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反证法改进课件


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修2- 选修 -2

2.2.2《直接证明与间接证明 -反证法》

思考? 思考?
三个人, 撒谎, A、B、C三个人,A说B撒谎,B说 撒谎, 都撒谎。 C撒谎,C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎,为什么? 是在撒谎,为什么?
分析:假设 没有撒谎 则C真. 分析 假设C没有撒谎 假设 没有撒谎, 真 - - -- -那么 假且 假; 那么A假且 那么 假且B假 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 这与B假矛盾. 假设C 那么假设 没有撒谎不成立; 那么假设C没有撒谎不成立; 必定是在撒谎. 则C必定是在撒谎.

反证法: 反证法: 假设命题结论的反面成立, 假设命题结论的反面成立,经过正确的 推理,引出矛盾,因此说明假设错误, 推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而 证明原命题成立, 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。 证法。

反证法的思维方法: 反证法的思维方法:
正难则反

归纳总结1 归纳总结1
反证法: 反证法: 假设命题结论的反面成立, 假设命题结论的反面成立,经过正确的 命题结论的反面成立 推理,引出矛盾 因此说明假设错误, 矛盾, 推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明原命题成立, 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法。 反证法。

反证法的思维方法: 反证法的思维方法:正难则反

例题
用反证法证明: 例1用反证法证明:

如果a>b>0, 如果a>b>0,那么 a> b a>b>0

不成立, 证:假设 a > b不成立,则 a ≤ b

与已知a 矛盾, 若 a = b,则a = b, 与已知a > b矛盾,
若 a < b,则a < b, 与已知a > b矛盾, 与已知a 矛盾,

故假设不成立, 成立。 故假设不成立,结论 a > b成立。

试一试
1、证明:在 ? ABC 中,若 ∠C 是直 角,则 ∠B 一定是锐角。

直角 证明:假设结论不成立, 证明:假设结论不成立,则∠B是_____或______. _____或 钝角 直角 _____时 当∠B是_____时,则_____________ 180° ∠B+ ∠C= °
三角形的三个内角和等于180° 三角形的三个内角和等于 ° 这与____________________________矛盾; 这与____________________________矛盾; ____________________________矛盾 钝角 ∠C>180° ∠B+ ∠C>180 当∠B是_____时,则______________ ° _____时 三角形的三个内角和等于180 180° 三角形的三个内角和等于180° 这与____________________________矛盾; 这与____________________________矛盾; ____________________________矛盾 综上所述,假设不成立. 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角. ∴∠B一定是锐角. 一定是锐角

归纳总结2 归纳总结2
1、用反证法证题的一般步骤是什么? 反证法证题的一般步骤是什么? 的一般步骤是什么
(1)假设命题的结论不成立;即假设结论的反面成立。 假设命题的结论不成立;即假设结论的反面成立。

(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; 从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;

(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。 由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。

应用反证法的情形: 应用反证法的情形:
直接证明困难; (1)直接证明困难; 需分成很多类进行讨论. (2)需分成很多类进行讨论. 结论为“至少” 至多” (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题; 类命题; 多个” ---类命题 唯一”类命题; (4)结论为 “唯一”类命题;

2、用反正法证明时,导出矛盾有那几种可能? 用反正法证明时,导出矛盾有那几种可能? (1)与原命题的条件矛盾; )与原命题的条件矛盾; (2)与假设矛盾。 )与假设矛盾。 (3)与定义、公理、定理、性质矛盾; )与定义、公理、定理、性质矛盾; (4)与客观事实矛盾. 与客观事实矛盾.

说明:常用的正面叙述词语及其否定: 说明:常用的正面叙述词语及其否定:
正面 词语 等于 大于( ) 大于(>) 小于 (<) 是 都是 只有一 个

不等于 否定 正面 词语

小于或 大于或 等于( )等于( ) 等于(≤)等于(≥) 不是 任意的 所有的

没有或 不都是 至少有 两个 至多 有n个 个 任意两 个

至多有 至少有一 个 一个

至少有 否定 两个

一个也 没有

某个

某些

至少有n 至少有 某两 +1个 个 个

例2 求证: 2 是无理数。 求证: 是无理数。
是有理数, 证:假设 2 是有理数,
则 存 在 互 质 的 整 数 m, n使 得 m 2 = , n

2 2 ∴ m = 2n ∴ m = 2n 是偶数,从而m必是偶数,故设m ∴m2是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N?)
2 2 2 2

从而有4 从而有4k = 2n ,即n = 2k
也是偶数,这与m ∴ n 2 也是偶数,这与m,n互质矛盾! 互质矛盾!
假设不成立, 假设不成立,故

2

是无理数。 是无理数。

练习、已知a≠0,求证关于x的方程ax=b有 练习、已知a≠0,求证关于x的方程ax=b有 a≠0 ax=b 且只有一个根。 且只有一个根。 假设方程ax 至少存在两个根, 证:假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根,
不妨设其中的两根分别为x 不妨设其中的两根分别为x1,x 2 且x1 ≠ x 2
则ax1 = b,ax 2 = b ∴ ax1 = ax 2 ∴ ax1 - ax 2 = 0 a( ∴ a(x1 - x 2) 0 = ∵ x1 ≠ x 2,x1 - x 2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 与已知a 矛盾, 故假设不成立,结论成立。 故假设不成立,结论成立。

练习 求证:两条相交直线有且只有一个交点. [证明] 假设结论不成立,即有两种可能: 无交点;不只有一个交点. (1)若直线a,b无交点,那么a∥b或a,b是异面 直线,与已知矛盾; (2)若直线a,b不只有一个交点,则至少有两个 交点A和B,这样同时经过点A,B就有两条直线, 这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾. 故假设不成立,原命题正确.

练习 π π 2 若 a,b,c 均为实数,且 a=x -2y+ ,b=y -2z+ , 2 3
2

π c=z -2x+ ,求证:a,b,c 至少有一个大于 0. 6
2

[证明]

假设 a,b,c 三个数均不大于 0,

即 a≤0,b≤0,c≤0,则 a+b+c≤0, π 2 π 2 π 又 a+b+c=x -2y+ +y -2z+ +z -2x+ 2 3 6
2

=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0. 与假设矛盾,所以假设不成立.故原命题成立. 即 a,b,c 至少有一个大于 0.

提升训练

一、选择题 1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下 列哪些作为条件使用 ( ) ①结论相反判断,即假设 ②原命题的结论 ③公理、定理、定义等 ④原命题的条件 A.①④ B.①②③ C.①③④ D.②③ [答案] C [解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条 件使用,故应选C.

2.命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ( ) A.两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角 [答案] C [解析] “最多只有一个”即为“至多一 个”,反设应为“至少有两个”,故应选 C.

3.如果两个实数之和为正数,则这两个 数( ) A.一个是正数,一个是负数 B.两个都是正数 C.至少有一个正数 D.两个都是负数 [答案] C [解析] 假设两个数都是负数,则两个数 之和为负数,与两个数之和为正数矛盾, 所以两个实数至少有一个正数,故应选C.

二、填空题 4.“任何三角形的外角都至少有两个钝 角 ” 的 否 定 应 是 ______________________________. [答案] 存在一个三角形,其外角最多有 一个钝角 [解析] 全称命题的否定形式为特称命题, 而“至少有两个”的否定形式为“至多有 一个”.故该命题的否定为“存在一个三 角形,其外角最多有一个钝角”.

2 . 已 知 x , y f 0 , 且 x + y f 2 .试 证 : 1+ x 1+ y , 中 至 少 有 一 个 小 于 2. y x

证明:假设两个数都不小于2,则 1+ x 1+ y

因为 所以

y x x f 0, y f 0 1 + x ≥ 2 y , 1+

≥ 2,

≥ 2

y ≥ 2x

两式相加得 整理得

2 + x + y ≥ 2( x + y ) x + y ≤ 2 与已知 x + y f 2 矛盾

1+ x 1+ y 所以 , 中 至 少 有 一 个 小 于 2. x y

方法小结:
1.反证法 假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下,结 论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾, 因 此 说 明 假设错误,从而证明了 原命题成立 ,这种 证明方法叫做反证法. 2.反证法常见矛盾类型 在反证法中,经过正确的推理后“得出矛盾”, 已知条件 矛盾,与 、 所得矛盾主要是指与 数学公理 公式 或 定义 定理 已被证明了的结论 , 、 、 矛 盾 与 公认的简单事实 矛盾.

反证法证明命题的一般步骤如下: 反证法证明命题的一般步骤如下: 证明命题的一般步骤如下 1.假设结论的反面成立 假设结论的反面成立; 1.假设结论的反面成立; 反设 由这个假设 出发,经过正确的推理, 2 .由这个 假设 出发 ,经过正确的推理 , 归谬 .. 导出矛盾; 导出矛盾; 推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).

矛盾判定假设不正确, 3. 由 矛盾判定假设不正确 , 从而肯定 结论 命题的结论正确. 命题的结论正确 .

运用好反证法的另一个关键是正确对结论进行否定

原结论词 反设词

大于( 小于( 大于(>) 小于(<) 都是
不大于( 不小于( 不大于(≤) 不小于(≥) 不都是

都不是
至少有一个是

至少n 至少n个
至多n 至多n-1个

至多n 至多n个
至少n+1个 至少n+1个 n+1

原结论词 反设词

有无穷多个 只有有限多个

存在唯一的 不存在或至少存在两 个

对任意p,使…恒成立 对任意p 恒成立 至少有一个p,使…不成立 至少有一个p 不成立


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