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等差与等比数列的综合问题


等差与等比数列的综合问题 高三备课组

(一)等差数列的补充性质

?1?若?an?? , bn ?均为等差数列, 且公差分别为d1, d2 , 则数列?pan ?, ?an ? q?? , an ? bn ?也为等差数列, 且公差分别为pd1, d1 ? q, d1 ? d2.
(2)若a1>0,d<0,Sn有最大值,可由不等式组
? an ? 0 ? ?an?1 ? 0

来确定n。

若a1 < 0,d >0 ,Sn有最小值,可由不等式组
? an ? 0 ? ?an ?1 ? 0

来确定n。

(二)等比数列的补充性质
若?an ?, ? bn ? 均为等比数列, 且公差分别为q1, q2 , 则 ? 1 ? ? an ? 数列?pan ?, ? ?, ?an ? bn ?, ? ?, an 也为等比数列, 且 ? an ? ? bn ? 1 p 公差分别为pq, , pq, , q . q q

例1、(1)设等差数列的前 n项之和为Sn,已知a3=12, S12>0,S13<0,求公差d的取值范围。

(2)指出S1,S2,S3,…Sn中哪一个值最大,并说明 理由。

例2 已知{an}是等比数列,a1 =2,a3 =18; {bn}是等差数列,b1 =2,b1+ b2+ b3+ b4= a1+ a2+ a3>20.
(1) 求数列{bn}的通项公式;

(2) 求数列{bn}的前n项和Sn的公式;
设Pn= b1+ b4+ b7+…+ b3n-2,Qn= b10+ b12+ b14+…+ b2n+8,其中n=1,2,…,试比较Pn 与Qn的大小,并证明你的结论。

例3、已知函数 f ?x ? ?

1 x ?4
2

?x ? ?2?

?1?求f ?1 ?x?

1 ?1 ? ?2?若a1 ? 1, ? ? f ?an ? n ? N , 求an an ?1

?

?

?3?设bn ? a2n?1 ? a2n?2 ? ?? a22n?1是否存在最小
k 的正整数k,使对任意 n ? N 有 bn ? 25
?

成立?

若存在,求出k的值,若不存在,说明理由?

例 4 在等比数列 {an} ( n∈N* )中,,公比 q>0 。设 bn=logan ,且 b1+ b3+ b5=6 , b1+b3+ b5=0。 (1) 求证:数列{bn}是等差数列; (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an; 试比较an与Sn的大小。

四、作业 优化设计


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