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2015年高一数学精品优秀教案:1.3《函数的性质及综合应用》(2)(新人教A版必修一)


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3、函数性质的应用 函数的奇偶性和单调性是函数的重要性质,运用函数的性质可研究区间、最值的求解, 亦可深入研究函数图象的特征。 利用函数的单调性和奇偶性,可以将“抽象”化为具体,使问题简化,这也是等价转化 思想方法的重要体现。 例 5、若偶函数 f (x)在(– ∞, 0)上是增函数,则满足 f (1) ? f

(a ) 的实数 a 的取值 范围是 。

例 6、已知函数 f (x)对任意 x , y 总有 f (x + y) = f (x) + f (y),且当 x > 0 时, f (x) < 0, f (1) ? ?

2 3

(1)求证:f (x)是奇函数; (2)求证:f (x)是 R 上的减函数; (3)求 f (x)在[-3, 3]上的最大值及最小值。

练习(1)已知奇函数 f (x)在(– 1, 1)上单调递减,且 f (1 - a) + f (1 – 2a ) < 0,则实数 a 的取值范围是 。

(2)设函数 f (x)的定义域为 R 且 x≠0,对任意非零实数 x1, x2 满足 f (x1x2) = f (x1) + f (x2), (1)求 f (1)的值; (2)判断 f (x)的奇偶性。

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例 7 、如果函数 f ( x) ? x ? bx ? c 对任意实数 t ,都有 f (3 ? t ) ? f (3 ? t ) ,那么
2

f (0), f (3), f (4) 的大小关系是



结论: (1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 (2) 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的对称轴为 x 0 ? ?
2

b , 即 f ( x0 ? x) ? f ( x0 ? x) 。 2a

〖拓展〗函数 y = f (x)的图象关于直线 x = t 对称的充要条件是:f (t + x) = f (t – x),即 f (x) = f (2t – x)。

例 8、某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红 柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示; 西红柿的种植成本与上市时间的关系 用图二的抛物线段表示。

(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 p ? f (t ) ; 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式 Q ? g (t ) ; (Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/10 ㎏,时间单位:天)
2

例 9、对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则 x0 称为 f ( x) 的不动点。已 知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? (b ? 1), (a ? 0) 。
2

(1)当 a = 1,b = – 2 时,求函数 f ( x) 的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求实数 a 的取值范围。

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