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2014“高考”假期作业数学参考答案


城北中学高 2012 级第四期“高考”假期作业(数学)参考答案

二、试题预热参考答案(时间:6 月 5 日)

三、试题小练参考答案(时间:6 月 6 日—10 日)
1.已知集合 M ? y y ? 2 , x ? 0 , N ? x y ? 1g (2 x ? x ) ,则 M
x 2

?

?

?

?

N 为(

).

1. M ? y y ? 2 , x ? 0 ? y y ? 1 , N ? x y ? 1g (2 x ? x ) ? x 0 ? x ? 2 ,则
x 2

?

? ?

?

?

? ?

?

M

N ? ? y y ? 1?

?x 0 ? x ? 2? ? ?x 1 ? x ? 2? .
).

2.设 i 是虚数单位,若复数 z 满足 zi ? 3 ? 2i ,则 z ? ( 2.C

zi ? 3 ? 2i ? z ?

3 ? 2i (3 ? 2i )i 3i ? 2 ? ? ? ?2 ? 3i . i i2 ?1
2

3.命题“对任意 x ? R ,均有 x -2 x+5 ? 0 ”的否定为( (A)对任意 x ? R ,均有 x -2 x+5 ? 0
2

).
2

(B)对任意 x ? R ,均有 x -2 x+5 ? 0 (D)存在 x ? R ,使得 x -2 x+5 ? 0 3.C
2 2

(C)存在 x ? R ,使得 x -2 x+5 ? 0
2 2

因为全称命题的否定为特

称命题,所以“对任意 x ? R ,均有 x -2 x+5 ? 0 ”的否定为“存在 x ? R ,使得 x -2 x+5 ? 0 ”. 4.甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样 法抽取一个容量为 90 人的样本,则应在这三校分别抽取学生( ). 4. D 因为三所学校共 3600 ? 5400 ? 1800 ? 10800 名学生,从中抽取一个容量为 90 人的样本,则抽取的比例为:

90 1 1 1 ? ? 30 名,在乙校抽取学生数为 5400 ? ? 45 名,在丙校抽取 ,所以在甲校抽取学生数为 3600 ? 10800 120 120 120
学生为 1800 ?

1 ? 15 名. 120

5.函数 y ? ln ?

? x ? sin x ? ? 的图象大致是( ? x ? sin x ?

)

5.A

因为 f ? ? x ? ? ln ?

? ? x ? sin(? x) ? ? ? x ? sin x ? ? x ? sin x ? ? ? ln ? ? ? ln ? ? ? f ? x? , ? ? x ? sin x ? ? x ? sin x ? ? ? x ? sin(? x) ?
第 1 页

城北中学高 2012 级高考假作业参考答案

所以函数 y ? f ? x ? 是偶函数,其图象关 y 于轴对称应排除 B、D; 又因为当 x ? ? 0,

? ?

??

x ? sin x x ? sin x ? 时, 0 ? sin x ? x , 0 ? x ? sin x ? 1 , ln x ? sin x ? 0 ,所以选 A. 2?

6.设函数 f ( x) ? 3sin(2x ? ? ) ? cos(2x ? ? ) (| ? |? (A) y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, (B) y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, (C) y ? f ( x) 的最小正周期为

?
2

) ,且其图象关于直线 x ? 0 对称,则(

).

? ?
2 2

) 上为增函数 ) 上为减函数

? ? ,且在 (0, ) 上为增函数 2 4 ? ? (D) y ? f ( x) 的最小正周期为 ,且在 (0, ) 上为减函数 2 4
6.B

? f ( x) ? 3sin(2x ? ? ) ? cos(2x ? ?) ? 2sin(2 x ? ? ? ) ,∵函数的图象关于直线 x ? 0 对称,∴函数 f ( x) 为 6 2? ? ?? , 偶函数,∴ ? ? ,∴ f ( x) ? 2cos 2 x ,∴ T ? 2 3 ? ? ∵ 0 ? x ? ,∴ 0 ? 2 x ? ? ,∴函数 f ( x ) 在 (0, ) 上为减函数. 2 2 4? 7. 已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为 的球体与棱柱的所有面均相切,那么这 3
个三棱柱的表面积是( (A) 6 3 7.C ) (C) 1 8 3 (D) 2 4 3 (B) 12 3

此三棱柱为正三棱柱,体积为

4? 的球体的半径为 1,由此可以得到三棱柱的高为 2 ,底面正三角形中心到三角 3

形各边的距离均为1,故可得到三角形的高是
2 3 . 3 2? ? 2 3 ? 3 ? 2 3? 2? 1 8 4

3 ,三角形边长是 2 3 ,所以三棱柱的表面积为

?

?

8.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列命题,其中正确的是( ① ? // ? ? l ? m (A)①③ ② ? ? ? ? l // m ③ l // m ? ? ? ? (D) ①②③

). ④ l ? m ? ? // ?

(B) ②③④

(C) ②④

8.A 因为 ? / / ? ,直线 l ? 平面 ? ,所以直线 l ? 平面 ? ,又因为直线 m ? 平面 ? ,所以 l ? m ,所以①式正确,所 以可以排除选项 B、C. 若 ? ? ? ,直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,则 l 与 m 可以有平行、异面、相交三种位置 关系,所以②不正确. 9.已知等比数列 ?an ? 的各项都是正数,且 a1 , (B) 3 ? 2 2

1 a ?a a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? ( 2 a7 ? a8
(D) 3 2 页

).

(A) 2

(C) 3 ? 2 2 第

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9.C

因 为 a1 ,

1 2 a3 , 2a2成 等 差 数 列 , 所 以 a3 ? a1? 2 a2 , 即 a1 q ? a ?2 1 2

a q 解 得 q ? 1? 2 , 1 ,

a9 ? a10 ? q2 ? 1 ? 2 a7 ? a8

?

?

2

? 3? 2 2 .
8 ?? ? ? ? 3? ? 若a ?b ? ? , 则 tan ? ? ? ? 的值为( , ?, 5 4? ? ?2 2 ?

10.已知向量 a ? ? sin ? , cos 2? ? , b ? ?1 ? 2sin ? , ?1? , ? ? ? (A)

).

1 7

(B)

2 7

(C) ?

1 7

(D) ?

2 7

10.C ∵ a ? b ? sin ? ? 2sin 2 ? ? cos 2? ? sin ? ? 2sin 2 ? ? (1 ? 2sin 2 ? ) ? sin ? ? 1 ? ? ,

8 5

3 ? ? 3? ? sin ? ? ? ,又因为 ? ? ? , 5 ?2 2

3 ? ? tan ? ?1 1 ? ? ?? . ? ,故 tan ? ? 4 ,所以 tan ? ? ? ? ? 4 ? 1 ? tan ? 7 ? ?

11. 如图,已知 P ( x, y ) 为△ ABC 内部(包括边界)的动点,若目标函数 z ? kx ? y 仅在点 B 处取得最大值,则实数 k 的取值范围是(
y
B ( 3 ,5 ) A( 5 , 4 )



C (1,1)

O

x

(A) ( ?2, ) 11.B

3 4

(B) ( ?2, ) (C) (?? ,?2) ? ( ,?? )

1 2

1 2

(D) (?? ,?2) ? ( ,?? )

3 4

由 z ? kx ? y 可得 y ? ?kx ? z , z 表示这条直线的纵截距,直线 y ? ?kx ? z 的纵截距越大, z 就越大,依题

5 ?1 5?4 1 ? 2 ,k AB ? ?? , 要使目标函数 z ? kx ? y 仅在点 B 处取得最大值, 则需直线 y ? ?kx ? z 的 3 ?1 3?5 2 1 1 1 斜率处在 (? , 2) 内,即 ? ? ? k ? 2 ,从而解得 ?2 ? k ? . 2 2 2 sin B 12.设△ ABC 的内角 A, B, C 的所对的边 a, b, c 成等比数列,则 的取值范围是( ) sin A
意有,k BC ? (A) (0, ??) (B) ? 0, ?

? ?

5 ?1 ? ? (C) 2 ? ?
2

? 5 ?1 5 ?1 ? ? ? 2 , 2 ? ? ? ?
sin B b c ? ? , sin A a b
2 2 2

(D) ? ?

? 5 ?1 ? , ?? ? ? ? 2 ?

12. C

根据 a, b, c 成等比数列,有 b ? ac ,则

根据三角形三边关系 a ? c ? b ? a ? c ,有 (a ? c) ? b ? (a ? c) , 所以 a ? c ? 2ac ? b ,即 a ? c ? 3b ? 0 ,消掉 a 得 (
2 2 2 2 2 2

b2 2 2 ) ? c ? 3b 2 ? 0 , c c2 2 c2 ) ? 3 ?1 ? 0 , b2 b2
3 页

化简得: c ? 3b c ? b ? 0 ,两边同时除以 b ,可得 (
4 2 2 4

4

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3 ? 5 c2 3 ? 5 5 ?1 c 5 ?1 解得 .则 . ? 2? ? ? 2 b 2 2 b 2
13. 如图,半径为 2 的半圆有一内接梯形 ABCD ,它的下底 AB 是⊙O 的直径, 上底 CD 的端点在圆周上.若双曲线以 A、 B 为焦点,且过 C、D 两点,则当梯 形 ABCD 的周长最大时,双曲线的实轴长为( ).

(A) 3 +1

(B)2 3 +2

(C) 3 -1

(D)2 3 -2

13.D 分别过点 C , D 作 AB 的垂线,垂足分别为 F , E ,连结 OD ,设 ?AOD ? ? , 则 OE ? OF ? 2cos ? , AD ? BC ? OA2 ? OD2 ? 2OA ? OD ? cos ? ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? cos ? = 2 2 ? 1 ? cos ? , 等腰梯形 ABCD 的周长 l ? 4 ? 4cos? ? 4 2 ? 1 ? cos ? ,

? 2? 令 1 ? cos? ? t , 则 cos ? ? 1 ? t ,所以 l ? 4 ? 4 ?1 ? t ? ? 4 2t ? ?4 ? t ? ? ? 10 , ? 2 ? ? ?
2

2

2

所以当 t ?

2 , 即 ? ? 60 时, lmax ? 10 , 2

此时, AD ? 2, BD ? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2cos120 ? 2 3 , 因为 A, B 为双曲线的焦点, D 点在双曲线上,所以实轴长 2a ? DB ? DA ? 2 3 ? 2 .

x2 y 2 14.若在区间 ?1,5? 和 ? 2,6? 内各取一个数,分别记为 a 和 b ,则方程 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 表示离心率小于 5 的双曲线的 a b
概率为( ).(A)

1 2

(B)

15 23

(C)

17 32

(D)

31 32

14.B

a 5, ?1剟 ? b 6, 并求出其面积 由题意知横轴为 a ,纵轴为 b ,建立直角坐标系,先作出满足题意的 a 、 b 的可行域 ?2剟 ?a ? b, ?



23 c b ,又由双曲线的离心率小于 5 得 1 ? ? 5 ,则 0 ? ? 2 ,即 b ? 2a ?a ? 0, b ? 0 ? ,再作出虚线 b ? 2a ,并 2 a a 15 ,所以所 2

求出其在可行域内的端点坐标分别为 A ?1, 2 ? 、 B ? 3,6 ? ,由此可求出可行域范围内满足 b ? 2a 的面积为

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4 页

15 15 求概率为 p ? 2 ? . 23 23 2
nx ( ? ? ? )? ( 15. 函 数 f ( x ) ? 2 s i?
AB · BD ? (
(A)8 ).

? 0 ,? ? ? ) 象如图所示,则 的图 2 2

?

?

b 6

B(3,6)

(B) -8 (C)

?2
8

? 8 (D) ?

?2
8

?8

2 O

A(1,2) 1 5

15. C

由图可知,

T ? ? ? ? ? ? ,所以 T ?? ,故 ? ? 2 ,又由 4 3 12 4

a

2?

?
3

? ? ? ? ,得 ? ?

?
3

,从而 A ? ?

? ? ? ?? ? ? 7? ? ,0? , B? , 2? , D? , ?2 ? ,所 ? 6 ? ? 12 ? ? 12 ?
2

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 以 AB ? ? , 2 ? , BD ? ? , ?4 ? , AB ? BD ? ? , 2 ? ? ? , ?4 ? ? ?8 . ?4 ? ?2 ? ?4 ? ?2 ? 8
16..△ ABC 中,角 A, B, C 成等差数列是 sin C ? ( 3 cos A ? sin A)cos B 成立的( (A)充分不必要条件 16.A (B)必要不充分条件(C)充要条件 ). (D)既不充分也不必要条件

若 A, B, C 成 等 差 数 列 , 则 A+C =2 B , ∴ B=60? . 若 sin C ? ( 3 cos A ? sin A)cos B , 则

s iA n?( B ? )

3A c o B s ?

ssi n sc? o c s si B n ? , 即B c oAs iA nc o B soA

3 cA os

B c? os

A sin , Bc o s

∴ cos A sin B ? 3 cos A cos B , ∴ cosA ? 0 或 tanB ? 3 , 即 A= 90 ? 或 B=60? . 故角 A, B, C 成等差数列是 sin C ? ( 3 cos A ? sin A)cos B 成立的充分不必要条件. 17.对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 (A) f (1) ? f (3) ? 2 f (2) 17.C ∵

2? x ? 0 ,则必有( f '( x)

). (D) f (1) ? f (3) ? 2 f (2)

(B) f (1) ? f (3) ? 2 f (2) (C) f (1) ? f (3) ? 2 f (2)

2? x ? 0 ,∴当 x ? 2 时, f '( x ) ? 0 ,则函数 f ( x) 在 ? ??, 2 ? 上单调递减,当 x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,则 , f ( x)

函数 f ( x ) 在 ? 2, ?? ? 上单调递增,即函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得最小值 f (2) ,∴ f (1) ? f (2) , f (3) ? f (2) ,则将两 式相加得 f (1) ? f (3) ? 2 f (2) .

18.已知点 A、B、C 三点不共线,且有 AB ? BC ? (A) BC ? CA ? AB (B) AB ? CA ? BC

BC ? CA 3

?

CA ? AB 3?2

,则有(

).

(C) AB ? BC ? CA

(D) CA ? AB ? BC

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5 页

18.B



A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 由

AB ? BC ?

BC ? CA 3

?

CA? AB 3?2

, 得

3 a c c o ? sB 3

a c b? o ? sC

? ( 2 ,又由正弦定理得, b3c ) c A o stan C ?

3 tan B, tan A ? ?(2 ? 3) tan B ,所以在 3

△ ABC 中,有 tan B ? tan C ? 0, tan A ? 0 ,所以 A ? B ? C ,所以 AB ? CA ? BC . 19.将 n 2 个正整数 1、 2 、 3 、?、 n 2 ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算某行或某列中的任意两

a ,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当 n ? 2 时,数表的所有可能的“特征 b 3 4 值”的最大值为( ).(A) (B) (C) 2 (D) 3 2 3 2 同行或同列时,这个数表的“特征值” 19.A 当 n ? 2 时,这 4 个数分别为 1、2、3、4,排成了两行两列的数表,当 1,
个数 a 、 b ( a ? b )的比值

4 4 3 4 3 3 同行或同列时,这个数表的特征值分别为 或 ;当 1, 4 同行或同列时,这个数表的“特征值”为 或 , ;当 1, 3 3 2 3 2 3 故这些可能的“特征值”的最大值为 . 2
为 20. 若 定 义 在 区 间 ? ?2 0 1 5 , 2 上 1的 5 函 数 f ( x) 满 足 : 对 于 任 意 的 x1 , x2 ???2015, 2015? , 都 有 ?0

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2014 ,且 x ? 0 时,有 f ( x) ? 2014 , f ( x) 的最大值、最小值分别为 M , N ,则 M ? N
的值为( ).(A)2014 (B)2015 (C)4028 (D)4030 20.C 令 x1 ? x2 ? 0 ,得 f (0) ? 2014 ,再令 x1 ? x2 ? 0 ,将 f (0) ? 2014 代入可得 f ( x) ? f (? x) ? 4028 . 设

x1 ? x2



x1 , x2 ???2015, 2015?





x2 ?

x1 0 ? ,

f( 2x ?

1

)x?

( f 2 ?) x

?(, f 所 ?)x 以2 0 1

f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? 2014 ? 2014 .又因为 f (? x1 ) ? 4028 ? f ( x1 ) ,所以可得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,所以函数 f ( x) 是递增的,
所以 f ( x)max ? f (2015), f ( x)min ? f (?2015) .又因为 f (2015) ? f (?2015) ? 4028 ,所以 M ? N 的值为 4028. 21. 曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点 ? 0,1? 处的切线方程为 21. 3x ? y ? 1 ? 0 .

y ? xex ? 2 x ? 1 , ? y? ? ? x ? 1? ex ? 2 , 当 x ? 0 时 , y? ? ? 0 ? 1? ? e0 ? 2? 3, 因 此 曲 线

y ? xe x ? 2 x ? 1 在点 ? 0,1? 处的切线方程为 y ? 1 ? 3x ,即 3x ? y ? 1 ? 0 .
22..设集合 P ? {x,1}, Q ? { y,1, 2}, x, y ?{1, 2,3, 4,5,6,7} ,且 P ? Q ,在直角坐标平面内,从所有满足这些条件的有 序实数对 ( x, y ) 所表示的点中任取一个,若该点落在圆 x ? y ? R ( R ? Z ) 内的概率为
2 2 2 2

2 2 ,则满足要求的 R 的最小 5

值为 22.. 30

. 当 x ? 2 时, y ? 3, 4,5, 6, 7 ,有 5 种取法;当 x ? 3 时, y ? 3 ,有 1 种取法;当 x ? 4 时, y ? 4 ,有 1 种

取法;当 x ? 5 时, y ? 5 ,有 1 种取法;当 x ? 6 时, y ? 6 ,有 1 种取法;当 x ? 7 时, y ? 7 ,有 1 种取法,所以

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共有 5 ? 1? 5 ? 10 个基本事件.因为该点落在圆 x ? y ? R ( R ? Z ) 内的概率为
2 2 2 2

2 ,所以满足“该点落在圆内”的基本事件共有 4 个.由小到大依次为 5
22 ? 32 ,32 ? 32 , 22 ? 42 , 22 ? 52 ? 29 ,又 R 2 ? Z ,所以满足要求的 R 2 的最小值为

30 .
23.如图,在直角梯形 ABCD 中, AB / / CD , AB ? 2 , AD ? DC ? 1 , P 是线段 BC 上一动点, Q 是线段 DC 上 一动点, DQ ? ? DC, CP ? (1 ? ? )CB ,则 AP ? AQ 的取值范围是 23. .

?0, 2?

建 立 平 面 直 角 坐 标 系 如 图 所 示 , 则

A? 0,0? , B ? 2,0? , C ?1,1? , D ?0,1? .
因为 DQ ? ? DC, CP ? (1 ? ? )CB ,所以 P ? 2 ? ?, ? ? , Q ? ?,1? , 所以 AP ? ? 2 ? ? , ? ? , AQ ? ? ? ,1? ,

3? 9 ? AP ? AQ ? ? ? ,1? ? ? 2 ? ?, ? ? ? ?? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? 1? ,所以 0 ? AP ? AQ ? 2 . 2? 4 ?
2
2 24.已知直线 x ? t 交抛物线 y ? 4 x 于 A, B 两点.若该抛物线上存在点 C ,使得 AC ? BC ,则 t 的取值范围为______.

2

24.

[4, ??)

由 题 意 知

A(t, 2 t ), B(t, ?2 t )

, 设

C(m, 2 m)(m ? 0)

, 由

AC ? BC



AC ? BC ? 0,?(m ? t )2 ? (2 m ? 2 t )(2 m ? 2 t ) ? m2 ? (4 ? 2t )m ? t 2 ? 4t ? 0 ,
解得 m ? t (舍)或 m ? t ? 4 ,由 m ? t ? 4 ? 0 得 t 的取值范围为 [4, ??) .
2

25.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,满足 b 的取值范围是 25. ( , ) ∵b
2

? c 2 ? a 2 ? bc , AB ? BC ? 0 , a ?

3 2 2 , 则b ? c 2

.

3 5 4 4

∵ AB ? BC ? 0 ,∴ | AB|| ? BC| ? cos(? ? B)>0 ,∴ cos B ? 0 ,∴ B 为钝角,

? c 2 ? a 2 ? bc ,∴ cos A ?

? b2 ? c2 ? a 2 bc 1 ? ? ,∴ A ? , 3 2bc 2bc 2

3 a b c ? ? ? 2 ? 1 ,∴ b ? sin B , c ? sin C ,∴ b2 ? c2 ? sin 2 B ? sin 2 C , ∵ sin A sin B sin C 3 2


?
2

?B?

2? ? 1 3 5 3 5 3 ? sin B ? 1 , 0 ? sin C ? ,∴ ? sin 2 B ? sin 2 C ? ,∴ ? b 2 ? c 2 ? . , 0 ? C ? ,∴ 2 3 6 4 4 4 4 2
第 7 页

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26.在数列 ?an ? 中, a1 ? 26.

1 , Sn 为数列 ?an ? 的前项和且 Sn ? n(2n ?1)an ,则 Sn ? ________. 3

n 2n ? 1

当 n ? 1 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n(2n ?1)an ? (n ?1)(2n ? 3)an?1 ,

即 (n ?1)(2n ? 1)an ? (n ?1)(2n ? 3)an?1 ,所以 an ? 所以 an ?

2n ? 3 2n ? 3 2n ? 5 an ?1 ? ? an ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

2n ? 3 an ?1 , 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 5 ? ? ? 2n ? 1 2n ? 1

3 1 ? ? a1 7 5

?

1 1 n ,所以 Sn ? n(2n ? 1)an ? n(2n ? 1) ? . ? (2n ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1

27.一个多面体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图如下, M 、 N 分别为 A1 B 、 B1C1 的中点.

a
A1 B1 C1

a

a
N

a

M
A B C

主视图 a

左视图

a

俯视图

下列结论中正确的是_________.

① 线 MN 与 A1C 相交;② MN ? BC ;③ MN //平面 ACC1 A 1 ;④三棱锥 N ? A 1 BC 的体积为 VN ? A1BC ? 27.②③④

1 3 a . 6

取 A1B1 的中点 D,连结 DM 、 DN .由于 M 、 N 分别是所在棱的中点,所以可得 DN / / AC 1 1 , DN ? 平

面A 1C1 ? 平面 A 1 AC1C , A 1 AC1C , 所以 DN / / 平面 A 1 AC1C . 同理可证 DM / / 平面 A 1 AC1C . 又 DM

DN ? D , 所

以平面 DMN / / 平面 A 1C 相交不成立,①错误;由三视图可得 A 1C1 ? 平面 BCC1B 1 AC1C ,所以直线 MN 与 A 1 .所以

DN ? 平面 BCC1B1 ,所以 DN ? BC ,又易知 DM ? BC ,所以 BC ? 平面 DMN ,所以 BC ? MN ,②正确; ③
正确;因为 VN ? A1BC ? VA1 ? NBC ?

1 1 2 1 ( a )a ? a 3 ,所以④正确.综上,②③④正确. 3 2 6
.

3 28.若不等式 mx ? ln x ? 1 对 ?x ? ? 0,1? 恒成立,则实数 m 的取值范围是

28. [

e2 , ??) 3

3 3 3 3 ? 1或 mx3 ? ln x ? 1 . 又 由 mx ? ln x ? 1 得 mx ? ln x ? 1 或 mx ? ln x ? ?1 , 即 m x ? l n x

? ln x ? 1 ? 或 3 所以 m ? ln x3? 1 或 m ? ln x3?1 .因为不等式 mx ? ln x ? 1 对 ?x ? ? 0,1? 恒成立, 所以 m ? ? x ? ? 0,1? , ? ? x3 ?max x x
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1 ? x3 ? (ln x ? 1) ? 3x 2 ?2 x 2 (1 ? 3 ln x) ? ? ln x ? 1 ln x ? 1 2 m?? ? ,则 f ?( x) ? x . ? .(1)令 f ( x) ? 3 6 6 3 x x ? x ? min x
令 f ?( x) ? 0 得 x ? e
? 2 3
?2 3

? 1 ,当 0 ? x ? e 3 时, f ?( x) ? 0 ;当 e
? 2 3

?

2

?

2 3

? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, e 3 ) 上是

?

2

增函数,在 (e ,1] 是减函数,所以 f ( x) max ? f (e ) ?

ln e

?

2 3

?1

(e )

?

2 3 3

2 ? ?1 e2 e2 ? 3?2 ? ,所以 m ? . 3 e 3

1 ? x3 ? (ln x ? 1) ? 3x 2 4 x 2 ? 3 x 2 ln x , 因 为 x ? 0, 1 , 所 以 ln x ? 0 , 所 以 ln x ? 1 x ? ? g ( x ) ? (2)令 g ( x) ? , 则 ? ? x6 x6 x3
g?( x) ? 0 , 所 以 g(x ) 在 ? 0,1? 上 是 增 函 数 . 易知 当 x ? 0 时 , g(x )? ?? , 故 g(x ) 在 ? 0,1? 上 无 最 小 值 , 所 以

e2 e2 m ? ln x3? 1在 ? 0,1? 上不能恒成立.综上所述, m ? ,即实数 m 的取值范围是 [ , ??) . 3 3 x
29.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,如果 ?x ? D ,存在唯一的 y ? D ,使 数 f ( x) 在 D 上的“均值”为 C .已知四个函数:
3 ① y ? x ( x ? R) ;② y ? ( ) ( x ? R ) ;③ y ? ln x( x ? (0, ??)) ;④ y ? 2sin x ? 1( x ? R).
x

f ( x) ? f ( y ) ? C ( C 为常数)成立。则称函 2

1 2

上述四个函数中,满足在定义域上的“均值”为1的函数是 29.①③ ①对于函数 y ? x
3 3

. (填上所有满足条件函数的序号)

,定义域为 R ,设 x ? R ,由

x3 ? y 3 ? 1 ,得 y3 ? 2 ? x3 ,所以 y ? 3 2 ? x3 ? R , 2

所以函数 y ? x 是定义域上“均值”为 1 的函数;

?1? ②对于函数 y ? ? ? ,定义域为 R ,设 x ? R ?2? ?1? 2 ? ? ? ? ?2 ?2?
?2 y

x

?1? ?1? y x ? ? ?? ? 2? ?2? ?1? ?1? ? ? 1, ,由 得? ? ? 2?? ? 2 ?2? ?2?

x

y

,当 x ? ?2 时



,不存在实数 y 的值,使 ?

?1? ? ? ?2 ,所以该函数不是定义域上“均值”为 1 的函数; ?2?
ln x ? ln y ?1 2
,得 ln y ? 2 ? ln x ,则 y ? e
2?ln x

③对于函数 y ? ln x

,定义域是 ? 0, ?? ? ,设

? ? 0, ??? ,所

以该函数是定义域上“均值”为 1 的函数; ④对于函数 y ? 2sin x ? 1 ,定义域为 R ,设 x ? R , 由

2sin x ? 1 ? 2sin y ? 1 ? 1 ,得 sin y ? ? sinx ,因为 2

? sin x ? [?1,1] ,所以存在实数 y ,使得 sin y ? ? sin x 成立,但这时 y 的取值不唯一,所以函数 y ? 2sin x ? 1 不是
定义域上“均值”为 1 的函数. 30. 已 知 点 O(0, 0), A0 (0, 1), An (6, 7), 点 A1 , A2 ,

, An?1 (n ? N , n ? 2) 是 线 段 A0 An 的 n 等 分 点 , 则

OA0 ? OA1 ?

? OAn ?1 ? OAn =

. 第 9 页

城北中学高 2012 级高考假作业参考答案

30. 5(n + 1)

由 题 设 , 知 A1 ?

6? ?6 ,1 ? ? n? ?n

, A2 ?

2? 6 ? ? 2? 6 ,1 ? ? n ? ? n



3? 6 ? ? 3? 6 A3 ? ,1 ? ? n ? ? n

, ? ,

k ?6 ? ? k ?6 Ak ? ,1 ? ? n ? ? n
所以 OA1 ? ?

,? , An?1 ?

? ? n ?1? ? 6 ? n ?1? ? 6 ? , ,1 ? ? n n ? ?
, ? ,

6? 2?6 ? 3? 6 ? k ?6 ? ?6 ? 2? 6 ? 3? 6 ? k ?6 ,1 ? ? ,OA2 ? ? ,1 ? ,1 ? OAk ? ? ,1 ? ?, ? , OA3 ? ? ? , ? n? n ? n ? n ? ?n ? n ? n ? n
, OAn ? ? 6,7 ? ,

? ? n ? 1? ? 6 ? n ? 1? ? 6 ? OAn?1 ? ? ,1 ? ? n n ? ?

OA0 ? OA1 ?
= ? 6?

? 1? 6 ? OAn?1 ? OAn ? ? 0 ? ? n ?

?

6 ? n ? 1? 6n 1? 6 ? , n ? 1? 0 ? ? n n n

?

6 ? n ? 1? 6n ? ? ? n n ?

? ?

1? 2 ? ? n 1? 2 ? ? n ? , n ?1? 6 ? ? = ?3? n ?1? ,4 ? n ?1?? , n n ?
? OAn?1 ? OAn ? ? ?3? n ? 1?? ? ?? ?4 ? n ? 1?? ? ? 5 ? n ? 1?
2 2

OA0 ? OA1 ?

31.已知向量 a ?

?

3 cos x, cos x , 向量 b ? ?sin x,cos x ? , 记 f ? x ? ? a ? b.

?

(1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)若 x ? ? ?

? ? ?? , ,求函数 f ? x ? 的值域. ? 4 4? ?

31.解: (1) f ? x ? ? a ? b ? 由?

3 3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? . 2 2 2 6 2
? 2 k ? , k ? Z , 得 k? ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z ,

故函数 f ( x) 的单调递增区间为 [? (2)由 x ? ? ?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z ) .

? ? 2? 3 ? 1? 3 3 ? ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,所以 f ( x) 的值域为 [ , ]. , ? ,得 2 x ? ? [? , ] ,所以 ? 6 3 3 2 6 2 2 ? 4 4?
5 , AC = 3, sin C = 2 sin A .(1)求 AB 的值;(2)求 sin(2 A BC sin A 1 ? ? AB sin C 2 π ) 的值. 4

32.在△ ABC 中, BC =

解: (1)因为 sin C = 2 sin A ,所以 (2)由余弦定理得 cos A ?

所以 AB ? 2BC ? 2 5 .

AC 2 ? AB 2 - BC 2 2 5 5 2 = ,所以 sin A ? 1 - cos A ? , 5 2 AC ? AB 5
4 3 π π π 2 2 , cos 2 A ? 2 cos A - 1 ? ,所以 sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? . 5 5 4 4 4 10

所以 sin 2 A = 2 sin A cos A =

33.已知各项均不为零的数列 ?an ? ,其前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2 ? an .在等差数列 ?bn ? 中, b1 ? 4 ,且 b2 ? 1 是 b1 ? 1 与 城北中学高 2012 级高考假作业参考答案 第 10 页

b4 ? 1的等比中项.(1)求 an 和 bn ,(2)记 cn ?

bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an
①,

33.解:(1)对于数列 {an } ,由题设可知 s n ? 2 ? an 当 n ? 2 时, S n?1 ? 2 ? an?1

②,①-②得 Sn ? Sn?1 ? ?an ? an?1 ?n ? 2? ,

即 an ? ?an ? an?1 ,? 2an ? an?1 ?n ? 2? ,? an ? 0,?

an 1 ? ?n ? 2? , an?1 2
n ?1

1 ?1? 又 a1 ? s1 ? 2 ? a1 ,? a1 ? 1,?{an } 是以 1 为首项,以 为公比的等比数列,? a n ? ? ? 2 ?2?
设等差数列 {bn } 的公差为 d ,由题设可知 ?b2 ? 1? ? ?b1 ? 1??b4 ? 1? ,
2

.

又? b1 ? 4, b2 ? 4 ? d , b4 ? 4 ? 3d ,? ?3 ? d ? ? 3?3 ? 3d ?,解得 d ? 0 或 d ? 3 .
2

当 d ? 0 时, bn ? 4 ;当 d ? 3 时, bn ? 3n ? 1. (2)当 bn ? 4 时, cn ?

bn 4?1 ? 2 n ? ? 2 n?2 ? 4 ; ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,? Tn ? 1? 2 an

当 bn ? 3n ? 1时, Cn ?

bn ? ?3n ? 1? ? 2 n?1 , an
③, ④,

此时 Tn ? 4 ? 20 ? 7 ? 21 ? 10 ? 22 ? ? ? ?3n ? 1? ? 2n?1

2Tn ? 4 ? 21 ? 7 ? 22 ? ? ? ?3n ? 2? ? 2n?1 ? ?3n ? 1? ? 2n
③-④得 ? Tn ? 4 ? 3 21 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? ?3n ? 1? ? 2 n

?

?

? 4?3

2 ?1 ? 2n?1 ? 1? 2

? ? 3n ? 1? ? 2n ? 4 ? 3 ? 2n ? 6 ? ?3n ?1? ? 2n ? ? 2 ? 3n? ? 2n ? 2 ,?Tn ? 2 ? ?3n ? 2?? 2n .

综上,当 bn ? 4 时, Tn ? 2 n?2 ? 4 ;当 bn ? 3n ? 1时, Tn ? 2 ? ?3n ? 2? ? 2 n .

10? ,分别 34.交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为 T .其范围为 ?0,
有五个级别:T ? ?0,2? 畅通; T ? ?2,4? 基本畅通; T ? ?4,6? 轻度拥堵; T ? ?6,8? 中度拥堵;T ? ?8,10? 严重拥堵.在晚高 峰时段( T ? 2 ),从某市交通指挥中心选取了市区 20 个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所 示. (1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个?

?6,8?, ?8,10? 的路段中共抽取 6 个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数; , (2)用分层抽样的方法从交通指数在 ?4,6?
(3)从(2)中抽出的 6 个路段中任取 2 个,求至少一个路段为轻度拥堵的概率. 34. 解 : (1) 由 直 方 图 得 : 这 2 0 个 路 段 中 , 轻 度 拥 堵 的 路 段 有 ?0.1 ? 0.2??1? 20 ? 6 个 , 中 度 拥 堵 的 路 段 有 城北中学高 2012 级高考假作业参考答案 第 11 页

?0.25 ? 0.2? ?1? 20 ? 9 个,严重拥堵的路段有 ?0.1 ? 0.05? ?1? 20 ? 3 个.
(2)由(1)知:拥堵路段共有 6 ? 9 ? 3 ? 18 个,按分层抽样,从 18 个路段选出6个,依次抽取的三个级别路段的个数分 别为:

6 6 6 ? 6 ? 2 , ? 9 ? 3 , ? 3 ? 1 ,即从交通指数在 ?4,6?, ?6,8?, ?8,10? 的路段中分别抽取的个数为 2,3,1 . 18 18 18

(3)记选出的2个轻度拥堵路段为 A1 , A2 ,选出的3个中度拥堵路段为 B1 , B2 , B3 ,选出的1个严重拥堵路段为 C1 ,则 从6个路段中选取2个路段的所有可能情况如下:

? A1, A2 ? , ? A1, B1 ? , ? A1, B2 ? , ? A1, B3 ? , ? A1, C1 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? A2 , C1 ? , ? B1, B2 ?, ? B1, B3 ?, ? B1, C1 ?,
? B2 , B3 ? , ? B2 , C1 ? , ? B3 , C1 ? ,共15种情况.其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有:
?A1 , A2 ?, ?A1 , B1 ?, ?A1 , B2 ?, ?A1 , B3 ?, ?A1 , C1 ?, ?A2 , B1 ?, ?A2 , B2 ?, ?A2 , B3 ?, ?A2 , C1 ? ,共9种,? 所选2个路段中至少一个轻
度拥堵的概率是

9 3 ? . 15 5

35.在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, AC 与 BD 交于点 O, EC ? 底面

ABCD , F 为 BE 的中点.(1)求证: DE / / 平面 ACF ;
(2)若 AB ? 2CE ,在线段 EO 上是否存在点 G ,使 CG ? 平面 BDE ?若存在,求出

EG 的值;若不存在,请说明理由. EO 35. 解: (1)证明如下:连接 OF .由四边形 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 的中点. 又 F 为 BE 的中点,所以 OF / / DE .又 OF ? 平面 ACF , DE ? 平面 ACF ,所以 DE / / 平面 ACF . (2)解法一:若 CG ? 平面 BDE ,则必有 CG ? OE .于是作 CG ? OE 于点 G , 因为 EC ? 底面 ABCD ,所以 BD ? EC ,又底面 ABCD 是正方形, 所以 BD ? AC ,又 EC AC ? C ,所以 BD ? 平面 ACE , 而 CG ? 平面 ACE ,所以 CG ? BD .又 OE BD ? O ,所以 CG ? 平面 BDE ,
又 AB ? 2CE ,所以 CO ?

EG 1 2 ? . AB ? CE ,所以 G 为 EO 的中点,所以 EO 2 2

2 AB ? CE ,所以 CG ? EO . 2 又由 EC ? 底面 ABCD , BD ? 底面 ABCD ,所以 EC ? BD .由四边形 ABCD 是正方形可知, AC ? BD . 又 AC EC ? C ,所以 BD ? 平面 ACE ,而 BD ? 平面 BDE , 所以平面 ACE ? 平面 BDE ,且平面 ACE 平面 BDE ? EO . 因为 CG ? EO , CG ? 平面 ACE ,所以 CG ? 平面 BDE . EG 1 故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ? 平面 BDE .由 G 为 EO 的中点,得 ? . EO 2
解法二:取 EO 的中点 G ,连接 CG ,在四棱锥 E ? ABCD 中, AB ? 2CE , CO ? 37.已知 A, B 是抛物线 W : y ? x2 上的两个点, 点 A 的坐标为 (1,1) , 直线 AB 的斜率为 k (k ? 0) .设抛物线 W 的焦点在 直线 AB 的下方. (1)求 k 的取值范围; (2)设 C 为 W 上的一点,且 AB ? AC ,过 B, C 两点分别作 W 的切线,记两切线的交点为 D . 判断四边形 ABDC 是否为梯形,并说明理由. 解: (1)抛物线 y ? x2 的焦点为 (0, ) .由题意,得直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , 城北中学高 2012 级高考假作业参考答案 第 12 页

1 4

令 x ? 0, 得 y ? 1? k , 即直线 AB 与 y 轴相交于点 (0,1 ? k ) .因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方, 所以 1 ? k ?

1 , 4

解得 k ?

3 3 ,因为 k ? 0 ,所以 0 ? k ? . 4 4

(2)结论:四边形 ABDC 不可能为梯形.理由如下:
2 假设四边形 ABDC 为梯形.依题意,设 B( x1 , x12 ) , C ( x2 , x2 ) , D( x3 , y3 ) ,

联立方程 ?

? y ? 1 ? k ( x ? 1), ?y ? x ,
2

消去 y,得 x ? kx ? k ? 1 ? 0 ,由韦达定理,得 1 ? x1 ? k ,所以 x1 ? k ? 1 .
2

同理, 得 x2 ? ?

1 ? 1 .对函数 y ? x2 求导, 得 y? ? 2 x , 所以抛物线 y ? x2 在点 B 处的切线 BD 的斜率为 2 x1 ? 2k ? 2 , k 2 ? 2 .由四边形 ABDC 为梯形,得 AB //CD 或 AC //BD . k

抛物线 y ? x2 在点 C 处的切线 CD 的斜率为 2 x2 ? ?

若 AB //CD ,则 k ? ?

2 ? 2 ,即 k 2 ? 2k ? 2 ? 0 ,因为方程 k 2 ? 2k ? 2 ? 0 无解,所以 AB 与 CD 不平行. k

若 AC //BD ,则 ?

1 ? 2k ? 2 ,即 2k 2 ? 2 k ?1 ?0 ,因为方程 2k 2 ? 2k ? 1 ? 0 无解,所以 AC 与 BD 不平行,所以四 k

边形 ABDC 不是梯形,这与假设矛盾.因此四边形 ABDC 不可能为梯形. 38. 数 列 {an } 的 首 项 为 a ( a ? 0 ) , 前 n 项 和 为 S n , 且 S n?1 ? t ? S n ? a ( t ? 0 ) . 设 bn ? S n ? 1 ,
* cn ? k ? b1 ? b2 ? ? ? bn ( k ? R ? ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)当 t ? 1 时,若对任意 n ? N , | bn |?| b3 | 恒

成立,求 a 的取值范围; (3)当 t ? 1 时,试求三个正数 a , t , k 的一组值,使得 {cn } 为等比数列,且 a , t , k 成等差数列. 38.解: (1)因为 S n?1 ? t ? S n ? a ①,当 n ? 2 时, S n ? t ? S n?1 ? a ②, ①?②得, an?1 ? t ? an ( n ? 2 ) , 又由 S 2 ? t ? S1 ? a ,得 a2 ? t ? a , 所以 {an } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列,所以 an ? a ? t n?1 ( n ? N ) .
*

(2)当 t ? 1 时, a n ? a , S n ? na , bn ? na ? 1, 由 | bn |?| b3 | ,得 | na ? 1 |?| 3a ? 1 | , (n ? 3)a[(n ? 3)a ? 2] ? 0 (*) ,当 a ? 0 时,若 n ? 3 ,则(*)式不成立. 当 a ? 0 时, (*)式等价于 (n ? 3)[(n ? 3)a ? 2] ? 0 ,当 n ? 3 时, (*)式成立; 当 n ? 4 时,有 (n ? 3)a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?

2 2 恒成立,所以 a ? ? ; 7 n?3

城北中学高 2012 级高考假作业参考答案



13 页

当 n ? 1 时,有 4a ? 2 ? 0 , a ? ?

1 2 ;当 n ? 2 时,有 5a ? 2 ? 0 , a ? ? . 2 5

综上, a 的取值范围是 ??

2? ? 2 ,? ?. 7? ? 5

(3)当 t ? 1 时, S n ?

a (1 ? t n ) a(1 ? t n ) a at n , bn ? , ?1 ? 1? ? 1? t 1? t 1? t 1? t

an at(1 ? t n ) at n?1 1 ? a ? t k (1 ? t ) 2 ? at , cn ? k ? n ? ? ? ? ?n? 1? t 1? t (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2
?1 ? a ? t ?0, ?a ? t ? 1 , ? ? ? 1? t 所以当 ? 时,数列 {cn } 是等比数列,所以 ? t 2 k? , ? ? k (1 ? t ) ? at ? 0 t ?1 ? 2 ? ? (1 ? t )
又因为 a , t , k 成等差数列,所以 2t ? a ? k ,即 2t ? t ? 1 ? 解得 t ?

t , t ?1

5 ?1 . 从而, a ? 2

5 ?1 5 ?3 ,k ? . 2 2

所以,当 a ?

5 ?1 5 ?1 5 ?3 ,t ? ,k ? 时,数列 {cn } 为等比数列,且 a , t , k 成等差数列. 2 2 2
1 x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 且经过点 M ( ? 3, ) , 圆 C2 2 2 a b 2

39.已知椭圆 C1 :

的直径为 C1 的长轴.如图, C 是椭圆短轴的一个端点,动直线 AB 过点 C 且与圆 C2 交 于 A, B 两点, CD 垂直于 AB 交椭圆于点 D . (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ ABD 面积的最大值,并求此时直线 AB 的方程.

c 3 a 2 ? b2 3 2 2 解: (1)由已知得到 ? ,所以 ,即 a ? 4b . ? a 2 a 2
又椭圆经过点 M ( ? 3, ) ,所以

1 2

3 1 x2 2 2 ? ? 1 ? y 2 ? 1. , 解得 , 所以椭圆的方程是 b ? 1, ? a ? 4 4b 2 4b 2 4

(2)因为直线 AB ? CD 且两直线都过点 C (0,1) , ①当 AB 斜率存在且不为 0 时,设直线 AB : y ? kx ? 1 ,直线 CD : y ? ?

1 x ? 1 ,即 x ? ky ? k ? 0 ,所以圆心 (0, 0) 到直 k

线 AB 的距离为 d ?

1 k 2 ?1

,所以 AB ? 2 4 ? d ?
2

2 4k 2 ? 3

? x ? ky ? k ? 0, ? 2 2 ,由 ? x 2 得 (4 ? k ) x ? 8kx ? 0 , 2 2 ? y ? 1, k ?1 ? ? 4

所以 xC ? xD ?

8k 1 1 64k 2 8 k 2 ?1 2 , , CD ? 1 ? ( x ? x ) ? 4 x x ? (1 ? ) ? C D C D k2 ? 4 k2 k 2 (k 2 ? 4)2 k2 ? 4
第 14 页

城北中学高 2012 级高考假作业参考答案

所以 S

ABD

?

1 1 2 4k 2 ? 3 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 AB CD ? ? ? 2 ? . 2 2 k ?4 k2 ? 4 k 2 ?1
2

令 t ? 4k 2 ? 3 ,则 k ?

t2 ? 3 2 ,t ? 3, S 4

ABD

?

8t 32t 32 16 13 ? 2 ? ? . t ?3 t ? 13 t ? 13 13 ?4 t 4
2

当t ?

13 10 , t ? 13 ,即 4k 2 ? 3 ? 13, k ? ? 时,等号成立, t 2

故△ ABD 面积的最大值为

16 13 10 ?1. ,此时直线 AB 的方程为 y ? ? 13 2

②当 AB 的斜率为 0,即 AB / / x 时, S

ABD

?2 3?

16 13 ;当 AB 的斜率不存在时,不符合题意; 13

综上, △ ABD 面积的最大值为

16 13 10 ?1. ,此时直线 AB 的方程为 y ? ? 13 2

40.设函数 f ( x) ? ax2 ? ln x . (1) 求 f ( x) 的单调区间; (2) 设函数 g ( x) ? (2a ? 1) x , 若当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围.解: (1)因为 f ( x) ? ax2 ? ln x ,其中 x ? 0 . 所以 f ?( x) ? 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

2ax 2 ? 1 , x

?

1 1 1 ) 上是增函数,在 ( ? , ??) 上是减函数. ,所以 f ( x) 在 (0, ? 2a 2a 2a

(2)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 h( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? ln x , 根据题意,当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 恒成立. h '( x) ? 2ax ? (2a ? 1) ?

1 ( x ? 1)(2ax ? 1) ? . x x

①若 0 ? a ? 合题意 ②若 a ≥

1 1 1 1 ,当 x ? ( , ?? ) 时, h '( x) ? 0 恒成立,所以 h( x) 在 ( , ?? ) 上是增函数,且 h( x) ? (h( ), ??) ,不 2 2a 2a 2a

1 ,当 x ? (1, ??) 时, h '( x) ? 0 恒成立,所以 h( x) 在 (1, ??) 上是增函数,且 h( x) ? (h(1), ??) ,不符合题意; 2

③若 a ? 0 ,当 x ? (1, ??) 时,恒有 h '( x) ? 0 ,故 h( x) 在 (1, ??) 上是减函数, 于是“ h( x) ? 0 对任意 x ? (1, ??) 都成立”的充要条件是 h(1) ? 0 , 即 a ? (2a ? 1) ? 0 ,解得 a ? ?1 ,故 ?1 ? a ? 0 .综上所述, a 的取值范围是 ? ?1,0? .

城北中学高 2012 级高考假作业参考答案



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四、试题综合参考答案(时间:6 月 11——)
一、选择题:每小题5 分,满分50 分。 1.C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.A 7.D 8.C 9.C 10.C

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高三数学假期作业一及答案
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2014届高三数学实验班假期作业(二)
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2014届振阳公学高三数学(文)假期作业
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上海市2014届高三寒假作业 数学2Word版含答案
上海市2014届高三寒假作业 数学2Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区...高三数学寒假作业满分 150 分,考试时间 120 分钟 姓名___ 班级___学号___ ...
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