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正弦定理、余弦定理


学 年

科 级

数学 高一

版 本 编稿老师

人教版大开本、3+x 梁文莉

期 数 审稿教师

2339

【同步教育信息】
一. 本周教学内容: §5.9 正弦定理、余弦定理 目标:使学生理解正弦定理、余弦定理的证明和推

导过程,初步运用它们解斜三角形。 并会利用计算器解决解斜三角形的计算问题。培养学生观察、分析、归纳等思维能力、运 算能力、逻辑推理能力,渗透数形结合思想、分类思想、化归思想,以及从特殊到一般、 类比等方法,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。 二. 重点、难点: 重点: 正弦定理、余弦定理的推导及运用。 难点: (1)正弦定理、余弦定理的推导过程; (2)应用正弦定理、余弦定理解斜三角形。 [学法指导] 学习本节知识时可采用向量法、等积法(面积相等)等不同方法来推导正弦定理,以 加深对定理的理解和记忆,由于已知两边及其中一边的对角,不能唯一确定三角形,此时 三角形可能出现两解、一解、无解三种情况,因此解此类三角形时,要注意讨论。 深刻领会向量的三角形法则及平面向量的数量积是用向量法推导余弦定理的关键。注 意余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,知 道其中的三个量,便可求得第四个量。当有一个角为 90°时,即为勾股定理。因此,勾股 定理可看作是余弦定理的特例。 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具,其主要作用是将已 知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。一般地,利用公式 a=2RsinA,b= 2RsinB,c=2RsinC(R 为Δ ABC 外接圆半径),可将边转化为角的三角函数关系,然后利 用三角函数知识进行化简,其中往往用到三角形内角和定理 A+B+C=π 。 b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 利用 cos A ? , cos B ? , cos C ? 2 bc 2ac 2ab 可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系,然后充分利用代数知识来解决问题。 在三角形中,有一个角的余弦值为负值,该三角形为钝角三角形;有一个角的余弦值为零, 便是直角三角形;三个角的余弦值都为正值,便是锐角三角形。

【例题分析】
例 1. 在??BC中,已知B ? 30? ,b ? 50 3,c ? 150,解三角形并判断三角形的形状。 分析:已知两边及一边对角,可用正弦定理先求出 c 边的对角 C,再用内角和定理求 出角 A,然后用正弦定理求出边 a。至于三角形的形状,用角或边均可判断。 c b 解: 由正弦定理 ? ,得 sin C sin B c 150 3 sin C? sin B? sin 30? ? b 2 50 3

? c ? b,B ? 30?
? C ? 60? 或120? 从而A ? 180??(60??30? ) ? 90? 或A ? 180??(120??30? ) ? 30? c a 由正弦定理 ? ,得 sin C sin A sin A a? ?c sin C 1 当A ? 90? 时,a ? ? 150 ? 100 3 3 2 1 当A ? 30? 时,a ? 2 ? 150 ? 50 3 3 2

由边(角)的关系易知 ?A B C 是直角三角形或等腰三角形。 说明: (1)三角形的形状既可按角分类,又可按边分类,因而判断三角形的形状,既可依角 判断,又可依边判断。 (2)正弦定理实际上包含三个等式: a b b c c a ? , ? , ? sin A sin B sin B sin C sin C sin A 每一个等式都表示了三角形两个角和它们的对边的关系,因此,正弦定理可以用来解 决两类解三角形的问题:已知两角和任一边,求其他两边和一角。(此时三角形的形状是 确定的,故有唯一解);已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出 其他的边和角(此时不能唯一确定三角形的形状,故要注意解的情况)。 例 2. 在?ABC中,已知A ? B ? C,且A ? 2C,b ? 4,a ? c ? 8,求a、c的长。 分析:先利用正弦定理及 A=2C 可用 a、c 的代数式表示 cosC,再利用余弦定理用 a、 c 的代数式表示 cosC,即可建立 a、c 的等量关系式,又 a+c=8,解方程组即得 a、c。 a c 解: ? ? ,且A ? 2C sin A sin C a c ? ? sin 2C s i n C a c 即 ? 2s i n C?c o C s sin C a ?c o C s ? 2c a 2 ? b2 ? c2 又 ? cos C ? 且b ? 4 2ab a 2 ? c 2 ? 16 ?c o C s ? 8a 2 2 a a ? c ? 16 ? ? (1) 2c 8a 又 ?a ? c ? 8 ? a ? 8 ? c代入(1) 式并整理得

5c 2 ? 36c ? 64 ? 0 16 ? c1 ? ,c 2 ? 4 5 16 16 24 当c ? 时,a ? 8 ? ? 5 5 5 当c ? 4时,a ? 8 ? 4 ? 4

( ? A ? 2C, ? a ? c, ? 该组解不合题意,舍去) 24 16 综上可知,a ? ,c ? 5 5 说明:合理利用正、余弦定理及角的关系,寻求边的恒等关系,运用方程的思想是处

理此类问题的关键。 例 3. 根据下列所给条件,判断Δ ABC 的形状。 (1)a c o A s ? bc o s B
(2) a b c ? ? coA s cos B coC s

( 3) (a 2 ? b 2 ) s i nA ( ? B) ? (a 2 ? b 2 ) s i nA ( ? B)

分析:将所给等式中的角换算成边或将边全部转化为角进行判断。 解:(1)方法一:

?a c o A s ? bc o s B
?a ? b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? b? 2 bc 2ac

?a 4 ? a 2c2 ? b2c2 ? b4 ? 0 即(a 2 ? b 2 )(c 2 ? a 2 ? b 2 ) ? 0

? a 2 ? b 2 ? 0或c 2 ? a 2 ? b 2 ? 0 ? a ? b或c 2 ? a 2 ? b 2 ??A B C 是等腰三角形或直角三角形 a b c 方法二: 设 ? ? ? k(显然k ? 0),则 sin A sin B sin C a ? ks i n A,b ? k s i n B,c ? k s i n C

?a c o A s ? bc o s B ?k ? s i n A? c o s A? k?s i n B? c o s B ?s i n 2A ? s i n 2B ? 2A ? 2 B或2A ? ? ? 2 B ? ? A ? B或A ? B ? 2
??A B C 为等腰三角形或直角三角形

(2)方法一: c2 ? b2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ?c o A s ? ,c o s B? ,c o C s ? 2 bc 2ac 2ab a b c 又 ? ? cos A cos B cos C 2a b c 2a b c 2a b c ? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 2 c ?b ?a a ?c ?b a ? b2 ? c2 ?c2 ? b2 ? a 2 ? a 2 ? c2 ? b2 ? a 2 ? b2 ? c2

?c 2 ? b 2 ? a 2 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? ? 即 ?a 2 ? c 2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 2 2 2 2 2 ? ?c ? b ? a ? a ? b ? c

?a ? b ? c
??A B C 是等边三角形 a b c 方法二: 设 ? ? ? k(显然k ? 0),则 sin A sin B sin C a ? ks i n A,b ? k s i n B,c ? k s i n C a b c ? ? ? coA s cos B coC s k?s i n A k?s i n B k?s i n C ? ? ? coA s cos B coC s

?t a n A?t an B? t a n C ? A、B、C ?(0,? ) , ? A ? B ? C ??A B C 为等边三角形
(3)方法一: ? (a 2 ? b 2 ) s i nA ( ? B) ? (a 2 ? b 2 ) s i nA ( ? B)
整理得b 2 [sin(A ? B) ? sin(A ? B)] ? a 2 [sin(A ? B) ? sin(A ? B)] 即b 2 ? 2 s i n A?c o s B ? a2 ? 2 s i n B? c o A s
sin A cos B ? ? 1 ( 2) B cos A a sin a b sin A a ? ? ,? ? sin A sin B sin B b a 2 ? c2 ? b2 2 b a ? (2) 式等价于 2 ? ? 2 2ac ?1 a b b ? c2 ? a 2 2 bc 即a 4 ? b 2 c 2 ? a 2 c 2 ? b 4 ? 0 即
2

(1)

b

2

?

即(a 2 ? b 2 )(c 2 ? a 2 ? b 2 ) ? 0 ? a 2 ? b 2 ? 0或c 2 ? a 2 ? b 2 ? 0 ? a ? b或c 2 ? a 2 ? b 2 ??A B C 是等腰三角形或直角三角形 a b c 方法二: 设 ? ? ? k(显然k ? 0),则 sin A sin B sin C a ? ks i n A,b ? k s i n B,c ? k s i n C 代入 (1) 式得:
2 2 k2 s i n B?2s i n A?c o s B ? k2 ? s i n A ?2s i n Bc o A s 2 ?s i n A ? 0, s i n B ? 0,k ? 0

?2 s i n B? c o s B ? 2s i n A? c o s A ?s i n 2B ? s i n 2A ? A、B ?(0,? ) , ? 2? ? 2B或2A ? 2B ? ? ? ? A ? B或A ? B ? 2
??A B C 为等腰三角形或直角三角形

说明:

(1)已知某条件,要判断三角形形状,一般将条件转换成只含边或只含角的式子。 (2)由于三角形各边和它所对角的正弦比相等,故可设比值为一个值 k,这时可使解 题过程简化。 实际上,这一比值为三角形的外接圆直径 2R,即 a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 故正弦定理的形式也可写为: a ? 2R s i n A,b ? 2R s i n B,c ? 2R s i n C 它在解决某些问题时可使解题过程简单化。 例 4. 已知圆 O 的半径为 R,它的内接三角形 ABC 中,
2R(sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B成立,求??BC面积S的最大值。

分析:观察已知等式的结构特征可知,先用正弦定理将角转化为边,再用余弦定理求 cosC,得出角 C 后,利用正弦定理,将面积 S 表示为某角的三角函数形式,再求最值。 解: ? 2R(sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B
2 2 ? (2R) 2 s i n A ? (2R) 2 s i n C ? ( 2a ? b)2R s i n B

由正弦定理得a 2 ? c 2 ? ( 2a ? b) b

即a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab
由余弦定理得 cos C ? a 2 ? b2 ? c2 2 ab 2 ? ? 2ab 2ab 2

?0 ? C ? ? , ?C ?
?S ? ? ? ?

?
4

1 2 ab sin C ? ab 2 4 2 ? 4R 2 ? s i n A?s i n B 4 2 2 R [coA s (? B) ? c o sA ( ? B)] 2 2 2 3 R [coA s (? B) ? cos ? ] 2 4

?

2 2 2 R [cos A( ? B) ? ] 2 2
2 ?1 2 R 2

? 当A ? B时 , S有 最 大 值

说明:

(1)本题由a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab,联想余弦定理求出C ? 类似地,由a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab,可得C ? 由a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3ab,可得出C ?

?
4

是解题的关键。

?
3



?
6

熟记这些结论,可以快速解题。 (2)斜三角形的面积常采用下面公式计算: 1 1 1 S ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

【模拟试题】
一. 选择题: 1. 在 ?ABC 中, a ? 2 3,b ? 2 2,B ? 45? ,则 A 为( ) A. 60? 或120? B. 60? C. 30? 或150? D. 30? sin A cos B 2. 在 ???C中,若 ) ? ,则?B ? ( a b A. 30? B. 45? C. 60? D. 90? 3. 在 ?ABC 中, a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,则 A 等于( ) A. 60? B. 45? C. 120? D. 30? ? ? ? ? ? ? ? | AB| ? 1,| BC| ? 2 , (AB? BC) ? (AB? BC) ? 5 ? 2 3 , 4. 在 ?ABC 中, 则边 | AC| 等于 (



A. 5

B. 5 ? 2 3

C. 5 ? 2 3

D. 5 ? 2 3

5. 以 4、5、6 为边长的三角形一定是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形 6. 在 ?ABC 中, b cos A ? a cos B ,则三角形为( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 7. 在 ?ABC 中, cos A cos B ? sin A sin B,则 ?ABC 是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 正三角形 8. 三角形的两边分别为 5 和 3,它们夹角的余弦是方程 5x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 的根,则三角形 的另一边长为( ) A. 52 B. 2 13 C. 16 D. 4

二. 填空题: 9. 在 ?ABC 中, a ? b ? 12,A ? 60? ,B ? 45? ,则 a ? _______, b ? ________ 10. 在 ?ABC 中,化简 b cos C ? c cos B ? ___________ 11. 在 ?ABC 中,已知 sin A:sin B:sin C ? 654 : : ,则 cosA ? ___________ 12. 在 ?ABC 中,A、B 均为锐角,且 cos A ? sin B ,则 ?ABC 是_________ 三. 解答题: 13. 已知在 ?ABC 中, ?A ? 45? ,a ? 2,c ? 6 ,解此三角形。 14. 在四边形 ABCD 中,BC ? a,DC ? 2a, 四个角 A、B、C、D 的度数的比为 3:7:4:10, 求 AB 的长。 15. 已知 ?ABC 的外接圆半径是 2 ,且满足条件 2 2 (sin 2 A ? sin 2 C) ? (a ? b) sin B 。 (1)求角 C。 (2)求 ?ABC 面积的最大值。

【试题答案】
一. 选择题: 1. A 提示: ?
a b a 3 ? , ? sin A ? sin B ? sin A sin B b 2

2. B 提示: ? 由题意及正弦定理可得 tanB ? 1 3. C 提示:由余弦定理及已知可得 cosA ? ? 4. D
? ? ? ?2 ? ? ? ? 提示: ? AC ? AB? BC , ? AC ? (AB? BC)(AB? BC) ?2 ? AC ? 5 ? 2 3

1 2

? ?2 ?| AC| ? AC ? 5 ? 2 3
5. A 提示:长为 6 的边所对角最大,设它为 ? 16 ? 25 ? 36 1 则 cos ? ? ? ?0 2?4?5 8 ? 0? ? ? ? 90? 6. C 提示:由余弦定理可将原等式化为 b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 b? ?a? 2 bc 2ac 2 2 即2b ? 2a , ? a ? b 7. C 提示:原不等式可变形为 cos( A ? B) ? 0

? 0 ? A ? B ? ?, ? ? ? B ?(0, ) 2 从而C ? ? ? (A ? B) ?(
8. B

?

?

2

,? )

3 提示:由题意得 cos? ? ? 或 2(舍去) 5
? 三角形的另一边长 ? 52 ? 32 ? 2 ? 5 ? 3 ? cos? ? 52 ? 2 13
二. 填空题: 9. 36 ? 12 6,12 6 ? 24 提示: ?
a b sin A sin 60? 6 ? , ?a ? b? b? b sin A sin B sin B sin 45? 2

又 ? a ? b ? 12, ? a ? 36 ? 12 6,b ? 12 6 ? 24 10. a 提示:利用余弦定理,得原式 ? b ?
a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? c2 ? b2 ? c? ?a 2ab 2ac

11.

1 8 提示:由正弦定理得 a: b: c ? 654 :: 设 1 份为 k,则 a ? 6k,b ? 5k,c ? 4 k
再由余弦定理得 cos A ?
b2 ? c2 ? a 2 1 ? 2 bc 8

12. 钝角三角形 提示:由 cos A ? sin B 得 sin(

?
2

? A) ? sin B

? A、B 均为锐角, ?

?

而 y ? sin x 在 (0, ) 上是增函数 2

?

? A ?(0, ) ,B ?(0, ) 2 2 2

?

?

?

?

2

?A?B

即A ? B?

?
2

? C ? ? ? (A ? B) ?( ,? ) 2 三. 解答题: 13. 解:由正弦定理得:
sin C? c 6 2 3 sin A? ? ? a 2 2 2

?

??C ? 60? 或120?

当 ?C ? 60? 时, ?B ? 180??(?A ? ?C) ? 75?
b? a 2 6? 2 sin B? ? ? 3 ?1 sin A 4 2 2 当?C ? 120? 时,?B ? 180??(?A ? ?C) ? 15? a 2 sin B? ? sin A 2 2 6? 2 ? 3 ?1 4

b?

? b ? 3 ? 1,?C ? 60? ,?B ? 75? 或b ? 3 ? 1,?C ? 120? ,?B ? 15?

14. 解:设四个角 A、B、C、D 的度数分别为 3x、7x、4x、10x 则有 3x ? 7x ? 4x ? 10x ? 360? 解得 x ? 15? ? A ? 45? ,B ? 105? ,C ? 60? ,D ? 150? 连 BD,在 ?BCD 中,由余弦定理得:

BD 2 ? BC 2 ? DC 2 ? 2BC ? DC ? cos C ? a 2 ? 4a 2 ? 2 ? a ? 2a ?
? BD ? 3a 此时,DC 2 ? BD 2 ? BC 2

1 ? 3a 2 2

??BCD 是以 DC 为斜边的直角三角形 ??C D B ? 30? ??BDA ? 150??30?? 120?

在??BD中,由正弦定理有:

BD ? sin ?BDA AB ? ? sin A

3a ?

3 2 ?3 2a 2 2 2

3 2a 2 15. 解:(1) ? R ? 2且2 2 (sin 2 A ? sin 2 C) ? (a ? b) sin B ? AB的长为
2 ? (2 2 ) 2 ( s i 2nA ? s i n C) ? (a ? b) ? 2 2 s i n B

即 (2R) 2 sin 2 A ? (2R) 2 sin 2 C ? (a ? b)2R sin B 由正弦定理知 a 2 ? c 2 ? (a ? b) b 即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab 由余弦定理得 cos C ?
a 2 ? b2 ? c2 ab 1 ? ? 2ab 2ab 2

?C ? 60?
(2) S ?

1 ab sin C 2 1 ? ? 2R ? sin A ? 2R sin B ? sin 60? 2 ? 3 ? 2 sin A sin B
? ? 3[cos(A ? B) ? cos(A ? B)] ? ? 3[cos(180??60? ) ? cos(A ? B)] 1 ? 3[ ? cos(A ? B)] 2

1 3 3 ? 当 A=B 时,S 有最大值 3 ( ? 1) ? 2 2

年级 内容标题 分类索引号 主题词 编稿老师 录入

高一 G.623.3

学科 数学

版本

人教版大开本、3+X

期数

2339

正弦定理、余弦定理 分类索引描述 学习资料 栏目名称 二校 王佳娣 审核 同步课堂 审稿老师 李欣生 一校 康纪云 正弦定理、余弦定理 梁文莉 许咏梅


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