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立体几何中的向量方法-法向量


§3.2 立体几何中的向量方法——法向量
自我评价 你完成本节导学案的情况为:A. 很好 一、学习目标:
B. 较好 C. 一般 D. 较差

求:(1)求 DB, DC1 (2)面 DBC1 的法向量.

1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念; 2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题. 二、学法指导(C 层) 1.直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非零向量. 面 ? ,记作 n ⊥ ? ,那 么向量 n 叫做平面 ? 的法向量. 3.向量表示平行、垂直关系: 设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ,平面 ?,? 的法向量分别为 u , v ,则 (1) l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb (2) l ∥ ? ? a ? u ? a ? u ? 0 (3) ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv.

.

2.平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量 n 垂直于平

四、课上合作探究
探究问题一:求法向量问题 1.在空间直角坐标系中,已知 A ? 3,0,0 ?, B ?0,4,0 ?, C ?0,0,2 ? ,试求平面 ABC 的一个法向量. (提示:平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.设法向量为 n ,则有 n ? AB, n ? AC, n ? BC ) 3.已知 AB ? ? 2,2,1? , AC ? ? 4,5,3? ,求平面 ABC 的一个法向量.

z D 2.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 为棱 AB 的中点。
1

C
1

A
1

探究问题二:方向向量,法向量证明问题 1.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,棱长为 1,求证: DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.

B
1

D A x E B

C

y

C.若 m ? ? , ,则 n // m A. ?1,2,1?
? 1 ? B. ? 1, ,1? ? 3 ?

D.若 m ? ? , ,则 n ? m C. ?1,0,0?

2.已知 AB ? ?1,0, ?1? , AC ? ? 0,3, ?1? ,能做平面 ABC 的法向量的是( ) D.

? 2,1,3?

N 分 别 是 A B 、 P C的 中 点 , 并 且 2. 已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 面 , M 、
PA ? AD =1 ,求证: MN ? 平面 PDC
P D

3.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 棱长为 1,求面 A 1BD 与面 BDC1 的法向量。
z D1

C1

A1

B1

N C
A x D E B C y

A

M

B

五、课后归纳:
法向量的求解、应用中应注意哪些问题?

六、当堂检测
1.已知 n ? ? ,下列说法错误的是( ) A. 若 a ? ? ,则 n ? a B.若 a / /? ,则 n ? a


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