当前位置:首页 >> 数学 >>

数学理卷·2013届江西省吉安二中高三3月月考(2013.03)


全品高考网 gk.canpoint.cn

2013 届江西省吉安县二中高三三月月考 数学试卷(理科)
一:选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) * 1.已知集合 A={2,3,4},B={2,4,6,8},C={(x,y)|x∈A,y∈B,且 logxy∈N },则 C

中 元素个数是( ) A.9 B.8 C.3 D.4 2.下列选项中,说法正确的是( ) 2 2 A.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题是真命题; B.设 a, b 是向量,命题“若 a ? ?b ,则 a ? b ”的否命题是真命题; C.命题“ p ? q ”为真命题,则命题 p 和 q 均为真命题; D.命题 ?x ? R , x ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”.
2
2

? ?

?

?

?? ?

?

3.已知 m 和 n 是两条不同的直线, ? 和 ? 是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一 定能 推出 m ? ? 的是( ) B. m ∥ n ,且 n ? ? D. m ? n ,且 n ∥ ?
?

A. ? ? ? ,且 m ? ? C. ? ? ? ,且 m ∥ ?
?

4.已知平面直角坐标系内的两个向量 a =(1,2),b =(m,3m-2),且平面内的任一向量 c 都 可以唯一的表示成 c =λ a +μ b (λ ,μ 是实数),则 m 的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞,+∞) 5.已知等差数列 ? a n ? 中, a 2 ? 6 , a 5 ? 1 5 ,若 b n ? a 2 n ,则数列 ? b n ? 的前 5 项和等于 A.30 6.函数 B.45
?
2

?

?

?

?

C.90

D.186 的图

f ( x ) ? A sin( ? x ? ? )( 其中 A ? 0,? ?

) 的图象如图所示,为了得到 g ( x ) ? sin 2 x

象,则只需将 f ( x ) 的图象 (A)向右平移 ? 个长度单位
6

(B)向右平移 ? 个长度单位
3

(C)向左平移 ? 个长度单位
6

(D)向左平移 ? 个长度单位
3

7.如图,在三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长为 2 的 正三角形,侧棱长为 3,则 B B 1 与平面 A B 1 C 1 所成的角为( ) A.
?
6
www.canpoint.cn
A1

B1

C1

B.

?
4
010-58818067

C.

?
3

D.

?
2
A

B

C

58818068

全品高考网邮箱:canpoint@188.com

第 1 页 共 9 页

全品高考网 gk.canpoint.cn
??? ? ???? ??? ? 8.若 ? k ? R ,| B A ? k B C |? | C A | 恒成立,则△ABC的形状一定是

( D.不能确定



A.锐角三角形 9.设函数 f ( x ) ?
2

B.直角三角形

C.钝角三角形

a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 的定义域为 D ,若所有点 ( s , f ( t ))( s , t ? D ) 构成一

个正方形区域,则 a 的值为 ( A. ? 2 B. ? 8 10.函数 f ? x ? ?

) C. ? 4 D.不能确定

x (0 ? x ? 1) ,其在点 M ( t , f ( t )) 处的切线为 l ,l 与 y 轴和直线 y ? 1 分别

交于点 P , Q ,又点 N ? 0 ,1 ? ,若 ? PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好有两个,则 b 的取值范围 为( A. ? 0,
? ?


8 ? ? 27 ?
?1 ? , ?? ? ?4 ?

B. ?

?1

8 ? ? ? 4 27 ? ,

C. ?

?1

? ,1 ? ?3 ?

D. ?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,25 分。将答案填在答题卡相应位置上。 ) 11. 若对任意 x ? 0 , x ?
4 x ? a 恒成立,则 a 的取值范围是________

12.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是___

13.已知函数 f ( x ) ? x ? tan x .项数为 17 的等差数列 ?a n ? 满足 a n ? ? ?
?

?

?

? ? , ? ,且公差 2 2 ?

d ? 0 .若 f ( a 1 ) ? f ( a 2 ) ? ? ? f ( a 17 ) ? 0 ,则当 k =__________时, f ( a k ) ? 0 .

14.一个盛满水的无盖三棱锥容器 S ? ABC ,不久发现三条侧棱上各有一个小洞 D , E , F 且 知 SD : DA ? SE : EB ? CF : FS ? 2 : 1 , 若 仍 用 这 个 容 器 盛 水 , 则 最 多 可 盛 原 来 水 的 倍 15. 记 函 数 f ? x ? 的 导 数 为 f
f
?n?

?1 ?

?x? ,

f

?1 ?

? x ? 的导数为

f

?2?

? x ? ,? ,

f

? n ?1?

? x ? 的导数为

? x??n ?
f

N

*

? 。若 f ? x ? 可进行 n 次求导,则 f ? x ? 均可近似表示为:
f
?1 ?

f

?x? ?

?0? ?

?0?

x?

f

?2?

?0?

x ?
2

f

?3?

?0?

x ?? ?
3

f

?n?

?0?

x

n

1!

2!

3!

n!

若取 n ? 4 ,根据这个结论,则可近似估计自然对数的底数 e ?

(用分数表示)

www.canpoint.cn

010-58818067

58818068

全品高考网邮箱:canpoint@188.com

第 2 页 共 9 页

全品高考网 gk.canpoint.cn
三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本题 12 分)
2 两非零向量 a , b 满足: 2 a ? b与 b 垂直,集合 A ? x x ? ( a ? b ) x ? a b ? 0 是单元素集

? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

合。 (1)求 a 与 b 的夹角 (2)若关于 t 的不等式 a ? t b ? a ? m b 的解集为空集,求实数 m 的值。
? ? ? ?
? ?

17.(本题 12 分)
0 在 ? ABC 中,设角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c , ? C ? 60 , c ?

3 .

(Ⅰ)求

a ? 2 3 cos A sin B 3 3

的值;

(Ⅱ)若 sin A ?

,求 ? ABC 的面积.

18.(本题 12 分) 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 1 , a 2 ? ? 13 , a n ? 2 ? 2 a n ? 1 ? a n ? 2 n ? 6 (Ⅰ)设 b n ? a n ? 1 ? a n , 求数列 { b n } 的通项公式; (Ⅱ)求 n 为何值时, a n 最小(不需要求 a n 的最小值)

www.canpoint.cn

010-58818067

58818068

全品高考网邮箱:canpoint@188.com

第 3 页 共 9 页

全品高考网 gk.canpoint.cn
19.(本题 12 分) 已知几何体 E-ABCD 如图 D7-13 所示,其中四边形 ABCD 为矩形,△ABE 为等边三角形,且

AD= 3,AE=2,
(1)若 DE ∥ (2)在(1)的 值.
?1 3 2 x ? 8 0 x ? 5 0 4 0 x , x ? [1 2 0 ,1 4 4 ) ?3 ? y ? ? ? 1 x 2 ? 2 0 0 x ? 8 0 0 0 0 , x ? [1 4 4 , 5 0 0 ) ?2 ?

DE= 7,点 F 为棱 BE 上的动点.
平面 AFC,试确定点 F 的位置; 条件下, 求二面角 E-DC-F 的余弦

20.(本题13分) 某企业为了保护环境,发展低碳经济,在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了一 项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元) 与月处理量z(吨)之间的函数关系可近似的表示为:

且每处理一二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,亏损数额国家 将给予补偿. (I)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果亏损,则国家每月补偿数额的范围 是多少? (Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理 成本最低?

21.(本题 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln( 2 ax ? 1) ?
x
3

? x

2

? 2 ax ( a ? R ).

3

(1)若 x=2 为 f ( x ) 的极值点,求实数 a 的值;
www.canpoint.cn 010-58818067 58818068 全品高考网邮箱:canpoint@188.com

第 4 页 共 9 页

全品高考网 gk.canpoint.cn
(2)若 y ? f ( x ) 在 ? 3, ? ? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;
1 2

(3)当 a ? ?

时,方程 f (1 ? x ) ?

(1 ? x ) 3

3

?

b x

有实根,求实数 b 的最大值。

www.canpoint.cn

010-58818067

58818068

全品高考网邮箱:canpoint@188.com

第 5 页 共 9 页

全品高考网 gk.canpoint.cn

数学(理)试题参考答案
一:选择题 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 C 5 C 6 A 7 A 8 B 9 C 10 B

二填空题 11: 4 12: 8 ?
2? 3

13:9

14:

4 27

15:

65 24

三:解答题
? ? ? 16 : 解( 1)由 2 a ? b 与 b 垂直得( 由A ? x x ? 2 ? ? ? b ? 2a ? b ) ? b ? 0 ? a ? b ? .......... 2 分 2

?

2

? ? ? ? ? ( a ? b ) x ? a b ? 0 ?是单元素集合得:

? ? ? ? ? ? 2 ? ? a ? b ) ? 4 a b ? 0 ? a ? b ,......... .......... . 4 分 ( ? ? 设 a 与 b 的夹角为 ? ? 则 a 与 b 的夹角为 1 ?2 ? ? b a ?b 1 ? ? ,则 cos ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 3 a b b

?
3

.......... ....... 6 分 ? ? ? ? a ? t b ? a ? m b 的解集为空集,

( 2)关于 t 的不等式

? ? ? ? 则 a ? t b ? a ? m b 的解集为 R .......... .......... .......... .. 8 分 ? ? ?2 ?? ?2 ?? 2 2 2 2 从而 a ? 2 a b ? t ? t b ? a ? 2 a b ? m ? m b 对一切 t ? R 恒成立, ? ? ? ?2 ? 2 2 将 a ? b , 2 a b ? b 代入上式得: t
2

?t? m ?m

2

? 0 对一切 t ? R 恒成立 .......... .......... .. 10 分
2 2

? ? ? 1 ? ( m ? m ) ? 0 ? ( 2 m ? 1) 4

? 0 ? m ?

1 2

.......... ...... 12 分

17 .解:( 1)由正弦定理得

a sin A

?

c sin C

? a ? 2 sin A 4 sin( A ?

?
3

?

a? 2

3 sin A

?

2 sin A ? 2 sin B

3 cos A

) ? 4 .......... . 6 分 3 3 , sin C ? 3 2

? sin B

sin B ( 2 )由( 1)知 sin B ?

2 sin A ? 2 4

3 cos A

, 又 sin A ? 2

,

? A 为锐角, ? cos A ?

6 3

,? sin B ?

3 ?3 6

, 2 全品高考网邮箱:canpoint@188.com .......... . 12 分

1 1 3 010-58818067 58818068? 3 ? www.canpoint.cn B ? S? ? ac sin ? 2 sin A ? 3 ? sin B ? 2 2 6 第 6 页 共 9 页

全品高考网 gk.canpoint.cn

18:解(I)? b n ? a n ? 1 ? a n ,? a n ? 2 ? 2 a n ? 1 ? a n ? b n ? 1 ? b n ? 2 n ? 6
? b n ? b n ? 1 ? 2 ( n ? 1 ) ? 6 , b n ? 1 ? b n ? 2 ? 2 ( n ? 2 ) ? 6 ,...., b 2 ? b 1 ? 2 ? 6 将这 n ? 1个等式相加,得 b n ? b 1 ? 2 [1 ? 2 ? ... ? ( n ? 1 )] ? 6 ( n ? 1 )
2

? b n ? n ( n ? 1) ? 6 ( n ? 1) ? ( a 2 ? a 1 ) ? n

? 7n ? 8

即数列{bn}的通项公式为 b n ? n ? 7 n ? 8
2

.......................6 分 .........8 分

(Ⅱ)若 a n 最小,则 a n ? a n ?1 且 a n ? a n ? 1 .即 b n ? 1 ? 0 且 b n ? 1 ? 0
? 2 ?n ? 7n ? 8 ? 0 ?? 注意 n 是正整数,解得 8≤n≤9 2 ? ( n ? 1) ? 7 ( n ? 1) ? 8 ? 0 ?

∴当 n=8 或 n=9 时,an 的值相等并最小................................12 分 19:解:(1)连接 BD 交 AC 于点 M,若 DE∥平面 AFC, 则 DE∥FM,点 M 为 BD 中点,则 F 为棱 BE 的中点...............4 分 (2)AD= 3,AE=2,DE= 7,∴DA⊥AE. 又四边形 ABCD 为矩形,∴DA⊥面 ABE. 方法 1:以 AB 中点 O 为坐标原点,以 OE 为 x 轴,以 OB 为 y 轴,以 OM 为 z 轴,建立空 间直角坐标系,如图所示. → → 则DE=( 3,1,- 3),CE=( 3,-1,- 3), 设平面 DCE 的法向量 n=(x,y,z),

?→·n=0, ?DE ∴? ?→·n=0, ?CE

? 3x+y- 3z=0, ? ? 3x-y- 3z=0.

令 x=1,则 n=(1,0,1). →

DF=?

1 ? 3 3 ? → ? 3 ? , ,- 3?,CF=? ,- ,- 3?. 2 2 2 2 ? ? ? ?

设平面 DCF 的法向量 m=(x,y,z).

?→·m=0, ?DF ? ?→·m=0, ?CF

? 23x+3y- ? 2 ? 3 1 ? 2 x-2y- ?

3z=0, 3z=0.

令 x=2,则 m=(2,0,1).
www.canpoint.cn 010-58818067 58818068 全品高考网邮箱:canpoint@188.com

第 7 页 共 9 页

全品高考网 gk.canpoint.cn
设二面角 E-DC-F 的平面角为θ ,cosθ =

m·n 3 10 = ....................12 分 |m||n| 10

方法 2:设二面角 E-DC-A 的平面角为α , 取 AB 中点 O,CD 中点 N,

EO⊥平面 ACD,ON⊥CD,∴∠ONE 就是二面角 E-DC-A 的平面角.....6 分
∴∠ONE=α ,tanα =1.........................8 分 同理设二面角 F-DC-A 的平面角为β , 1 tanβ = .......................................................10 分 2 1 3 10 设二面角 E-DC-F 为θ ,θ =α -β ,∴tanθ = ,∴cosθ = ........12 分 3 10
20 .解:( 1)当 x ? ?200 , 300 ?时,设该项目获利为 S ? 200 x ? ( ? ? 1 2
2

S ,则

1 2

x ? 200 x ? 80000 )......... .... 1分
2

x ? 400 x ? 80000 ? ?

1 2

( x ? 400 )

2

所以当 x ? ?200 , 300 ?时, S ? 0 因此该项目不会获利 .......... .......... . 3 分 ? 5000 ,当 x ? 200 时, S 取得最小值 ? 20000 .

当 x ? 300 时, S 取得最大值 所以国家每月补偿数额

的范围是

?5000

, 20000 ?.......... ........ 5 分

( 2 )由题意可知,二氧化碳

的每吨处理成本为:

?1 2 x ? 80 x ? 5040 , x ? ?120 , 144 ? ?3 y ? ? ? .......... .......... ....... 7 分 x ? 1 x ? 80000 ? 200 , x ? ?144 , 500 ? ?2 x ? 1 当 x ? ?120 , 144 ?时, y y x ? 1 3 x ? 80 x ? 5040 ?
2

1 3

( x ? 120 ) ? 240
2

所以当 x ? 120 时, 取得最小值 x 2 当 x ? ?140 , 500 ?时, 当且仅当 1 2 x ? 80000 x y x ? 1 2 x?

240 ; .......... .......... ... 9 分 80000 x y x 400 吨时,才能使每吨的平 均处理成本最底 ..... 12 分 取得最小值 ? 200 ? 2 1 2 x? 80000 x ? 200 ? 200

, 即 x ? 400 时

200 .......... ...... 11 分

? 200 240 , 当每月处理量为 〈 ? 答:国家每月补偿数额 每吨的平均处理成本最
www.canpoint.cn

的范围是

?5000

, 20000 ?:该项目每月处理量为

400 吨时,

底 .......... .......... 13 分
010-58818067 58818068 全品高考网邮箱:canpoint@188.com

第 8 页 共 9 页

全品高考网 gk.canpoint.cn

21:(1)解:

f ?( x ) ?

2a 2ax ? 1

? x

2

? 2 x ? 2a ?

x[ 2 a x

2

? (1 ? 4 a ) x ? ( 4 a 2ax ? 1

2

? 2 )]

........1 分

因为 x = 2 为 f (x)的极值点,所以 即
2a 4a ? 1 ? 2a ? 0

f ?( 2 ) ? 0

.................................2 分

,解得:a = 0............................................3 分

又当 a = 0 时, f ? ( x ) ? x ( x ? 2 ) ,从而 x = 2 为 f (x)的极值点成立.............4 分 (2)解:∵f (x)在区间[3,+∞)上为增函数, ∴
f ?( x ) ? x[ 2 a x
2

? (1 ? 4 a ) x ? ( 4 a 2ax ? 1

2

? 2 )]

≥ 0

在区间[3,+∞)上恒成立...........5 分

①当 a = 0 时, f ? ( x ) ? x ( x ? 2 ) ≥ 0 在[3,+∞)上恒成立,所以 f (x)在[3,+∞)上为增函 数,故 a = 0 符合题意..........................................................6 分 ②当 a≠0 时,由函数 f (x)的定义域可知,必须有 2ax + 1 > 0 对 x≥3 恒成立,故只能 a > 0, 所以 2 a x 2 ? (1 ? 4 a ) x ? ( 4 a 2 ? 2 ) ≥ 0 在区间[3,+∞)上恒成立..................7 分 令 g (x) ?
2ax
2

? (1 ? 4 a ) x ? ( 4 a
1 4a ?1

2

? 2 ) ,其对称轴为 1 ?

1 4a

........................8 分

∵a > 0,∴ 1 ? 由 g (3) ?
?4a
2

,从而 g (x)≥0 在[3,+∞)上恒成立,只要 g (3)≥0 即可,
3? 4 13 ≤ a≤ 3? 4 13

? 6 a ? 1 ≥ 0 ,解得:
? a≤ 3? 4 13

......................9 分

∵a > 0,∴ 0


3? 4 13

综上所述,a 的取值范围为[0, (3)解: a
1 2

]......................................10 分
3

? ?

时,方程

f (1 ? x ) ?

(1 ? x ) 3

?

b x

可化为, ln

x ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ?
2

b x

. 分

问题转化为 b 令 h(x) ?

? x [ln x ? x ? x ] 在(0,+∞)上有解...............................11
2

ln x ? x ? x

2

,则 h ? ( x ) ?

1 x

? 1 ? 2x ?

( 2 x ? 1)(1 ? x ) x

.......................12 分

当 0 < x < 1 时, h ? ( x ) ? 0 ,∴h (x)在(0,1)上为增函数 当 x > 1 时, h ? ( x ) ? 0 ,∴h (x)在(1,+∞)上为减函数 故 h (x)≤h (1) = 0,而 x > 0,故 b ? xh ( x ) ≤ 0 即实数 b 的最大值是 0......................................................14 分

www.canpoint.cn

010-58818067

58818068

全品高考网邮箱:canpoint@188.com

第 9 页 共 9 页


相关文章:
数学理卷·2013届江西省吉安二中高三3月月考(2013.03)
数学理卷·2013届江西省吉安二中高三3月月考(2013.03) 隐藏>> 全品高考网 gk.canpoint.cn 2013 届江西省吉安县二中高三三月月考 数学试卷(理科)一:选择题(...
江西省吉安县二中2013届高三3月月考试卷(理科数学) 含答案
江西省吉安县二中2013届高三3月月考试卷(理科数学) 含答案 隐藏>> 2013 届江西省吉安二中高三三月月考数学试卷(理科)一:选择题(本大题共 10 小题,每小题...
江西省吉安县二中2013届高三3月月考理科数学试题
江西省吉安县二中2013届高三3月月考理科数学试题 隐藏>> () 2013 届江西省吉安二中高三三月月考数学试卷(理科)一:选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分...
江西省吉安县二中2013届高三3月月考试卷(文科数学) Word版含答案
江西省吉安县二中2013届高三3月月考试卷(文科数学) Word版含答案 隐藏>> 2013 届江西省吉安二中高三三月月考数学试卷(文科)一、选择题(每题 5 分,共 50 ...
江西省吉安县二中2013届高三3月月考试卷(文科数学)
江西省吉安县二中2013届高三3月月考试卷(文科数学)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2013 届江西省吉安二中高三三月月考数学试卷(文科) 一、选择题(每题 5...
江西省吉安县二中2013届高三3月周考数学(理)试题
江西省吉安县二中2013高三3月考数学(理)试题 隐藏>> 2013 届江西省吉安二中 3 月周考试卷(理科数学) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,...
江西省吉安县二中2013届高三3月月考文科数学试题
() 2013 届江西省吉安二中高三三月月考数学试卷(文科)一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.设三个集合 A,B,C 满足 A∪B=B∩C,则一定有( (A)A ...
江西省吉安县二中2013届高三5月月考理科数学试题
江西省吉安县二中2013高三5月月考理科数学试题 隐藏>> 2013 届江西省吉安二中五月月考试卷(理科数学) () 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,...
江西省吉安县二中2013届高三3月周考数学(文)试题
2013 届江西省吉安二中高三三月月考数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项...
更多相关标签:
江西省吉安市 | 江西省吉安市泰和县 | 江西省吉安市永新县 | 江西省吉安市永丰县 | 江西省吉安县 | 江西省吉安市地图 | 江西省吉安市吉水县 | 江西省吉安市邮编 |