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2.4.1平面向量数量积导学案 - 副本


2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
授课教师:郑海霞 【学习目标】 1、掌握平面向量数量积的定义、几何意义,体会数量积与投影的关系. 2、理解平面向量积的重要性质及运算律. 3、会用向量方法解决简单的平面几何问题. 【学习重难点】 1、平面向量数量积的定义、几何意义及性质; 2、 平面向量数量积的性质及运算律的探究。 【学习过程】 问题 1: 如图, 如果一个

物体在力 F 的作用下产生位移 s , 那么力 F 所做的功 W = , 其中 ? 是 . 思考:这个公式的有什么特点?请完成下列填空: F(力)是 量;S(位移)是 量; ? 是 ;W(功)是 量; 结论: 启示: 问题 2:向量的数量积(或内积)的定义 ? ? ? ? ? ? 已知两个非零向量 a 和 b ,我们把数量 a b cos? 叫做 a 和 b 的数量积(或内积) ,记作
? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ,即 a ? b ? a b cos? .其中 ? 是 a 和 b 的夹角(0≤θ ≤π )

2016.4.7 问题 3:数量积的性质 设 a 和 b 都是非零向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则 ⑴当 a 与 b 垂直时, ? ? 90? ,即 a ? b ? a ? b ?
? ? ⑵当 a 与 b 同向时, ? ? 0? , a ? b = ? ? 当 a 与 b 反向时, ? ? 180? , a ? b = ? ? ? ? ? ⑶当 a ? b ,即 a ? a = ,或 a ?
? ?

?

?

? ?

; ; ;



⑷cos? =


? ? ? ? a b .

⑸因为 cos? ? 1 ,所以 a ? b
? ?

例 1.已知| a |=4,| b |=5,分别求下列条件下 a 与 b 的数量积. (1) a ∥ b ; (2) a ⊥ b ; (3) a 与 b 的夹角为 60° (4) a 与 b 的夹角为 120°.
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

说明:①记法“ a · b ” ②“规定” : 思考:数量积的定义中涉及哪些量?运算结果是数量还是向量? 总结:求向量数量积的步骤 结论:向量数量积的符号由 决定,完成下表:

? 的范围

0°≤ ? <90°

? =90°

90°< ? ≤180°

a · b 的符号

问题 4:向量的数量积(或内积)几何意义 ? ? ? ? (1)向量投影的概念:如图,我们把 a cos ? 叫做向量 a 在 b 方向上的投影; b cos ? 叫 做向量 b 在 a 方向上的投影.
? ?

(2)向量的数量积的几何意义:

问题 5:平面向量的数量积的运算律 (1) (2) (3) 思考: ( a ? b) ? c ? a ? (b ? c ) 成立吗?

【当堂检测】 一、判断正误 ? ? ? ? ? 1.若a =0,则对任一向量b,有a ? b ? 0 ? ? ? ? ? 2.若a ? 0,则对任一非零向量b,有a ? b ? 0 ? ? ? ? ? ? 3.若a ? 0, a ? b ? 0, 则b ? 0 ? ? ? ? ? 4.若a ? b ? 0, 则a, b 中至少有一个为0 ? ? ? ? ? ? ? ? 5.若a ? 0, a ? b ? b ? c, 则a ? c ? ? ? ? ? ? ? ? 6.若a ? b ? a ? c, 则b ? c,当且仅当a ? 0 时成立. ? ?2 ? 2 7.对任意向量a有a ? ? a ? 二、填空 ? ? ? ? ? 8. a ? 4, a 与 b 的夹角为 30? ,则 a 在 b 方向上的投影为

例 2:求证: (1) (a+b)

2

=a +2a· b+b ;
2 2

2

2

(2) (a+b) ? (a-b)=a -b

.

? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 3:已知 a ? 6, b ? 4, a 与 b 的夹角为 60 ,求 a ? 2b ? a ? 3b 的值.

?

??

?

? ? ? ? 三、选作:已知 a ? b ,且 a ? 2, b ? 1,若对两个不同时为零的实数 k , t ,使得

? ? ? ? a ? (t ? 3)b 与 ?ka ? tb 垂直,试求 k 的最小值.

例 4:已知 | a |? 3, | b |? 4 ,且 互相垂直?

a 与 b 不共线. k 为何值时,向量 a ? k b 与 a ? k b
【课堂小结】 知识方法

例 4 变式: 已知 | a |? 3, | b |? 4 , 且 所成的角为锐角,钝角?

向量 a ? k b 与 a ? k b a 与 b 不共线. k 为何值时,

数学思想

【课后作业】

1.必做题 2.选做题

课本 106 页练习 1、2、3, 《高考调研》43-45 《高考调研》课时作业二十三


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