2 , ?定义域不关于原点对称, ?原函数是非奇非偶函数. 评注:用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数,但可以通过定义域不关于原点对称,来否 定一个函数的奇偶性. 2.定义判定法 例 2 判断 f ( x) ? x ? a ? x ? a 和奇偶性. 解:?函数 f ( x) ? x ? a ? x ? a 的定义域为 R ,且

f ( ? a ) ? ? x ? a ? ? x ? a ? ?( x ? a ) ? ?( x ? a ) ? x ? a ? x ? a ? f ( x ) ,

?函数 f ( x) 是偶函数.
评注:在定义域关于原点对称的前提下,可根据定义判定函数的奇偶性. 3.等价形式判定法 例 3 判定 f ( x) ?

1 ? x2 ? x ? 1 1 ? x2 ? x ? 1

的奇偶性.

解:? f ( x) 的定义域为 R ,关于原点对称,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,

?图象过原点.
又? x ? 0 时,

f (? x) (1 ? x 2 ) ? ( x ? 1) 2 ? ? ?1 , f ( x) (1 ? x 2 ) ? ( x ? 1) 2

? f (?1) ? ? f ( x) .
又 f (0) ? 0 ,? f ( x) 为奇函数. 评 注 : 常 用 等 价 变 形 形 式 有 : 若 f ( x)? f (? x) ? 0 或

f (? x) ? ?1 , 则 f ( x) 为 奇 函 数 ; 若 f ( x)

f ( ? x ) ? f ( x) ? 0 或
4.性质判定法

f (? x) ? 1 ,则 f ( x) 为偶函数(其中 f ( x) ? 0 ). f ( x)

例 4 若 a ? 0 , f ( x)( x ?[?a,a]) 是奇函数, g ( x)( x ?R) 是偶函数,试判定 ? ( x) ? f ( x)?g ( x) 的奇 偶性.

解:在 f ( x),g ( x) 的公共定义域 [?a,a] 内,任取一个 x ,则 ? (? x) ? f (? x)?g ( x) ,

? f ( x),g ( x) 分别是奇函数和偶函数, ? f (? x) ? ? f ( x)?g ( x) ? ? f ( x)?g ( x) ? ?? ( x) . ?? ( x) 在 [?a,a] 上为奇函数.
评注:在两个函数(常函数除外)的公共定义域关于原点对称的前提下:①两个偶函数的和、差、积 都是偶函数;②两个奇函数的和、差是奇函数、积是偶函数;③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.


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