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北京市 东城区2014年高三二模数学理科答案


东城区 2013-2014 学年第二学期综合练习(二) 高三数学参考答案及评分标准(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)D (2)A (6)C (3)C (7)C (4)D (8)D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?

3 5

>
(10) 4

60

(11)

1 4

(12)

2 3
( 3, 5)

(13)

2 2 3

(14) 6

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin x ? 3 sin x sin( x ?
2

? ) 2

? sin 2 x ? 3 sin x cos x
? ? 1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2 3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2
所以 f (

? 1 )? . 12 2 ? 2 ? ? 5? ? 2x ? ? . 6 6 6

…………………7 分

(Ⅱ)当 x ? [0, ] 时, ? 所以,当 2 x ? 当 2x ?

? ? ? ? 时,即 x ? 0 时,函数 f ( x) 取得最小值 0 ; 6 6

? ? ? 3 ? 时,即 x ? 时,函数 f ( x) 取得最大值 .…………………13 分 6 2 3 2

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ) 1 ? 10 ? (0.020 ? 0.025 ? 0.015 ? 0.005) ? 0.35 ,

1 0? 0

0? . 3 5 ,

3 5

即随机抽取的市民中年龄段在 [30, 40) 的人数为 35 . ………………………4 分 (Ⅱ) 100 ? 0.15 ? 15 , 100 ? 0.05 ? 5 , 所以 5 ?

8 ? 2, 20
……………………7 分

即抽取的 8 人中 [50,60) 年龄段抽取的人数为 2 . (Ⅲ) X 的所有可能取值为 0 , 1 , 2 .

P( X ? 0) ?

3 C6 5 ? ; 3 C8 14

1 2 C2 C6 15 P( X ? 1) ? ? ; 3 C8 28 2 1 C2 C6 3 ? . 3 C8 28

P( X ? 2) ?

所以 X 的分布列为

X P

0

1

2

15 3 28 28 5 15 3 3 X 的数学期望为 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? .………………………13 分 14 28 28 4
(17) (共 14 分) 解: (I)由 BC ? CD , BC ? CD ? 2 ., 可得 BD ? 2 2 . 由 EA ? ED ,且 EA ? ED ? 2 , 可得 AD ? 2 2 . 又 AB ? 4 . 所以 BD ? AD . 又平面 EAD ? 平面 ABCD , 平面 ADE 平面 ABCD ? AD ,

5 14

z

E

D

C

BD ? 平面 ABCD ,

x

A

B y

所以 BD ? 平面 ADE . (II)如图建立空间直角坐标系 D ? xyz ,

……………5分

则 D(0,0,0) , B(0, 2 2,0) , C(? 2, 2,0) , E( 2,0, 2) ,

BE ? ( 2, ?2 2, 2) , DE ? ( 2,0, 2) , DC ? (? 2, 2,0) .
设 n ? ( x, y, z ) 是平面 CDE 的一个法向量,则 n ? DE ? 0 , n ? DC ? 0 , 即?

? x ? z ? 0, ? ? x ? y ? 0.

令 x ? 1 ,则 n ? (1,1, ?1) . 设直线 BE 与平面 CDE 所成的角为 ? , 则 sin ? ?| cos ? BE, n ?|?

| BE ? n | | 2 ? 2 2 ? 2 | 2 . ? ? 3 | BE | ? | n | 2 3? 3
2 . 3
……………10分

所以 BE 和平面 CDE 所成的角的正弦值 (III)设 CF ? ?CE , ? ? [0,1] .

DC ? (? 2, 2,0) , CE ? (2 2, ? 2, 2) , DB ? (0,2 2,0) .
则 DF ? DC ? CF ? DC ? ?CE ? 2(2? ?1, ?? ? 1, ?) . 设 m ? ( x' , y' , z' ) 是平面 BEF 一个法向量,则 n ? EB ? 0 , n ? EF ? 0 , 即?

? y' ? 0, ?(2? ? 1) x' ? (?? ? 1) y' ? ? z' ? 0.
2? ? 1

令 x' ? 1 ,则 m ? (1,0, ?

?

).
2? ? 1 1 ? 0 , ? ? ? [0,1] . 3

若平面 BEF ? 平面 CDE ,则 m ? n ? 0 ,即 1 ?

?

所以,在线段 CE 上存在一点 F 使得平面 BEF ? 平面 CDE .……………14 分

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 R , f ?( x) ? 因为 a ? 0 , 所以,当 x ? ?1 ,或 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ; 当 ?1 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 .

a(1 ? x2 ) a(1 ? x)(1 ? x) , ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

所以, f ( x ) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (??, ?1) , (1, ??) . ……6 分 (Ⅱ)因为 f ( x ) 在区间 (0, 1) 上单调递增,在区间 (1, e) 上单调递减, 又 f (0) ? 2a , f (e) ?

ea ? 2a ? 2a , e ?1
2

所以,当 x ? (0, e) 时, f ( x) ? 2a . 由 g ( x) ? a ln x ? x ? a ,可得 g '( x) ?

a a?x . ?1 ? x x

所以当 a ? e 时,函数 g ( x) 在区间 (0, e) 上是增函数, 所以,当 x ? (0, e) 时, g ( x) ? g (e) ? 2a ? e ? 2a . 所以,当 x ? (0, e) 时, 对于任意的 x1 , x2 ? (0, e) ,都有 f ( x1 ) ? 2a , g ( x2 ) ? 2a ,所以 f ( x1 ) ? g ( x2 ) . 当 0 ? a ? e 时,函数 g ( x) 在区间 (0, a ) 上是增函数,在区间 (a, e) 上是减函数, 所以,当 x ? (0, e) 时, g ( x) ? g (a) ? a ln a ? 2a . 所以,当 x ? (0, e) 时, 对于任意的 x1 , x2 ? (0, e) ,都有 f ( x1 ) ? 2a , g ( x2 ) ? 2a ,所以 f ( x1 ) ? g ( x2 ) . 综上,对于任意的 x1 , x2 ? (0, e) ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) . ……………13 分 (19) (共 13 分) 解(Ⅰ)依题意有 c ? 2 ,
2 2

c 6 . ? a 3

可得 a ? 6 , b ? 2 .

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ………………………………………………5分 6 2

(Ⅱ)直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) .

? y ? k ( x ? 2), ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 2 ?6
消去 y 并整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 故 x1 ? x2 ?

12k 2 12k 2 ? 6 , . x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
2

则 AB ? 1 ? k x1 ? x 2 ?

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]

?

2 6k (2 ? 1 ) . 3k 2 ? 1

设 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) . 可得 x0 ?

6k 2 2k , y0 ? ? 2 . 2 3k ? 1 3k ? 1
1 ,又 xP ? 3 , k

直线 MP 的斜率为 ? 所以 MP ? 1 ?

1 k 2 ? 1 3(k 2 ? 1) . ? x ? x ? ? 0 P k2 k 2 (3k 2 ? 1)

当△ ABP 为正三角形时, MP ?

3 AB , 2

可得

k 2 ? 1 3(k 2 ? 1) 3 2 6(k 2 ? 1) , ? ? ? k 2 (3k 2 ? 1) 2 3k 2 ? 1

解得 k ? ?1 . 即直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? y ? 2 ? 0 .………………………………13 分

(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ) f (99) ? 9 ? 9 ? 162 ;
2 2 2 2 .4 f( 2 0 1 ? 4 2) ? 2 ? 2 0 ? 1 ?

21

………………5 分

(Ⅱ)假设 a1 是一个 n 位数( n ? 3 ) ,

那么可以设 a1 ? bn ?10n?1 ? bn?1 ?10n?2 ?

? b3 ?102 ? b2 ?10 ? b1 ,

其中 0 ? bi ? 9 且 bi ? N ( 1 ? i ? n ) ,且 bn ? 0 . 由 a2 ? f (a1 ) 可得, a2 ? bn 2 ? bn?12 ?

? b32 ? b22 ? b12 . ? (102 ? b3 )b3 ? (10 ? b2 )b1 ? (1 ? b1 )b1,

a1 ? a2 ? (10n?1 ? bn )bn ? (10n?2 ? bn?1 )bn?1 ?
所以 a1 ? a2 ? (10n?1 ? bn )bn ? (b1 ?1)b1 . 因为 bn ? 0 ,所以 (10n?1 ? bn )bn ? 99 . 而 (b1 ?1)b1 ? 72 , 所以 a1 ? a2 ? 0 ,即 a1 ? a2 .

………………9 分

(Ⅲ)由 a1 ? 1000 ,即 a1 ? 999 ,可知 a2 ? 92 ? 92 ? 92 ? 243 . 同理 an ? 999 ,可知 an?1 ? 92 ? 92 ? 92 ? 243 . 由数学归纳法知,对任意 n ? N * ,有 an ? 999 . 即对任意 n ? N * ,有 an ?{1, 2,3,

,999}.

因此,存在 p, q ? N * ( p ? q ) ,有 a p ? aq . 则 a p?1 ? aq?1 , a p ? 2 ? aq ? 2 ,…, aq?1 ? aq?q? p?1 , 可得对任意 n ? N * , n ? p ,有 an? q ? p ? an . 设 q ? p ? T ,即对任意 n ? p ,有 an?T ? an . 若 T ? p ,取 m ? T , n ? 2 m ,则有 a3m ? a2m . 若 T ? p ,由 an?T ? an ,可得 an? pT ? an , 取 m ? pT , n ? 2 m ,则有 a3m ? a2m . ………………14 分

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