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1.1.1 集合的含义及表示


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教学设计 付小华

§1.1.1 集合的含义与表示
【教材分析】 集合语言是现代数学的基本语言,可以简洁、准确、规范的表达数学内容. 本节学习集合的一些基本知识,用最基本的集合语言表示有关数学对象和数学 问题等,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换,初步运用集合 的观点和思想来分析数学,解决简单的

数学问题. 本课是本节的第一课,也是同学们刚进入高中阶段的第一课.常言道“良好 的开端是成功的一半”.本课主要是让学生从已有的集合知识和实际生活中的 例子入手,体会集合的含义.集合作为一种基本的数学语言,学习并掌握它的最 好方法是使用.因此,教学中要多引导学生使用集合语言描述对象,进行自然语 言与集合语言间的转换. 【教学目标】 1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合 不同的语言形式描述具体的问题. 2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号, 并能够用其解决有关问题. 3.在从实例理解集合的含义过程中,提高语言转换和抽象概括能力,树立用 集合语言表示数学内容的意识. 4.在理解集合含义及特性过程中,运用元素分析法分析集合问题,提高学 生分析问题和解决问题的能力. 【教学重难点】 教学重点:集合的含义与表示方法. 教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合. 【教学设计建议】 一、导入新课 1.生活中的集合现象:体育课的集合、军训的集合;蔬菜、水果、家电、 服装等总称、整体现象. 2.数学里的集合现象:整体、全体、所有等统称问题. 【设计意图:从生活中和数学里已有的集合知识概括性的导入新课,学生 体会到数学与生活的联系,激发学习兴趣】 二、探索新知 (一) 、集合的含义 1、小学初中数学涉及到的“集合” 如:数集 所有整数、所有有理数、实数,方程(组) 、不等式的解,几何中 圆的轨迹、线段的垂直平分线等. 2、再看一些生活实例 P2
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(1)1~20 以内所有的质数; (2)我国从 1991~2003 年的 13 年内所发射的所有人造卫星; (3)金星汽车厂 2003 年生产的所有汽车; (4)2004 年 1 月 1 日之前与我国建立外交关系的所有国家; (5)所有的正方形; (6)到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点; (7)方程 x2+3x-2=0 的所有实数根; (8)新华中学 2004 年 9 月入学的高一学生的全体. 3、问题思考 (1)8 个实例的共同特征. (2)具体分析每一个实例的元素和这些元素的全体所组成一个集合. 4、归纳新知 (1)集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素(element) ,把一些元素组成的总体 叫做集合(set)(简称集). (2)集合与元素的表示 ①通常用大写拉丁字母 A,B,C,?表示集合,用小写拉丁字母 a,b,c,? 表示集合中的元素. ②元素与集合的“属于”关系 如果 a 是集合 A 中的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a∈A;如果 a 不是集 合 A 中的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A. ③常用数集及其记法:非负整数(自然数集)N、正整数集 N*或 N+、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R. 【设计意图:集合是一个原始的、不定义的概念,只是对集合进行描述性 说明.在开始接触集合的时候,主要通过实例,让学生感知、了解,进而概括出 元素与集合的含义.元素、集合的字母表示,以及元素与集合的“属于”或“不 属于”关系,建议在运用中逐渐熟悉.】 (二)集合元素的特性 (1)问题思考 ①世界上最高的山能不能构成一个集合?世界上的高山能不能构成一个集 合? ②由实数 1、2、3、1 组成的集合有几个元素? ③由实数 1、2、3 组成的集合记为 M,由实数 3、1、2 组成的集合记为 N,这 两个集合是不是相同的集合呢? (2)集合元素的特性 ①确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的,也就是说,给定一个集 合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了. ②互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合中的元
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素是不重复出现的. ③无序性:集合中的元素是无先后顺序的,也就是说,对于一个给定的集 合,它的任何两个元素可以交换位置.只要构成两个集合的元素是一样的,我们 就称这两个集合是相等的. 【设计意图:集合元素的特性及其中的约定通过实例的分析和思考,目的 是让学生形成认知冲突,体会元素的确定性、约定元素的无序性和互异性的必 要.】 (二)集合元素的特性 (1)问题思考 ①世界上最高的山能不能构成一个集合?世界上的高山能不能构成一个集 合? ②由实数 1、2、3、1 组成的集合有几个元素? ③由实数 1、2、3 组成的集合记为 M,由实数 3、1、2 组成的集合记为 N,这 两个集合是不是相同的集合呢? (2)集合元素的特性 ①确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的,也就是说,给定一个集 合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了. ②互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合中的元 素是不重复出现的. ③无序性:集合中的元素是无先后顺序的,也就是说,对于一个给定的集 合,它的任何两个元素可以交换位置.只要构成两个集合的元素是一样的,我们 就称这两个集合是相等的. (三)集合的表示方法 (1)自然语言描述 (2)大写字母表示 (3)列举法 ①问题引出:书上的例 1 如何表示集合引出列举法 例 1 怎样表示下列集合? (1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合; (3)由 1~20 以内的所有质数组成的集合. ②列举法 把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{ }”括起来表示集合, 这种表示集合的方法叫做列举法. (4)描述法 ①问题引出:你能用列举法表示 不等式 x - 7 ? 3 的解集吗? 数轴上离原点的距离大于 6 的点组成的集合吗?
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②描述法 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围, 再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所 含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法. 注意:在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉 竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x 是直角三角 形},也可以写成{直角三角形}. 【设计意图:集合的两种主要表示法,都通过学生对实例或问题的思考, 去体验知识方法.不仅要让学生明白用列举法是集合最基本、最原始的表示方法, 还要理解到集合中元素的列举与元素的顺序无关.通过问题的思考,学生认识到 仅用列举法表示集合是不够的,有些集合是列举不完或者列举不出来的,由此 说明学习描述法的必要性.学习描述法时,先用自然语言表示集合元素具有的共 同属性,再介绍用描述法的具体方法.】 三、反思提升 (一)集合的含义及表示方法 (1)集合的含义(高中唯一不定义的概念,仅描述性说明含义) (2)表示方法: 字母表示法、自然语言描述、列举法、描述法 (二)自然语言、列举法和描述法表示集合时,各自的特点和适用对象 自然语言描述集合简单易懂、生活化;列举法的特点每个元素一一列举出 来,非常直观明显的表示元素,当元素有限或者元素有规律性的时候,是常采 用的方法;描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征,集合中的元素基本 是无限的,这是比较常用的集合表示法. 【设计意图:学生浸润在新课导入的情境中,对集合的新知进行探索后, 有了较深刻的学习体验,通过对反思小结,提升集合的知识和方法,说明集合 的表示方法各有优点,需要根据具体问题确定采用哪种表示方法,启发学生关 注知识间的联系和区别,并能根据问题情境适时进行语言转换.】 四、反馈例练 (一)基础例练 书 P5 练习 1、2 书 P4 例 2.试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x2-2=0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合. (二)巩固例练 例 1.下列各组对象不能组成集合的是( ) A.大于 6 的所有整数 B.高中数学的所有难题 1 C.被 3 除余 2 的所有整数 D.函数 y= 图象上所有的点 x 例 2.用列举法表示下列集合:
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(1)小于 5 的正奇数组成的集合; (2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合; (3)方程 x2-9=0 的解组成的集合; (4){15 以内的质数}; 6 ? Z , x ? Z} . (5) {x | 3? x 例 3.用描述法分别表示下列集合: (1)二次函数 y=x2 图象上的点组成的集合; (2)数轴上离原点的距离大于 6 的点组成的集合; (3)不等式 2x-7<3 的解集. (三)拓展例练
2 1.数集 ?3, x, x ? 2 x? 中,实数 x 满足什么条件?

2.集合 A 中的元素由关于 x 的方程 kx 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解构成,其中 k ? R ,若 A 中仅有一个元素,求 k 的值. 1 3、集合 A ? {x | x ? a ? 2b, a ? Z , b ? Z} ,判断下列元素 x ? 0 、 、 2 ?1 1 与集合 A 之间的关系. 3? 2 4、 设集合 A ? ?x | x ? 2m ?1, m ? Z? 与 B ? ?x | x ? 2n ?1, n ? Z? , 试问集合 A 与 B 是同一集合吗?说明理由. 1 ? A. 5、集合 A 满足:若 a ? A 且 a ? 1 ,则 1? a ①若 2 ? A ,求集合 A 中其他元素.②证明:集合 A 不可能只有一个元素. 1 ③证明:若 a ? A 且 a ? 1 ,则 1 ? ? A . a 【设计意图:通过三种层次的反馈例练,由浅入深,逐渐达到运用新知的 目的,同时反馈学生学习理解的程度,进行学习监控和补救.】 五、课后作业 课本 P11 习题 1.1 A 组 1、2、3、4、5 B 组 1、2 建议校本教材辅助练习 【教学设计感悟】 集合语言是现代数学的基本语言,在高中数学课程中,它也是学习、掌握和 使用数学语言的基础.由于集合的含义、表示方法及特征比较难以理解,很容易 囫囵吞枣,因此设计时采用渐进式问题引导、尝试探索、归纳新知的学习方法. 集合作为一种基本的数学语言,学习并掌握它的最好方法是使用.因此,教 学中要多引导学生针对具体问题,恰当使用集合语言描述对象,进行自然语言 与集合语言间的转换,这不仅是学习集合语言的需要,更是培养学生数学语义 转换能力的需要,为接下来的运用集合和对应的语言来进一步描述函数概念, 感受建立函数模型的过程和方法打下一定的基础.教师在教学过程中时时监控,
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对学生不可能解决的问题,对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨.从一开 始引导学生养成良好学习习惯,思维习惯,最大限度地挖掘学生的学习潜力.

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