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2014年秋《全优课堂》高中数学(配人教A版,必修一)同步课件:第二章+基本初等函数(9份)2.2.1 第2课时


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2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算

第2课时 对数的运算

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自学导引
1.对数的运算性质 如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,那么,

logaM+logaN ; (1)loga(MN)=______________
M (2)loga N =_____________ logaM-logaN ;

nlogaM (3)logaMn=______________( n∈R).

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2.对数的换底公式 logcb logab=log a(a>0 且 a≠1;c>0 且 c≠1,b>0). c 3.两个较为常用的推论

1 (1)logab· logba=________( a,b>0 且均不为 1);
n (2)logamb =mlogab(a,b>0 且均不为 1,m≠0).
n

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自主探究
1.log2ab=log2a+log2b一定成立吗?
【答案】不一定成立,只有当a>0且b>0时才成立.例如: log2[(-2)×(-7)]存在,但log2(-2),log2(-7)都不存在, 因而不能得出log2[(-2)×(-7)]=log2(-2)+log2(-7).

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2.在什么情况下选用换底公式?
【答案】(1)在运算过程中,出现不能直接用计算器或查表 获得对数值时,可化成以10为底的常用对数进行运算; (2)在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用运算 法则时,可统一化成以同一个实数为底的对数,再根据运算法

则进行化简与求值.

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预习测评


1 . (2014 年成都一模 ) 计算 log5 5 + 4 2 所得的结果为 ( ) A.1 7 C.2 5 B .2 D.4

1

【答案】A

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2.下列各等式中正确运用对数运算性质的是(所有字母 都是正数)( )

A.lg(x2y z)=(lg x)2+lg y+ lg z B.lg(x2y z)=2lg x+2lg y+2lg z C.lg(x2y z)=2lg x+lg y-2lg z 1 D.lg(x y z)=2lg x+lg y+2lg z
2

【答案】D

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log89 3.log 3的值是________. 2 2 【答案】3

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4.已知 lg 2=a,lg 3=b,则 log36=________.

a+b 【答案】 b

lg 6 lg?2×3? lg 2+lg 3 解析:∵log36=lg 3= lg 3 = lg 3 . a+b 由 lg 2=a,lg 3=b,∴原式= b .

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要点阐释
一、对数运算性质的理解

1.对数运算性质推导的基本方法:利用对数的定义将对
数问题转化为指数问题,再利用幂的运算性质,进行转化变 形,然后把它还原为对数问题.

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2.对于上面的每一条运算性质,都要注意只有当式子中 所有的对数符号都有意义时,等式才成立,如log2[(-3)·(-5)] 是 存 在 的 , 但 log2( - 3) 与 log2( - 5) 均 不 存 在 , 故 不 能 写 成

log2[(-3)(-5)]=log2(-3)+log2(-5).
3.利用对数的运算法则,可以把乘、除的运算转化为对 数的加、减、乘运算,反之亦然,这种运算的互化可简化计算 方法,加快计算速度.

配人教A版 二、换底公式的理解 1.换底公式的证明:

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设x=logab,根据对数定义,有b=ax. 两边取以c为底的对数,得logcb=logcax,

而logcax=xlogca,
logcb 由于 a≠1,则 logca≠0,解出 x,得 x=log a. c ∵x=logab, logcb ∴logab=log a.
c

∴logcb=xlogca.

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2.由换底公式可得如下结论:(1)loganbn=logab; n (2)logamb =mlogab;(3)logab· logba=1;
n

(4)logab· logbc· logcd=logad.

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三、对数式的化简

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1.对于同底的对数的化简常用方法是:①“收”,将 同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数; ②“拆”, 将积(商) 的对数拆成对数的和(差). 2.对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5+lg 2=1”来解题. 3.对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化 简求值. 4.另外注意性质:loga1=0,logaa=1, a≠1,N>0)的应用. =N(a>0,

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典例剖析
题型一 利用对数的运算性质求值 【例 1】 计算下列各式的值: 7 (1)lg 14-2lg3+lg 7-lg 18; lg 27+lg 8-3lg 10 (2) ; lg 1.2 2 (3)lg 5 +3lg 8+lg 5· lg 20+(lg 2)2. 思路点拨:根据式子特点,按照运算性质直接求解即可.
2

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7 解:(1)lg 14-2lg3+lg 7-lg 18=lg (2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7 -lg(32×2)=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.

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(3)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+ (lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.

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1.计算下列各式的值: (1)log210-log25; lg 8+lg 125-lg 2-lg 5 (3) . lg 10· lg 0.1 1 (2)lg4-lg 25;

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解:(1)log210-log25=log22=1. 1 1 (2)lg4-lg 25=lg100=-2.

配人教A版 题型二 换底公式的应用

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【 例 2】 计 算 (log2125 + log425 + log85)(log52 + log254 + log1258). 思路点拨:利用换底公式统一底数,进而运用运算性质.
解:原式
? log225 log25? ? log54 log58 ? 3 ?log52+ ? + =?log25 + log 4 +log 8?· log525 log5125? ? 2 2 ?? ? 2log25 log25 ?? 2log52 3log52? =?3log25+2log 2+3log 2??log52+2log 5+3log 5? ? 2 2 ?? 5 5 ? ? 1? log22 ? ? = 3+1+3 log25· (3log52)=13log25· log25=13. ? ?

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1 1 1 2.计算:log225· log38· log59. 1 1 1 lg25 lg8 lg9 解:原式= lg 2 · lg 3· lg 5

?-2lg 5?· ?-3lg 2?· ?-2lg 3? = lg 2lg 3lg 5 =-12.

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题型三 对数的综合应用 2 1 【例 3】 (1)设 3 =4 =36,求x+y的值;
x y

(2)已知 log189=a,18b=5,求 log3645.
思路点拨:对于条件求值问题,求解时,必须理顺条件和 结论的关系,以便找到解题关键.

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解:(1)∵3x=36,4y=36,∴x=log336,y=log436, log3636 1 log3636 1 由换底公式,得 x= log 3 =log 3,y= log 4 =log 4, 36 36 36 36 1 1 ∴x=log363,y=log364, 2 1 ∴x+y=2log363+log364=log36(32×4)=log3636=1.

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(2)∵log189=a,18b=5,∴log185=b. log1845 log18?9×5? ∴log3645=log 36= log18?18×2? 18 log189+log185 = = 1+log182 a+b 18=2-a. 1+log18 9 a+b

方法点评:指数式化为对数式后,两对数式的底不同,但 式子两端取倒数后,可利用对数的换底公式将差异消除,利用

换底公式时,关于底数的选择有两种情况: (1)选用以10或e为
底,化成常用对数或自然对数;(2)选用在同一题目中出现频率 较多的底数.

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3.(1)设 log34· log48· log8m=log416,求 m; (2)已知 log142=a,用 a 表示 . lg 4 lg 8 lg m 解:(1)利用换底公式,得lg 3· lg 4· lg 8 =2,
∴lg m=2lg 3,∴m=9. (2)由对数换底公式,得 log27 log27 = = 1 =2log27 log2 2 2

?1 ? 2?1-a? =2(log214-log22)=2?a-1?= a . ? ?

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误区解密 因忽略真数大于0而出错
【例 4】 已知 lg x+lg y=2lg (x-2y),求 x y的值.

错解:因为 lg x+lg y=2lg(x-2y), 所以 xy=(x-2y)2,即 x2-5xy+4y2=0, x x 所以 x=y 或 x=4y,即y=1 或y=4, 所以 x y =0 或 x y=4.

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错因分析:错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐

含的条件, x>0 , y>0 , x - 2y>0 ,所以 x>2y>0 ,则 x = y 不成
立.
正解:因为 lg x+lg y=2lg(x-2y), 所以 xy=(x-2y)2,即 x2-5xy+4y2=0, 所以 x=y 或 x=4y,因为 x>0,y>0,x-2y>0, x 所以 x=y 应舍去,所以 x=4y,即y=4, 所以 x y=4.

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纠错心得:根据指数式与对数式的互化可知,真数实际上 是指数式中的指数幂,故为正数.所以在求解含有对数式的问 题时,一定要注意真数的取值范围,保证真数大于零.求解过 程不等价时,在求出答案后需进一步进行检验.

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课堂总结
1.对于同底的对数的化简要用的方法是: (1)“收”,将 同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商) 的对数拆成两对数的和(差).

2.对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5+lg 2
=1”来解题. 3.对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简 求值.

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4.要充分运用“1”的对数等于 0,底的对数等于“1”等对 数的运算性质. 5.两个常用的推论: (1)logab· logba=1(a,b>0 且均不为 1); n (2)logamb =mlogab(a,b>0 且均不为 1,m≠0).
n


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