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2015高三梅州二模理科数学答案


梅州市高三总复习质检试卷(2015.05)

数学(理科)参考答案与评分意见
本试卷共4页,21小题, 满分150分。考试用时120分钟。 一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. CADBD,AAD 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题) 9.7

8 10

.85(3分), (2分) 5
15. 2 3 .

11.-4

2 n ? 2 ? 2n ? 4 12. 2n

13.①③④

(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14.1

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

解:(1)由 A ? B ? C ? ? ,2 B ? A ? C , 得B ?

? . 3

………………………2 分



a b 1 ? ,得 ? sin A sin B sin A

1 , 得 sin A ? . 2 3 2

3

………………………4 分

又0 ? A ? B,? A ?

? ? ? ? ,? C ? ? ? ? ? . 6 3 6 2
………………………6 分

? sin C ? 1.

(2)证明 : 由2b ? a ? c, 得4b 2 ? a 2 ? 2ac ? c 2 .
又b 2 ? a 2 ? c 2 ? ac.
………………………8 分

得4a 2 ? 4c 2 ? 4ac ? a 2 ? 2ac ? c 2 , 得3(a ? c) 2 ? 0,? a ? c.
? A ? C , 又A ? C ? 2? ? ,? A ? C ? B ? . 3 3
………………………12 分 17. (本小题满分 12 分) ………………………10 分

所以△ ABC 是等边三角形.

2 解: (1)? 当 ? ? 2 时,有 C n 种坐法,

………………………2 分 ……………………3 分

2 ? Cn ? 6 ,即

n( n ? 1) ? 6, 2

. n 2 ? n ? 12 ? 0 , n ? 4 或 n ? ?3 (舍去) (2)? ? 的可能取值是 0, 2, 3, 4 , 又? P?? ? 0? ?

?n ? 4 .

………………4 分

……………………5 分 …………7 分

2 C4 ?1 6 1 1 1 , ? ? P ? ? 2 ? ? ? , ? 4 4 24 4 A4 24 A4

P?? ? 3? ?

3 C4 ?2 8 1 9 3 ? ? ? , P?? ? 4? ? 4 24 8 . 24 3 A4

…………………9 分

? ? 的概率分布列为:

?
P

0
1 24

2

3
1 3

4

1 4

3 8

…………………10 分

1 1 1 3 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 3 . 24 4 3 8 答:随机变量 ? 的数学期望为 3.
则 E? ? 0 ? 18. (本小题满分 14 分) 解:不妨设正三角形 ABC 的边长为 3 . (1) 在图 1 中,取 BE 的中点 D,连结 DF. ∵AE : EB=CF : FA=1 : 2, ∴AF=AD=2.
?

……………………11 分 ……………………12 分

…………2 分 …………4 分

而∠A= 60 ,∴△ADF 是正三角形. 又 AE=DE=1,∴EF⊥AD. 在图 2 中,A1E⊥EF,BE⊥EF, ∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的平面角. 由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE. 又 BE∩EF=E, ∴A1E⊥平面 BEF,即 A1E⊥平面 BEP. (2)由(1)知, 即 A1E⊥平面 BEP, BE⊥EF. …………6 分

以E为原点, 分别以EB, EF , EA1所在直线为x轴, y轴, z轴建立 如图3所示的空间直角坐标系.

…………7 分 …………8 分 …………9 分

则A1 (0,0,1), B(2,0,0), F (0, 3 ,0), P(1, 3 ,0).
? A1 B ? (2,0,?1), A1 P ? (1, 3 ,?1), A1 F ? (0, 3 ,?1).

设m ? ( x1 , y1 , z1 ), n ? ( x 2 , y 2 , z 2 )分别是平面A1 BP和平面A1 PF的法向量,

? ?m ? A1 B ? 0, ?2 x1 ? z1 ? 0, 由? 得? ……10 分 x ? 3 y ? z ? 0 . ? m ? A P ? 0 . 1 1 1 ? 1 ?
取y1 ? 1, 得m ? ( 3 ,1,2 3 ) .
……11 分

? ?n ? A1 F ? 0, ? ? 3 y 2 ? z 2 ? 0, 由? 得? ? ? x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0. ?m ? A1 P ? 0. ?
取y 2 ? 1, 得n ? (0,1, 3 ).
…………12 分

所以 cos ? m, n ??

7 ? . ……13 分 | m || n | 8

m?n

因为二面角B ? A1 P ? F为钝角,
7 所以二面角B ? A1 P ? F的余弦值为 ? . …………14 分 8
19. (本小题满分 14 分)

解 : (1) f ?( x) ? (1 ? x)e ? x .令f ?( x) ? 0, 解得x ? 1.
………………………2 分

当x变化时, f ?( x), f ( x)的变化情况如下表 :

x
f ?( x)
f ( x)

(??,1)
+ 单调递增

1 0 极大值

(1,??)
单调递减

所以f ( x)在(??,1)上是增函数, 在(1,??)上是减函数.
……………………4 分

1 所以f ( x)在x ? 1处取得极大值f (1), 且f (1) ? . e
(2)由题意知, g ( x) ? f (2 ? x), 得g ( x) ? (2 ? x)e x ? 2 .

………………………6 分 ………………………8 分

令F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? xe ? x ? ( x ? 2)e x ? 2 . 于是F ?( x) ? ( x ? 1)(e 2 x ? 2 ? 1)e ? x .
………………………10 分

当x ? 1时, 2 x ? 2 ? 0, 从而e 2 x ? 2 ? 1 ? 0. 又e ? x ? 0, 所以F ?( x) ? 0.

所以F ( x)在[1,??)上是增函数.
………………………12 分

又F (1) ? e ?1 ? e ?1 ? 0, 所以x ? 1时, 有F ( x) ? F (1) ? 0,

即f ( x) ? g ( x).
………………………14 分 20. (本小题满分 14 分)

解: (1) ? e ?

3 c 3 ,即 ? . 3 a 3

………………………1 分 ………………………2 分

又2c ? 2, 解得a ? 3 , c ? 1.
得b ? a 2 ? c 2 ? 2 .
………………………3 分

x2 y2 ? 椭圆的标准方程为 ? ? 1. 3 2

………………………4 分

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? a 2 b2 (2) ? ? y ? ? x ? 1, 消去y得(a 2 ? b 2 ) ? x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? (1 ? b 2 ) ? 0,

…………………5 分

由? ? (?2a2 )2 ? 4a2 (a2 ? b2 )(1 ? b2 ) ? 0, 整理得a2 ? b2 ? 1.
……6 分

设A( x1 , y1 , ), B( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ?

2a 2 a 2 (1 ? b2 ) , x x ? . 1 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2

………7 分

? y1 y2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1.
OA ? OB(其中O为坐标原点),? x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 即2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0.
?

…………………8 分

………………9 分

2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? ? 1 ? 0.整理得a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 ? 0. 2 2 2 2 a ?b a ?b
1 , 1 ? e2

…10 分

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 e 2 , 代入上式得 2a 2 ? 1 ? ?a2 ? 1 1 (1 ? ). 2 1 ? e2

………………………11 分

1 2 7 1 ? e ?[ , ],? ? 1 ? ? 3, 2 2 3 1 ? e2
? 7 3 ? a 2 ? .满足条件a 2 ? b 2 ? 1. 6 2
42 6 ?a? . 6 2

………………………12 分

………………………13 分

由此得

?

42 ? 2a ? 6 , 故长轴长的最大值为 6. 3

………………………14 分

21. (本小题满分 14 分)

1 解 : (1)证明 : n ? 2, a ? 1, b ? ?1时, f n ( x) ? x n ? x ? 1, 在[ ,1]上连续. 2 1 1 1 1 ? f n ( ) f n (1) ? ( n ? ) ? 1 ? 0,? f n ( x)在区间( ,1)内存在零点. .......2分 2 2 2 2 1 1 又当x ? ( ,1)时, f n? ( x) ? nx n ?1 ? 1 ? 0,? f n ( x)在( ,1)上是单调递增的, 2 2 1 ? f n ( x)在( ,1)内存在唯一零点.. ......................4分 2 (2)当n ? 2时,f 2 ( x) ? x 2 ? ax ? b, 对任意x1 , x 2 ? [?1,1], 有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 4等价于 f 2 ( x)在[?1,1]上的最大值与最小值之差M ? 4. 1? 当 | a |? 1, 即 | a |? 2时, 2 M ?| f 2 (1) ? f 2 (?1) |? 2 | a |? 4, 与题设矛盾; .................6分

...................7分

a ? 0, 即0 ? a ? 2时, 2 a a M ? f 2 (1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4恒成立; 2 2 a 3? 当0 ? ? ? 1, 即 ? 2 ? a ? 0时, 2 a a M ? f 2 (?1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4恒成立; 2 2 综上可知,?2 ? a ? 2. 2? 当 ? 1 ? ? 1 (3)设x n 是f n ( x)在( ,1)内的唯一零点(n ? 2), 2

.......................8分

....................9分 ...............10分

1 n n ?1 f n ( x n ) ? x n ? x n ? 1 ? 0, f n ?1 ( x n ?1 ) ? x n ?1 ? x n ?1 ? 1 ? 0, x n ?1 ? ( ,1)............11分 2 n ?1 n 于是有f n ( x n ) ? 0 ? f n ?1 ( x x ?1 ) ? x n ?1 ? x n ?1 ? 1 ? x n ?1 ? x n ?1 ? 1 ? f n ( x n ?1 ),....12分 1 又由(1)知, f n ( x)在( ,1)上是递增的, 故x n ? x n ?1 (n ? 2), 2 所以, 数列x 2 , x3 ,..., x n ,...是递增数列. ...............13分 ..................14分


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