当前位置:首页 >> 高三数学 >>

高三第一轮复习-导数



一、导数的概念及运算: 1、函数 f ( x) 从 x1 到 x2 的平均变化率: 函数 f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率:



函数 f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率,即 f ( x) 在 x0 处的导数,记作 f ??x0 ? ? 2、导数的几何意义: f ??x0 ? 即 y ? f (

x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的 导数的物理意义: s ' ( x0 ) 即 s ? f ( x) 在点 ( x0 , s( x0 )) 处的 3、导数运算:

1 导数公式表:
(1) C ?
'

( C 为常数)
'

(2) ( x n ) ' ? (4) (cosx) ?
'

(3) (sin x) ? (5) (e ) ?
x '

(6) (ln x) ?
'

(7) ( ) ?
'

1 x

(8) (kx ? b) ?
'

2 导数运算法则:
(1) [ f ( x) ? g ( x)] ?
'

(2) [ f ( x) ? g ( x)] ?
'

(3) [Cf ( x)] ?
'

(4) [

f ( x) ' ] ? g ( x)

3 复合函数的导数:
y ? f [ g ( x)] 能拆成两个分解式:
第 1 页 共 20 页





二、导数应用: 1、求切线: (1)切点已知 ( x0 , y0 ) , ?

?k ? f ' ( x 0 ) ? y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

? ? (2)切点未知,则设切点为 ( x0 , y0 ) , ? ? ?
2、判断函数单调性: (1)求定义域; (2) f ' ( x) ? 0 ? f ( x) ? , f ' ( x) ? 0 ? f ( x) ? (3)写出单调区间。 注: (1) f ( x) 是增函数 ? (2) f ( x) 是减函数 ?

3、求函数极值: (1)

(2)
' '

(3)

(4)

注: (1)极值点一定满足 f ( x) ? 0 ,但 f ( x) ? 0 的根不一定是极值点; (2)极值与最值的区别 (3)极值与极值点的区别 4、求函数最值: x ? [a, b] (1)求定义域; (2)求导; (3)令 f ( x) ? 0 ,求根;
'

(4)列表; (5)极值与 f (a), f (b) 比大小

第 2 页 共 20 页

5、原函数是三次函数,导函数是二次函数,二者之间的关系: 原函数 导函数

a

,

?

?

?, ?, ?
例1、 导数几何意义的应用:
2 (1)某物体作 s ? 2(1 ? t ) 的直线运动,则 t ? 0.8 时的瞬时速度是

(2)函数 y ?

x 在点 (1,1) 处的切线方程是 2x ? 1

3 (3)若曲线 y ? x ? x ? 2 上的点 P0 处的切线平行于 y ? 4 x ? 1 ,则 P0 的坐标为

(4)已知 f ( x) 图象是折线段 ABC ,其 A, B, C 的坐标分别是 A(0,4), B(2,0), C (6,4) , 则 f [ f (0)] ?
' ,函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数 f (1) ?

例 2、求 f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线及过点 ( x0 , y0 ) 的切线: (1)求曲线 y ? 2 x ? 1 在 (1,3) 处的切线方程
2

第 3 页 共 20 页

(2)求过点 (3,5) 且与曲线 y ? x 2 相切的直线方程。

例 3、求函数解析式: (1) 已知 f ( x) ? x 3 ? ax ? b 得图象是曲线 C , 直线 y ? kx ? 1 与曲线 C 相切与点 (1,3) , 求 f ( x) 解析式。

(2)已知 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c , g ( x) ? 12x ? 4 ,若 f (?1) ? 0 ,且 f ( x) 图象在 点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? g ( x) ,求 a, b, c 的值。

例 4、原函数与导函数图象:
3 2 (1)函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 图象如图,且 f ( x) 在 x ? x0 与 x ? 1 处取得极值,给出

下列判断:① c ? 0 正确的判断是

' ② f (1) ? f (?1) ? 0 ③函数 y ? f ( x) 在区间 (0,??) 上是增函数

1

x0

?1

第 4 页 共 20 页

(2)下图是导函数 y ? f ' ( x) 的图象,则(



3 1 2 4

A、 f (1) 为 f ( x) 最大值 C、 f ( 2) 为 f ( x) 极大值

B、在 (1,3) 上 f ( x) 递减 D、 f ( 4) 是 f ( x) 极大值

(3) 下面四个图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数图象, 其中一定不正确的是 ( )





③ A、①② B、③④ C、①③
第 5 页 共 20 页



D、①④

(4)函数 y ? xf ' ( x) 图象如右图,下面四个图象 中 y ? f ( x) 图象大致是( )

?1

1

?2

2

?1

1

2

A

B

?2 ?1
C 1

?2
2

D

(5)已知二次函数 y ? f ( x) 图象过原点, 且它的导函数 y ? f ( x) 图象如右图,
'

则 y ? f ( x) 图象顶点在第

象限

第 6 页 共 20 页

(6)函数 y ? f ( x) 定义域为 ( a, b) ,导函数 y ? f ' ( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函 数 f ( x) 在 ( a, b) 内极小值点有 个

b

a

( 7 ) 若 f ( x) , g ( x) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , x ? 0 时 ,

f ' ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ' ( x) ? 0 且 g (?3) ? 0 ,则不等式 f ( x) ? g ( x) ? 0 的解集是
例 5、导数公式应用,求下列函数的导数: (1)y ? ( x ? 1)(x ? 1)
2

(2)y ? sin 2 x

(3)y ?

x ?1 x ?1

(4)y ? e ln x
x

例 6、求单调区间: (1) y ? 3x ? 2 ln x
2

(2) y ? ? x ? 3x
3

(3) y ? ( x ? 1)e

x

(4) y ?

x x?2

(5) y ? ax ? (a ? 1) ln(x ? 1)

(6) y ? x ? a ln x ?

1? a x

第 7 页 共 20 页

例 7、求极值: (1)已知 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x ? 4 ,①求极值;②若 f ( x) ? k 有 3 个解,求 k 的取值范围。 3

(2)求 y ?

2x ? 2 的极值 x ?1
2

(3)求 f ( x) ? x ? 1 ? 2a ln x 的极值
2

第 8 页 共 20 页

例 8、求与最值有关的问题: 1、求 f ( x) ?

1 2 x ? ln x 的最小值 2

2、求 f ( x) ? x ln x 最小值

3、 若 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? c ,对 x ? [?1,2] , f ( x) ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围。 2

4、若 f ( x) ? x ? 3x ,求证: ?x1 , x2 ? [?1,1] , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 恒成立。
3

第 9 页 共 20 页

5、已知: f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1,若 xf ' ( x) ? x 2 ? ax ? 1,求 a 的取值范围。

6、已知: f ( x ) ? ln x ?

a , x

(1)若 a ? 2 ,求 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线方程; (2) ?x ? 1 ,都有 f ( x) ? ? x ? 2 ,求 a 的取值范围。

第 10 页 共 20 页

7、已知: a ? R , f ( x) ? 2 x 3 ? (6 ? 3a) x 2 ? 12ax ? 2 ,求 f ( x) 在 [?2,2] 上的最小值。

8、已知: f ( x) ? ( x ? k ) e
2

x k

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2) ?x ? 0 ,都有 f ( x) ?

1 ,求 k 的取值范围。 e

第 11 页 共 20 页

例 9、求字母取值范围: 1、已知: f ( x) ? x 3 ? ax ? 1 (1)若 f ( x) 在 R 上单调递增,求 a 的取值范围; (2)若 f ( x) 在 (?1,1) 上单调递减,求 a 的取值范围。

2、已知: f ( x) ? ln x ?

a( x ? 1) 在 (0,??) 单调递增,求 a 的取值范围。 x ?1

第 12 页 共 20 页

3、已知: f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x 2

( a ? R)

(1)求 f ( x) 单调区间; (2)若 f ( x) 在区间 (1,4) 上为减函数,求 a 的取值范围; (3)若 f ( x) 在区间 (1,4) 上不单调,求 a 的取值范围; (4)若 f ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围。

4、已知: f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间 (1,4) 内为减函数,在区间 (6,??) 内 3 2

为增函数,求 a 的取值范围。

第 13 页 共 20 页

三、导数的综合应用: 例 1、已知:函数 f ( x) ? x ln x 在区间 [1,??] 上的图象恒在 y ? ax ? 1 上方,求实数 a 的 取值范围。

第 14 页 共 20 页

例 2、已知:函数 f ( x) ? ax ln x (a ? 0) (1)求 f ( x) 单调区间; (2)当 a ? 0 时,若对于任意 x ? (0,??) ,都有 f ( x) ? 3ax ? 1 成立,求 a 的取值范 围。

第 15 页 共 20 页

例 3、已知: f ( x) ? e x ( x 2 ? ax ? a) (1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)关于 x 的方程 f ( x) ? k 在 [0,??) 上有两个不等实根,求 k 的取值范围。

第 16 页 共 20 页

例 4、已知: f ( x) ?

2ax ? a 2 ? 1 x2 ?1

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在 [0,??) 上存在最大值和最小值,求 a 的取值范围。

第 17 页 共 20 页

四、定积分与曲边梯形面积: 1、微积分基本定理:若 F ' ( x) ? f ( x) ,则 总结:

?

b

a

f ( x)dx ?
b a

?

b

a b

kdx ? k ? x n dx ?



?

x n dx ?
b a



?
?
(1) (2) (3)
b a

a
b



? sin xdx ?
? e dx ?
x a b

? cos xdx ?
a
b a



1 dx ? x
b

2、定积分性质:

? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? ?
c a a

a

f ( x)dx ? ? g ( x)dx ,
a c b

b

f ( x)dx ?

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ,
b a

?

b

f ( x)dx ? ?? f ( x)dx

3、曲边梯形面积求法:

f ( x)

a

b

a

b

f ( x)

f ( x) g ( x)

f ( x)

a

b

a

b

c

第 18 页 共 20 页

例 1、求下列定积分: 1、

? ?
?

2

?1

x 2 dx ?

2、

?

0

sin xdx ?
1 dx ? x 1 1 ( ? 2 )dx ? x x
2?

3、

3

e

4、

?

2

1

5、

??

(sin x ? cos x)dx ?

6、

?
3 0

1

?1

x dx ?

7、

?

x 2 ? 4 dx ?
1

例 2、 (1)计算:

?

0

1 ? x 2 dx ?

2 (2)求 y ? x 与 x ? y ? 2 围成的图形的面积。

第 19 页 共 20 页

(3)求曲线 y ? e x 与 y ? e ? x 及直线 x ? 1 围成的图形的面积。

第 20 页 共 20 页


相关文章:
高三一轮复习 函数、导数及其应用
高三一轮复习 函数、导数及其应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第一节 ...1-x2,x≤1, 1 ? 4.设函数 f(x)=? 2 则 f?f(2)?的值为___. ...
高三第一轮复习:《导数的计算与导数的应用》检测试题
高三第一轮复习:《导数的计算与导数的应用》检测试题_数学_高中教育_教育专区。高三第一轮复习:《导数的计算与导数的应用》检测试题 ...
2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):导数的应用...
2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):导数的应用(1)_数学_高中教育_教育专区。第十二节 导数的应用?Ⅰ? [备考方向要明了] 考什么 1.了解函数单调性和...
高三第一轮复习-导数
高三第一轮复习-导数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。导一、导数的概念及运算: 1、函数 f ( x) 从 x1 到 x2 的平均变化率: 函数 f ( x) 在 x ?...
高考数学第一轮复习教案——导数
高考复习——导数复习目标 1.了解导数的概念,能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几 何意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.在...
高三一轮复习 导数的概念及其运算
高三一轮复习 导数的概念及其运算_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习 导数的概念及其运算导数的概念及其运算教学目标: (1)知识与技能目标:①理解导数...
高三数学一轮复习 集合 函数 导数测试卷
高三数学一轮复习 集合 函数 导数测试卷_数学_高中教育_教育专区。高三数学第一...高三数学第一轮复习集合、函数测试题姓名___ 班级___ 分数___ 一、选择题:...
高考一轮复习专题:导数及其应用
高考一轮复习专题:导数及其应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。导数及其应用考点一:导数概念与运算(一)知识清单 1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x ...
高三第一轮复习导数作业1
高三第一轮复习导数作业1_数学_高中教育_教育专区。高三数学一轮复习作业:导数运算 1 1、 曲线 y ? x 3 ? 3x 上切线平行于 x 轴的点的 坐标是 ( A、 ...
高三第一轮复习导数及其应用练习题含答案
高三第一轮复习导数及其应用练习题含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三第一轮复习导数及其应用练习题含答案 第三章 第1讲 一、选择题 导数及其应用 ...
更多相关标签: