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广东省中山市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


中山市第一中学 2015—2016 学年度第二学期 高二级 第一次段 考 理科数学试题
(满分 150 分.考试用时 120 分钟) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满 分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) . 1、复数 ? 3i ?1? i 的共轭复数 是 .... A. ?3 ? i B. ?3 ? i C. 3 ? i D. 3 ? i

2、设随机变量 ? 服从标准正态分布 N ? 0 , 1? ,在某项测量中,已知 P ? ? 1.96 ? 0.950 , 则 ? 在 ? ??, ?1.96? 内取值 的概率为( A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 ) D. 0.975

?

?

7 7 8 3、若 Cn ?1 ? Cn ? Cn ,则 n 等于

A. 12
n

B. 13
2

C. 14

D. 15 )

4、若 ?1 ? 2 x ? 的展开式中, x 的系数是 x 系数的 7 倍,则 n 的值为( A 5 ( )种。 A. 60 B. 48 C. B

6

C

7

D

8

5、 A, B, C , D, E 五人并排站成一排,如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的左边,那么不同的排法共有

36

D. 24

6、某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 ( ) A.

4 ,那么播下 4 粒种子恰好有 2 粒发芽的概率是 5 192 625 256 625


16 625

B.

96 625

C.

D.

7、设随机变量 X ~ B ( n , p ),且 EX ? 6, DX ? 3 ,则 P ? X ? 1? 的值为( A.

3 4
2

B.

1 16

C.

3 1024
)

D.

1 256

8、由 y ? 3 ? x 和 y ? 2 x 围成的封闭图形的面积是( A. 2 3 B. 9 ? 2 3 C.

32 3

D.

35 3
1

9、现有 5 人参加抽奖活动,每人依次从装有 5 张奖票(其 中 3 张为中奖票)的箱子中不放回地随 机抽取一张,直到 3 张中奖票都被 抽出时活动结束,则活动恰好在第 4 人抽完后结束的概率为 .. A.

1 10

B.
10

1 5

C.

3 10

D.

2 5
) D. 120

10、在 ?1 ? x ?

? ? A. 10

1 ? 2 的展开式中,含 x 项的系数为( 2015 ? x ? B. 30 C. 45

11、将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,清华大学,浙江大学等三所大学就读,则每所大 学至少保送一人的不同保送的方法数为( ) A. 150 种 B. 180 种 C. 240 种 D. 540 种 12、 形如 34021 这样的数称为“波浪数”,即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相 邻的数字大,现从由 0,1, 2,3, 4,5 组成的数字不重复的五位数中任取一个,则该数是“波浪数” 的概率为( )

23 A. 200

11 B. 100

C.

71 600

61 D. 600

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满 分 20 分) 13、若 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ,则 (a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 的值

;

14、已知 z 是复数,且满足 2z ? z ? 2i ? 0 ,则 z ? _______________ _。

15、 (1 ? x)4 ? (1 ? x)5 ??? (1 ? x)9 展开式中, x 项的系数为
3

。 (用数字作答)

16、在区间 ? 0, 2? 上随机取两个数 x, y ,则 xy ? [0, 2] 的概率是____________.

2

三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分,18—22 题均为 12 分,共计 70 分,解答时应写出解 答过程或证明步骤) 17、 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ? 表示,椐统计,随机变量 ? 的概率分布列如 下:

?
p
(Ⅰ)求 a 的值和 ? 的数学期望;

0
0.1

1

2

3

0.3

2a

a

(Ⅱ) 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者 投诉 2 次的概率。

18、大学毕业生小张到甲、乙、丙三个单位应聘,各单位是否录用他是相互独立的,其 被录用的概率分别为

4 2 3 , , (允许小张被多个单位同时录用), 5 3 4

(1)求小张没有被录用的概率; (2)求小张恰被两个单位录用的概率

19、已知 f (n) ? 1 ?

1 1 1 5 7 ? ? ? ? ? ? .经计算得 f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? . 2 3 n 2 2

(1)由上面数据,试猜想出一个一般性结论; (2)用数学归纳法证明你的猜想.

20、已知函数 f ( x) ? x ln x . (I)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (II)若 f ( x) ? ? x ? ax ? 6 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围;
2 ?2 (III)过点 A(?e ,0) 作函数 y ? f ( x) 图象的切线,求切线方程.

3

21、盒子内装有 5 张卡片,上面分别写有数字 1,1, 2, 2, 2 ,每张卡片被取到的概率相等。先从盒 子中任取 1 张卡片,记下它上面的数字 x ,然后放回盒子内搅匀,再从盒子中任取 1 张卡片, 记下它上面的数字 y 。设 M ? x ? y, f (t ) ? (1)求随机变量 M 的分布列和数学期望; (2)设“函数 f (t ) ? 率 P ( A) 。

3 2 18 t ? Mt ? 。 5 5

3 2 18 t ? Mt ? 在区间 (2, 4) 内有且只有一个零点”为事件 A ,求 A 的概 5 5

22、已知抛物线 C : y ? 2 px 经过点 M (2, 2) , C 在点 M 处的切线交 x 轴于点 N ,直线 l1 经过
2

点 N 且垂直于 x 轴. (Ⅰ)求线段 ON 的长; (Ⅱ) 设不经过点 M 和 N 的动直线 l2 : x ? my ? b 交 C 于点 A 和 B , 交 l1 于点 E , 若直线 MA 、

ME 、 MB 的斜率依次成等差数列,试问: l2 是否过定点?请说明理由.

4

中山一中 2015- 2016 下学期高二年级期中考试试题 数学(理科)答案 命题人:李德明 审题人:彭彰

1 A

2 A

3 C

4 D

5 D

6 B

7 C

8 C

9 C

10 C

11 A

12 C

13、 1 ;

14、 ?

3 ?i; 3

15、 209 ;

16、

1 ? ln 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分,18—22 题均为 12 分,共计 70 分) 17.(本题满分 12 分) 解(1)由概率分布的性质有: 0.1 ? 0.3 ? 2a ? a ? 1 ,解得: a ? 0.2 ——————( 2 分)

? ? 的概率分布为

?
p

0

1

2

3

0.1

0.3

0.4

0.2

? E? ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 1.7 ————————( 5 分)

2 (2)设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次” ,事件 A 1 表示“两个月内有一个月被投诉 次,
另外一个月被投诉 0 次” ;事件 A2 表示“两个月内每月均被投诉 2 次” 则由事件的独立性得:
1 P ( A1 ) ? C2 P (? ? 0) ? 2*0.4*0.1 ? 0.08

P ( A2 ) ? [ P (? ? 1)]2 ? 0.32 ? 0.09 ? P( A) ? P( A1 ) ? P ( A2 ) ? 0.08 ? 0.09 ? 0.17
故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17 。————————( 10 分)

18.解:设 A, B, C 分别表示事件“小张被甲单位录取” , “小张被乙单位录取” , “小张被丙单位 录取” ,

5

(1) 小张没有被录用的概率为: P ABC ? (2) 小 张 恰 被 两 个

?

?

1 1 1 1 ? ? ? 5 4 3 60
位 录

; ————————( 5 分) 用 的 概 率 为 :



1 2 3 4 1 3 4 2 1 13 P ABC ? P ABC ? P ABC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。 ———— ( 11 分) 5 3 4 5 3 4 5 3 4 30
答:(1)小张没有被录用的概率是 分) 19、解: (1)由题意知,

?

?

?

?

?

?

1 13 ;(2)小张恰被两个单位录用的概率是 。————( 12 60 30

2?2 5 3? 2 4?2 7 5? 2 , f ( 23 ) ? ? , f (2 4 ) ? 3 ? , f ( 25 ) ? ? , 2 2 2 2 2 2 n?3 n?2 n ?1 n (n ? 2, n ? N ) 也行). 由此得到一般性结论: f (2 ) ? (或者猜想 f (2 ) ? 2 2 ————————( 4 分) f (2 2 ) ? 2 ?
(2)证明:①当 n ? 1 时, f (2 ) ? 1 ?
2

1 1 1 25 4 1 ? 3 ? ? ? ? ? ,所以结论成立。———— 2 3 4 12 2 2
k ?1

————( 5 分) ②假设 n ? k (k ? 1, k ? N ) 时,结论成立,即 f (2 那么, n ? k ? 1 时,

)?

k ?3 ,————————( 6 分) 2

f (2 k ? 2 ) ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 k ?3 1 1 1 ? ? ? ? ? ? k ?1 ? k ?1 ? k ?1 ? ? ? ? ? k ?2 ? ? k ?1 ? k ?1 ? ? ? ? ? k ?2 2 3 2 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 ?1 2 ? 2 2

k ?3 1 1 1 k ? 3 2 k ?1 k ? 1 ? 3 ? ? k ?2 ? k ?2 ? ? ? ? ? k ?2 ? ? k ?2 ? ,————————( 10 分) 2 2 2 2 2 2 2
所以当 n ? k ? 1 时,结论也成立.由( 1) (2)可知,上述结论对 n ? 1, n ? N 都成立,所以猜想 成立. —————— ——( 12 分)

20、解: (Ⅰ)? f '( x) ? ln x ? 1 ? f '( x) ? 0 得 ln x ? ?1

?0 ? x ?

1 1 ———————— ( 2 分) ? 函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) ; e e 6 x
6

(Ⅱ)? f ( x) ? ? x ? ax ? 6 即 a ? ln x ? x ?
2

设 g ( x) ? ln x ? x ?

x 2 ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) 6 ? 则 g '( x) ? x x2 x2

当 x ? (0, 2) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; 当 x ? (2, ??) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递增;

? g ( x) 最小值 g (2) ? 5 ? ln 2 ? 实数 a 的取值范围是 (??,5 ? ln 2] ; ——————( 7 分)

(Ⅲ)设切点 T ( x0 , y0 ) 则 k AT ? f '( x0 ) ?

x0 ln x0 ? ln x0 ? 1 即 e2 x0 ? ln x0 ? 1 ? 0 1 x0 ? 2 e

设 h( x) ? e2 x ? ln x ? 1 ,当 x ? 0 时 h '( x) ? 0 ? h( x) 是单调递增函数

1 1 1 1 ) ? e2 ? 2 ? ln 2 ? 1 ? 0 ? x0 ? 2 2 e e e e 1 由 f '( x0 ) ? ?1 得切线方程是 x ? y ? 2 ? 0 . ————————( 12 分) e

? h( x) ? 0 最多只有一个根,又 h(

21、解: (1)由题意可知随机变量 M 的可能取值为 2,3, 4 。

先从盒子中随机任取 1 张卡片,然后放回盒子内搅匀,再从盒子中任取 1 张卡片的基本事件总数 为 5 ? 5 ? 25 ————————( 1 分) 当 M ? 2 时,摸出的卡片上面分别写着数字 1,1 , P ? M ? 2 ? ?

2? 2 4 ? ,——-( 2 分) 5 ? 5 25 3? 3 9 ? ,——-( 3 分) 5 ? 5 25

当 M ? 4 时,摸出的卡片上面分别写着数字 2, 2 , P ? M ? 4 ? ? 当 M ? 3 时, 摸出的卡片上面分别写着数字 1, 2 ,P ? M ? 3? ?

2 ? 3 ? 3 ? 2 12 ? , —— ( 4 分) 5?5 25

? M 的分布列为: M P

2

3

4

4 25

9 25

12 25

M 的数学期望为: EM ? 2 ?

4 12 9 16 ? 3? ? 4 ? ? 。——————( 6 分) 25 25 25 5

(2) ? 随机变量 M 的可能取值为 2,3, 4 ,
7

当 M ? 2 时, f (t ) ? ———( 7 分)

3 2 18 3 2 18 t ? Mt ? ? t ? 2t ? ,它没有零点,不符合要求,————— 5 5 5 5

3 2 18 3 2 18 t ? Mt ? ? t ? 3t ? ,它的零点分别为 2, 3 ,在区间 ? 2, 4 ? 5 5 5 5 内只有 1 个零点,符合要求。————————--( 8 分)
当 M ? 3 时, f (t ) ? 当 M ? 4 时, f (t ) ?

3 2 18 3 2 18 10 ? 46 10 ? 46 t ? Mt ? ? t ? 4t ? ,它的零点分别为 , , 5 5 5 5 3 3

都不在区间 ? 2, 4 ? 内,不符合要求。————————( 11 分)

? 事件 A 相当于 M ? 3 ,由(1)知, P ? M ? 3? ?
———( 12 分)

12 12 ,即所求 A 的概率等于 。——— 25 25

22、 【解析】 (Ⅰ)由抛物线 C : y ? 2 px 经过点 M (2, 2) ,得
2

22 ? 4 p ,故 p ? 1 , C 的方程为 y 2 ? 2 x

————————( 2 分)

C 在第一象限的图象对应的函数解析式为 y ? 2 x ,则 y? ?
故 C 在点 M 处的切线斜率为

1 2x

1 1 ,切线的方程为 y ? 2 ? ( x ? 2) 2 2

令 y ? 0 得 x ? ?2 ,所以点 N 的坐标为 (?2, 0) 故线段 ON 的长为 2 。 ————————( 5 分)

(Ⅱ) l2 恒过定点 (2, 0) ,理由如下: 由题意可知 l1 的方程为 x ? ?2 ,因为 l2 与 l1 相交,故 m ? 0

8

由 l2 : x ? my ? b ,令 x ? ?2 ,得 y ? ? 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 由 ? 则 y1 ? y2 ? 2m ,y1 ? y2 ? ?2b 直线 MA 的斜率为

b?2 b?2 ,故 E (?2, ? ) m m
消去 x 得: y ? 2my ? 2b ? 0
2

? x ? my ? b ? y ? 2x
2

———————— ( 7 分)

y1 ? 2 y1 ? 2 2 2 ? 2 ? ,同理直线 MB 的斜率为 x1 ? 2 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?2 2
2? b?2 m 4

直线 ME 的斜率为 以

,因为直线 MA 、 ME 、 MB 的斜率依次成等差数列,所

2 2 ? ? 2? y1 ? 2 y2 ? 2


2?

b?2 m ? 1? b ? 2 4 2m
————————( 10 分)

2( y1 ? y2 ? 4) 4 ? y1 y2 b?2 ? 1? ? 1? 2( y1 ? y2 ) ? y1 y2 ? 4 2( y1 ? y2 ) ? y1 y2 ? 4 2m
整理得:

b?2 b?2 , 因为 l2 不经过点 N ,所以 b ? ?2 , ? 2m ? b ? 2 2m 所以 2m ? b ? 2 ? 2m ,即 b ? 2
故 l2 的方程为 x ? my ? 2 ,即 l2 恒过定点 (2, 0) ————————( 12 分)

9


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