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高中数学平面向量知识点总结


平面向量知识点总结
第一部分:向量的概念与加减运算,向量与实数的积的运算。 一.向量的概念: 1. 向量:向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2. 向量的表示方法: (1) ?几何表示法: 点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 起点、方向、长度 记作(注意起讫) (2)?字母表示法: AB 可表示为 a

有向线段的三要素:

>3.模的概念:向量 AB 的大小——长度称为向量的模。 记作:| AB | 4.两个特殊的向量: 1?零向量——长度(模)为 0 的向量,记作 0 。 0 的方向是任意的。 注意 0 与 0 的区别 2?单位向量——长度(模)为 1 个单位长度的向量叫做单位向量。 二.向量间的关系: 1.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作: a ∥ b ∥ c 规定: 0 与任一向量平行
2. 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 a b c

模是可以比较大小的

记作: a = b 规定: 0 = 0 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示, 与起点无关。
3. 共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上 ,

所以平行向量也叫共线向量。
三.向量的加法:

1.定义:求两个向量的和的运算,叫做向量的加法。 注意: ;两个向量的和仍旧是向量(简称和向量) 2.三角形法则:
a a C a+b A A b

a b

b

a B

a+b C C

a+b A B

强调:

B

1?“向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起 点 2?可以推广到 n 个向量连加 3? a ? 0 ? 0 ? a ? a 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则(三角形法则) : 2?向量加法的交换律: a + b = b + a 3?向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 4.向量加法作图:两个向量相加的和向量,箭头是由始向量始端指向终向量 末端。
四.向量的减法: 1.用“相反向量”定义向量的减法

1?“相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量。记作 ?a 2?规定:零向量的相反向量仍是零向量。?(?a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0 如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, b = ?a, a + b = 0 3?向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差。 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b
3.向量减法做图: AB 表示 a ? b。强调:差向量“箭头”指向被减数 总结:1?向量的概念:定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、

相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法:定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五:实数与向量的积(强调: “模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积 ? ? 实数λ 与向量 a 的积,记作:λ a ? ? 定义:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a ? ? 1?|λ a |=|λ || a |

? ? ? ? ? 2?λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 ? ? 2.运算定律:结合律:λ (μ a )=(λ μ) a ① ? ? ? 第一分配律:(λ +μ) a =λ a +μ a ② ? ? ? ? 第二分配律:λ ( a + b )=λ a +λ b ③
3.向量共线充要条件:

? ? 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ ? ? 使 b =λ a
六. 平面向量定理: 用两个不共线向量表示一个向量; 或一个向量分解为两个向量。

(其实质在于:同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性 组合) 平面向量基本定理:如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么于一平

? ? 面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e 2
注意几个问题:1?
e1 、e 2 必须不共线,且它是这一平面内所有向量的一组基底

2? 这个定理也叫共面向量定理

? 3?λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e 2 唯一确定的数量
第二部分:向量的坐标运算 七.向量的坐标表示与坐标运算

1.平面向量的坐标表示:在坐标系下,平面上任何一点都可用一对实数(坐标) 来表示

? 取 x 轴、y 轴上两个单位向量 i , j 作基底,则平面内作一向量 a =x i +y j , ? ? 记作: a =(x, y) 称作向量 a 的坐标
2.注意:1?每一平面向量的坐标表示是唯一的; 2?设 A(x1, y1) B(x2, y2) 则 AB =(x2?x1, y2?y1)

3?两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。 3.结论:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 同理可得: 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的 坐标。

? 4.实数与向量积的坐标运算:已知 a =(x, y)

实数λ

? 则λ a =λ (x i +y j )=λ x i +λ y j ? ∴λ a =(λ x, λ y) 结论:实数与向量的积的坐标,等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 八.向量平行的坐标表示 ? ? ? 结论: a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
注意:1?消去λ 时不能两式相除,∵y1, y2 有可能为 0, ∴x2, y2 中至少有一个不为 0
? ∵b ?0

2?充要条件不能写成

y1 y 2 ? x1 x 2

∵x1, x2 有可能为 0
a ? ?b x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0

? ? ? 3?从而向量共线的充要条件有两种形式: a ∥ b ( b ? 0 ) ?
九.线段的定比分点:

1.线段的定比分点及λ P1, P2 是直线 l 上的两点,P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点,存在实 数λ , 使
P1

P1 P =λ PP2
P P2

λ 叫做点 P 分 P1 P2 所成的比,有三种情况:
P1 P2 P P P1 P2

λ >0(内分) <0 (-1<λ <0)
? ?x ? 2.定比分点坐标公式 ? ? ?y ? ? x1 ? ?x 2 1? ? y1 ? ?y 2 1? ?

(外分) λ <0 (λ <-1)

( 外分)λ

3.中点公式:若 P 是 P1 P2 中点时,λ =1 4.注意几个问题: 1? λ 是关键,λ >0 内分 λ <0 外分 λ ?-1 若 P 与 P1 重合, λ =0 λ 不存在 2? 中点公式是定比分点公式的特例 P 与 P2 重合

x1 ? x 2 2 y1 ? y 2 y? 2 x?

3? 始点终点很重要,如 P 分 P1 P2 的定比λ = 4? 公式:如 x1, x2, x, λ 知三求一

1 2

则 P 分 P2 P1 的定比λ =2

十.平面向量的数量积及运算律

(一)平面向量数量积 1.定义:平面向量数量积(内积)的定义,a?b = |a||b|cos?, 并规定 0 与任何向量的数量积为 0。? C 2.向量夹角的概念:范围 0?≤?≤180?
? = 0? A B ? = 180? O B O A O ? B A A O ? B O A ? B A B

O

?

C

3.注意的几个问题;——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1?两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决 定。 2?两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a×b,而 ab 是两个数量的积,书写时要严格区分。 3?在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0, 且 a?b=0,不能推出 b=0。因为其中 cos?有可能为 0。这就得性质 2。 4?已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c。但是 a?b = b?c ? a = c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA| a b?c = |b||c|cos? = |b||OA| c ?ab=bc 但 a ? c ?? b 5?在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) O A 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量, 而一般 a 与 c 不共线。 (二)投影的概念及两个向量的数量积的性质: 1. “投影”的概念:作图
B O b ? B O b ? a A B O b ? O (B ) 1 OO a A

A B1 O a B1 O O 定义:|b|cos?叫做向量 b 在 aO 方向上的投影。 O O

注意:1?投影也是一个数量,不是向量。 2?当?为锐角时投影为正值; 当?为钝角时投影为负值; 当?为直角时投影为 0; 当? = 0?时投影为 |b|; 当? = 180?时投影为 ?|b|。 2.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积。 3.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量。 1?e?a = a?e =|a|cos? 2?a?b ? a?b = 0 3?当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|。 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a 4?cos? =
a?b | a || b |

5?|a?b| ≤ |a||b| 十一. 平面向量的数量积的运算律 1. 交换律:a ? b = b ? a 2. 结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 3. 分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 十二. 平面向量的数量积的坐标表示 1.设 a = (x1, y1),b = (x2, y2),x 轴上单位向量 i,y 轴上单位向量 j,则:i?i = 1, j?j = 1,i?j = j?i = 0 2.a?b = x1x2 + y1y2 3.长度、角度、垂直的坐标表示 1?a = (x, y) ? |a|2 = x2 + y2 ? |a| = x 2 ? y 2

2?若 A = (x1, y1),B = (x2, y2),则 AB = ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 3? cos? =
a ?b ? | a |?| b|
x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2
2

2

4?∵a?b ? a?b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0(注意与向量共线的坐标表示原 则)
十三.平移

一、平移的概念:点的位置、图形的位置改变,而形状、大小没有改变,从而 导致函数的解析式也随着改变。这个过程称做图形的平移。 (作图、讲解) 一个平移实质上是一个向量 二、平移公式:设 PP' = (h, k),即: OP' ? OP ? PP' ∴(x’, y’) = (x, y) + (h, k)
? x' ? x ? h ∴? ? y' ? y ? k

—— 平移公式

三、注意:1?它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系 2?知二求一 3?这个公式是坐标系不动, P(x, y)按向量 a = (h, k)平移到点 P’(x’, 点 y’)。另一种平移是:点不动,把坐标系平移向量?a,即:
? x' ? x ? h 。这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样 ? ? y' ? y ? k

的, 这两个公式作用是一致的。
十四. 正弦定理

1?正弦定理的叙述:在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等 公式即:
a b c = = 它适合于任何三角形。 sin A sin B sin C a b c = = =2R sin A sin B sin C

2?可以证明

(R 为△ABC 外接圆半径)

3? 每个等式可视为一个方程:知三求一 从理论上正弦定理可解决两类问题: 1.两角和任意一边,求其它两边和一角; 2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。 十五. 余弦定理 1.余弦定理语言描述:三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 2. 余弦定理公式:
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

4.强调几个问题: 1?熟悉定理的结构,注意“平方” “夹角” “余弦”等 2?知三求一 3?当夹角为 90?时,即三角形为直角三角形时即为勾股定理(特例) 4? 变 形 : cos A ?
a2 ? b2 ? c2 2ac b2 ? c2 ? a2 2bc cos B ? a2 ? c2 ? b2 2ac

cos C ?

三、余弦定理的应用 能解决的问题:1.已知三边求角 2.已知三边和它们的夹角求第三边


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