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2013-2014学年度高一第二学期期末模拟数学试题1


2013-2014 学年度高一第二学期期末模拟数学试题 1
1. 某大学 对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进 行统计,得到样本频率分布直方图(如图),则这 1000 名学生在该次自主招生水平测试中不低于 70 分的学 生数是 . 2.在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 ,且

an?2 ? an ? 1 ? (?1)n

(n ? N ? ) ,
则 a1 ? a2 ? a3 ?

? a51 ?

. . 。

3.在 ?ABC 中, AB ? 5, AC ? 3, BC ? 7 ,则 ?BAC 的大小为 4.已知等比数列{an}中,a1+a2=9,a1a2a3=27,则{an}的前 n 项和 Sn ? 5.函数 y ? (sin 2 x ? cos 2 x)2 的最小正周期为 。

6.某单位有 200 名职工,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按 1-200 编号 ,并按编号顺序平均分为 40 组(1-5 号,6-10 号?,196-200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是

?2 x ? y ? 2 ? 7.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z=2x+3y 的最大值为 ? x ? y ?1 ?
8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a, b, c 成等差数列, B ? 30 , ?ABC 的面积为 则 b ? ____. 9.一组数据 6,7,7,8,7 的方差 s 2 = 开始 S ← 0 k ← 1 k≤20 Y S ← S+k k ← k+1 Y
(第 11 题)E

3 , 2



10.袋中有 1 个白球,2 个黄球,先从中摸出一球,再从剩下 的球中摸出一球,两次都是黄球的概率为 11.执行右面的流程图,输出的 S = . . .

N 输出 S 结束
B

5 1 12.已知 x<4, 则函数 y=4x-2+ 的最大值是 4x-5

13.已知点 E 在正△ABC 的边 AB 上,AE = 2EB,在边 AC 上任意 取一点 P,则“△AEP 的面积恰好小于△ABC 面积的一半”的 概率为 .

14.公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a12 ? a7 2 ? a32 ? a92 ,记 ?an ? 的前 n 项 和为 Sn ,其中 S8 ? 8 ,则 ?an ? 的通项公式为 an = .

A

C P (第 13 题)

二.解答题

15.如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布 直方图如下:请观察图形,求解下列问题:

(1)79.5~89.5 这一组的频率、频数分别是多少? (2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60 分及以上为及格)和平均分.

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

16.设数列{an}是一个公差为 d (d ? 0) 的等差数列,已知它的前 10 项和为 110 ,且 a1,a2,a4 成等比 数列. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)若 bn ? (n ? 1) an ,求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 A,B,C 成等差数列。 (1)若 b ? 2 3 , c ? 2 ,求△ABC 的面积; (2)若 sin A, sin B, sin C 成等比数列,试判断△ABC 的形状。

18. 已知: f ( x) ? ax2 ? (b ? 8) x ? a ? ab ,当 x ? (?3,2) 时, f ( x) ? 0 ; 当 x ? (??,?3) ? (2,??) 时, f ( x) ? 0 。 (1)求 y ? f ( x) 的解析式 (2)解 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0
2

19. 某厂生产 A 产品的年固定成本为 250 万元, 若 A 产品的年产量为 x 万件, 则需另投入成本 C ?x ? (万 元) 。已知 A 产品年产量不超过 80 万件时, C ? x ? ?

1 2 x ? 10 x ;A 产品年产量大于 80 万件时, 3

C ? x ? ? 51x ?

10000 ? 1450 。因设备限制,A 产品年产量不超过 200 万件。现已知 A 产品的售价为 x ? 80

50 元/件,且年内生产的 A 产品能全部销售完。设该厂生产 A 产品的年利润为 L(万元) 。 (1)写出 L 关于 x 的函数解析式 L?x ? ; (2)当年产量为多少时,该厂生产 A 产品所获的利润最大?

20.已知数列{an }的前 n 项和为 Sn,满足 an ? 0, an Sn?1 ? an?1Sn ? 2n?1 an?1an , n ? N * . (1)求证: Sn ? 2n?1 an ; (2)设 bn ?
an ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an ?1

2013-2014 学年度高一第二学期期末模拟数学试题 1 答案
1. 7. 600 18 2. 676 3.

120 8
9.

?

1 (1 ? n ) 5. 4. 12 2
10.

? 2
12. 1

6.37 13.

8。 1 ?

3

2 5

1 3

11。210

3 4

14.?2n ? 10 15. ( 1)频率为:0.025× 10=0.25, 频数为:60× 0.25=15. (2)及格率为:0.75. 平均分为: 70.5 16.解: (1)设数列{an}的前 n 项和为 Sn , ∵S10 = 110,∴ 10a1 ?

10 ? 9 d ? 110 . 2
∵a1,a2,a4 成等比数列,

9 则 a1 ? d ? 11 .① 2

∴ a22 ? a1a4 ,即 (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) .∴ a1d ? d 2 . ∵d ? 0,∴a1 = d.② (2)∵ bn ? (n ? 1)an = 2n(n ? 1) , ∴
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). bn 2n(n ? 1) 2 n n ? 1 1? 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? 2? 2 2 3 1 1 ? ?( ? ) n n ?1 ? ?
? n . 2( n? 1)

? a ? 2, 由①,②解得 ? 1 ,∴ an ? 2n . ? d ? 2.

∴ Tn ?

17.解:因为 A,B,C 成等差数列,所以 2 B ? A ? C 。 又 A+B+C= ? ,所以 B ?

?
3



(1)解法一:因为 b ? 2 3 , c ? 2 ,所以

由正弦定理得

b c 1 3 ? ,即 b sin C ? c sin B ,即 2 3 sin C ? 2 ? ,得 sin C ? 。 sin B sin C 2 2

因为 b ? c ,所以 B ? C ,即 C 为锐角,所以 C ? 所以 S △ ABC ?

?
6

,从而 A ?

?
2



1 bc ? 2 3 。 2

2 2 2 解法二:由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ,

2 即 a ? 2a ? 8 ? 0 ,得 a ? 4 。

所以 S △ ABC ?

1 1 3 ac sin B ? ? 4 ? 2 ? ?2 3。 2 2 2

2 (2)因为 sin A , sin B , sin C 成等比数列,所以 sin B ? sin A ? sin C 。 由 正 弦 定 理 得

b 2 ? ac 。

由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac 。
2

[来源:Zxxk.Com]

所以 ac ? a 2 ? c 2 ? ac ,即 ?a ? c? ? 0 ,即 a ? c 。 又因为 B ?

:Zxxk.Com]

?
3

,所以△ABC 为等边三角形。

19. 解: (1)由题意知

? 1 2 ? x ? 40x ? 250, 0 ? x ? 80, ? ? 3 L?x ? ? 50x ? C ?x ? ? 250 ? ? 10000? ?1200? ? ?x ? ?, 80 ? x ? 200. ? x ? 80 ? ? ?
(2)①当 0 ? x ? 80 时, L? x ? ? ?

1 ?x ? 60 ?2 ? 950 ,所以 3

当 x ? 60 时, L?x?max ? L?60? ? 950; ②当 80 ? x ? 200 时,

10000? ? L?x ? ? 1120? ??x ? 80? ? ? 1120? 2 x ? 80? ? ?
当且仅当 x ? 80 ?

?x ? 80? ? 10000 ? 920。
x ? 80

10000 ,即 x ? 180 时, “=”成立。 x ? 80

因为 180? (80, 200] ,所以 L?x?max ? 920 ? 950。 答:当年产量为 60 万件时,该厂所获利润最大。

20.(1)证明:∵ an Sn?1 ? an?1Sn ? 2n?1 an?1an ,an ? 0, S S ∴ n ?1 ? n ? 2n ?1 . an ?1 an 则
S 2 S1 S S S S ? ? 1 , 3 ? 2 ? 2 ,?, n ? n ?1 ? 2n ? 2 (n≥2, n ? N * ) . a2 a1 a3 a2 an an ?1

以上各式相加,得 ∵

Sn S1 ? ?1? 2 ? an a1

? 2n ? 2 .

S1 S ? 1 ,∴ n ? 1 ? 2n ?1 ? 1 . a1 an

∴ Sn ? 2n?1 an (n≥2, n ? N * ) . ∵n = 1 时上式也成立,∴ Sn ? 2n?1 an ( n ? N * ) . (2)∵ Sn ? 2n?1 an , ∴ Sn?1 ? 2n an?1 . 两式相减,得 an?1 ? 2n an?1 ? 2n?1 an . 即 (2n ? 1)an?1 ? 2n?1 an . a 1 则 bn ? n ? 2 ? n ?1 . an ?1 2
Tn ? a1 a2 ? ? a2 a3 ? an 1 1 = 2n ? (1 ? ? 2 ? an ?1 2 2

?

1 2
n ?1

) = 2n ? 2 ?

1 2
n ?1




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