当前位置:首页 >> IT认证 >>

复变函数试题库


《复变函数论》试题库 梅一 A111 《复变函数》考试试题(一) 1、

dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 )n ? __________.( n 为自然数)
2

2. sin

z ? cos2 z ?

_________.

3.函数 sin z 的周期为___________.

f ( z) ?
4.设
?

1 z ? 1 ,则 f ( z ) 的孤立奇点有__________.
2

5.幂级数

? nz
n ?0

n

的收敛半径为__________.

6.若函数 f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.

7.若 n ? ?

lim zn ? ?

z1 ? z2 ? ... ? zn ? n?? n ,则 ______________. lim

Re s(
8.

ez ,0) ? zn ________,其中 n 为自然数.

sin z 的孤立奇点为________ . z lim f ( z ) ? ___ z z ? z0 f ( z ) 10.若 0 是 的极点,则 .
9. 三.计算题(40 分) :

f ( z) ?
1. 设

1 ( z ? 1)(z ? 2) ,求 f ( z ) 在 D ? {z : 0 ?| z |? 1}内的罗朗展式.

2.

1 ?|z|?1 cos z dz.
f ( z) ? ?
C

3. 设

3?2 ? 7? ? 1 d? ??z ,其中

C ? {z :| z |? 3} ,试求 f ' (1 ? i ).

w?
4. 求复数

z ?1 z ? 1 的实部与虚部.

四. 证明题.(20 分) 1. 函数

f ( z ) 在区域 D 内解析. 证明:如果 | f ( z ) | 在 D 内为常数,那么它在 D 内
1

为常数. 2. 试证 : f ( z) ?

z(1 ? z) 在割去线段 0 ? Re z ? 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 ,

并求出支割线 0 ? Re z ? 1 上岸取正值的那支在 z ? ?1 的值. 《复变函数》考试试题(二) 二. 填空题. (20 分) 1. 设

z ? ?i ,则| z |? __, arg z ? __, z ? __
z ?1? i

2.设 f ( z) ? ( x2 ? 2xy) ? i(1 ? sin(x2 ? y 2 ),?z ? x ? iy ? C ,则 lim f ( z ) ? ________.

3.

dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 )n ? _________.( n 为自然数)

4. 幂级数

? nz
n ?0

?

n

的收敛半径为__________ .

5. 若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0 是 f ' ( z ) 的_____零点. 6. 函数 ez 的周期为__________. 7. 方程 2 z ? z ? 3z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为________.
5 3

8. 设 f ( z ) ?

1 ,则 f ( z ) 的孤立奇点有_________. 1 ? z2

9. 函数 f ( z ) ?| z | 的不解析点之集为________.

10.

Res (

z ?1 ,1) ? ____ . 4 z
3

三. 计算题. (40 分) 1. 求函数 sin(2 z ) 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数

z 在正实轴取正实值的

一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点

z ? i 处的值.

3. 计算积分:

I ? ? | z | dz ,积分路径为(1)单位圆(| z |? 1)的右半圆.
?i

i

?
4. 求

sin z
z ?2

(z ? ) 2

?

dz
2
.

四. 证明题. (20 分) 1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析,试证:f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z ) 在 D 内解析.
2

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 《复变函数》考试试题(三) 二. 填空题. (20 分) 1. 设 f ( z ) ?
z

1 ,则 f(z)的定义域为___________. z ?1
2

2. 函数 e 的周期为_________. 3. 若 zn ? 4.

n?2 1 ? i (1 ? ) n ,则 lim z n ? __________. n?? 1? n n

sin 2 z ? cos2 z ? ___________.

5.

dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 )n ? _________.( n 为自然数)

6. 幂级数

? nx
n?0

?

n

的收敛半径为__________.

7. 设 8. 设

f ( z) ?

1 z 2 ? 1 ,则 f(z)的孤立奇点有__________.

e z ? ?1,则 z ? ___ .

9. 若 0 是

z

f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) ? ___ .
z ? z0

10.

ez Res ( n ,0) ? ____ . z
1 2

三. 计算题. (40 分) 1. 将函数 f ( z ) ? z e z 在圆环域 0 ? z ? ? 内展为 Laurent 级数.

2. 试求幂级数

n! n z 的收敛半径. ? n n n?

??

3.

e z dz 算下列积分: ?C z 2 ( z 2 ? 9) ,其中 C 是| z |? 1.
9

4. 求 z

? 2 z 6 ? z 2 ? 8z ? 2 ? 0 在|z|<1 内根的个数.

四. 证明题. (20 分) 1. 函数 为常数.

f ( z ) 在区域 D 内解析. 证明:如果| f ( z ) | 在 D 内为常数,那么它在 D 内

3

2. 设

f ( z ) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n,以及两个正数 R 及 M,使得当
| f ( z ) |? M | z |n ,

| z |? R 时 f ( z ) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题(四) 二. 填空题. (20 分) 1. 设

证明

z?
n??

1 ,则 Re z ? __, Im z ? ___ . 1? i
n??

2. 若 lim z n ? ? ,则 lim

z1 ? z2 ? ... ? zn ? ______________. n

3. 函数 ez 的周期为__________. 4. 函数 f ( z ) ?

1 的幂级数展开式为__________ 1 ? z2

5. 若函数 f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________. 6. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是 D 内的_____________. 7. 设

C :| z |? 1,则 ?C ( z ? 1)dz ? ___ .

8.

9.

sin z 的孤立奇点为________. z 若 z 0 是 f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) ? ___ .
z ? z0

10.

ez Res( n ,0) ? _____________. z

三. 计算题. (40 分)
3 1. 解方程 z ? 1 ? 0 .

ez 2. 设 f ( z ) ? 2 ,求 Re s( f ( z ), ?). z ?1
3.

z ?|z|?2 (9 ? z 2 )(z ? i) dz.

.

4

1 1 ? 4. 函数 f ( z ) ? e ? 1 z 有哪些奇点?各属何类型(若是极点,指明它的阶数).
z

四. 证明题. (20 分)

1. 证明:若函数
4

f ( z ) 在上半平面解析,则函数 f ( z ) 在下半平面解析.

2. 证明 z ? 6 z ? 3 ? 0 方程在 1 ?| z |? 2 内仅有 3 个根.

《复变函数》考试试题(五) 二. 填空题.(20 分) 1. 设 2. 当 3. 设 4.

z ? 1 ? 3i ,则| z |? __, arg z ? __, z ? __ .

z ? ___ 时, e z 为实数.
e z ? ?1,则 z ? ___ .

e z 的周期为___.

5. 设

C :| z |? 1,则 ?C ( z ? 1)dz ? ___ .

6.

ez ?1 Res ( ,0) ? ____ . z
1 的幂级数展开式为_________. 1 ? z2

7. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是 D 内的_____________。 8. 函数 f ( z ) ?

9.

sin z 的孤立奇点为________. z
1 ?C ( z ? a)n dz ? ___ .( n 为自然数)

10. 设 C 是以为 a 心,r 为半径的圆周,则

三. 计算题. (40 分)

z ?1 1. 求复数 的实部与虚部. z ?1
5

2. 计算积分:

I ? ? Re zdz ,
L

在这里 L 表示连接原点到 1 ? i 的直线段. 3. 求积分: I ?
2?

4.

d? ?0 1 ? 2a cos? ? a2 ,其中 0<a<1. 应用儒歇定理求方程 z ? ? ( z ) ,在|z|<1 内根的个数,在这里? ( z ) 在 | z |? 1上

解析,并且

| ? ( z ) |? 1.
f ( z ) ?| z |2 除去在 z ? 0 外,处处不可微.
n,以及两个数 R 及 M,使得当

四. 证明题. (20 分) 1. 证明函数 2. 设

f ( z ) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数

| z |? R 时
| f ( z ) |? M | z |n ,
证明:

f ( z ) 是一个至多 n 次的多项式或一常数.
《复变函数》考试试题(六)

1. 一、填空题(20 分) 1. 2. 3. 4. 5.

n?2 1 ? i (1 ? ) n ,则 lim zn ? ___________. 1? n n 1 设 f ( z) ? 2 ,则 f ( z ) 的定义域为____________________________. z ?1 函数 sin z 的周期为_______________________.
若 zn ?

sin 2 z ? cos 2 z ? _______________________.
幂级数

? nz
n ?0

??

n

的收敛半径为________________.

6. 7. 8.

若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点且 m ? 1 ,则 z0 是 f ?( z ) 的____________零点. 若函数 f ( z ) 在整个复平面处处解析,则称它是______________. 函数 f ( z) ? z 的不解析点之集为__________.

6

9.

方程 2 z ? z ? 3z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为___________.
5 3 ix

10. 公式 e ? cos x ? i sin x 称为_____________________. 二、计算题(30 分)

? 2?i ? 1、 lim ? ? . n?? ? 6 ?
3? 2 ? 7? ? 1 d ? ,其中 C ? ? z : z ? 3? ,试求 f ?(1 ? i) . 2、设 f ( z ) ? ? C ??z
3、设 f ( z ) ?

n

ez ,求 Re s( f ( z ), i ) . z2 ?1

4、求函数

sin z 3 在 0 ? z ? ? 内的罗朗展式. z6
z ?1 的实部与虚部. z ?1

5、求复数 w ? 6、求 e
? i 3

?

的值.

三、证明题(20 分) 1、 方程 z ? 9 z ? 6 z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 6.
7 6 3

2、 若函数 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) 在区域 D 内解析,v( x, y ) 等于常数, 则 f ( z ) 在 D 恒等 于常数. 3、 若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是

1 的 m 阶极点. f ( z)

6.计算下列积分. (8分) (1)

? ?

sin z ( z ? )2 2

z ?2

?

dz ;

(2)

z2 ? 2 ? ? z ?4 z 2 ( z ? 3) dz .

7.计算积分

?

2?

0

d? . (6分) 5 ? 3cos ?

8.求下列幂级数的收敛半径. (6分) (1)

? (1 ? i)n z n ;
n ?1

?

(2)

(n !) 2 n z . ? n n ?1 n

?

7

9. 设 f ( z) ? my3 ? nx2 y ? i( x3 ? lxy 2 ) 为复平面上的解析函数, 试确定 l ,m ,n 的值. (6 分) 三、证明题. 1.设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析, f ( z ) 在区域 D 内也解析,证明 f ( z ) 必为常数. (5分) 2.试证明 az ? az ? b ? 0 的轨迹是一直线,其中 a 为复常数, b 为实常数. (5分) 试卷一至十四参考答案 《复变函数》考试试题(一)参考答案 二.填空题 1. ?

?2? i n ? 1 ; ? 0 n ?1

2. 1;

3.

2k? , (k ? z ) ;

4.

z ? ?i ; 5. 1

6. 整函数; 三.计算题.

7. ? ;

8.

1 ; ( n ? 1)!

9. 0;

10. ? .

1. 解 因为 0 ? z ? 1, 所以 0 ? z ? 1

f ( z) ?

? 1 ? z 1 1 1 ? ? z n ? ? ( )n . ? ? 2 n ?0 2 ( z ? 1)( z ? 2) 1 ? z 2(1 ? z ) n ?0 2

2. 解 因为

Re s f ( z ) ? lim
z?

z?

?
2

?

2

z?

?

2

2 ? lim 1 ? ?1 , cos z z ?? ? sin z z?

?
2

Re s f ( z ) ? lim
z ??

?

2

z ??

?
2

2 ? lim 1 ? 1 . cos z z ?? ? ? sin z

所以

?

1 dz ? 2? i(Re s f ( z) ? Re s f ( z) ? 0 . ? ? z ? 2 cos z z ?? z?
2 2
2

3. 解 令 ? (? ) ? 3? ? 7? ? 1, 则它在 z 平面解析, 由柯西公式有在 z ? 3 内,

f ( z) ? ?

c

? (? ) dz ? 2? i? ( z ) . ??z

所以 f ?(1 ? i) ? 2? i ??( z) z ?1?i ? 2? i(13 ? 6i) ? 2? (?6 ?13i) . 4. 解 令 z ? a ? bi , 则

8

w?

z ?1 2 2a (? 1 ?b i ) 2a (? 1 ) b2 .2 ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 2 2 2 2 2 z ?1 z ?1 (a ? 1 ) ? b ( a ? 1)?b a ( ? 1 )? b z ?1 2(a ? 1) z ?1 2b , Im( . ) ? 1? )? 2 2 z ?1 (a ? 1) ? b z ? 1 (a ? 1)2 ? b 2

故 Re(

四. 证明题. 1. 证明 设在 D 内 f ( z) ? C . 令 f ( z ) ? u ? iv,

则 f ( z) ? u 2 ? v2 ? c2 .

2

两边分别对 x, y 求偏导数, 得

? uu x ? vvx ? 0 ? ?uu y ? vv y ? 0

(1) (2)

因为函数在 D 内解析, 所以 ux ? vy , u y ? ?vx . 代入 (2) 则上述方程组变为

?uu x ? vvx ? 0 . 消去 ux 得, (u 2 ? v2 )vx ? 0 . ? ?vu x ? uvx ? 0
1) 2) 若 u ? v ? 0 , 则 f ( z ) ? 0 为常数.
2 2

若 vx ? 0 , 由方程 (1) (2) 及 C . ? R. 方程有 ux ? 0, u y ? 0 , vy ? 0 .

所以 u ? c1 , v ? c2 . ( c1 , c2 为常数). 所以 f ( z ) ? c1 ? ic2 为常数. 2. 证明 f ( z) ?

z(1? z ) 的支点为 z ? 0,1. 于是割去线段 0 ? Re z ? 1 的 z 平面内变点就

不可能单绕 0 或 1 转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当 z 从支割线上岸一点出发,连续变动到 z ? 0,1 时, 只有 z 的幅角增加 ? . 所以

f ( z) ? z(1 ? z) 的幅角共增加

? . 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分 2
? i ? , 故 f (?1) ? 2e 2 ? 2i . 2

支在上岸之幅角为 0, 因而此分支在 z ? ?1 的幅角为

《复变函数》考试试题(二)参考答案 二. 填空题

9

1.1, ?

?
2

, i;

2. 3 ? (1 ? sin 2)i ;

3. ?

?2? i n ? 1 ; ? 0 n ?1

4. 1; 9. R ;

5. m ? 1 .

6. 2 k? i , (k ? z ) . 三. 计算题

7. 0;

8. ?i ;

10. 0.

(?1)n (2 z 3 )2 n?1 ? (?1)n 22 n?1 z 6 n?3 1. 解 sin(2 z ) ? ? . ?? (2n ? 1)! (2n ? 1)! n ?0 n ?0
3 ?

2. 解 令 z ? re . 则 f ( z) ?

i?

z ? re
i

i

? ? 2 k?
2

,

(k ? 0,1) .

又因为在正实轴去正实值,所以 k ? 0 . 所以 f (i ) ? e
?
4

.

i? 3. 单位圆的右半圆周为 z ? e , ?

?
2

?? ?

?
2

.

所以 4. 解

?

i

?i

z dz ? ? 2? dei? ? ei?
? 2

?

?
2 ?

?
2

? 2i .

?

sin z
z ?2

(z ? ) 2

?

2

dz ? 2?i(sin z )?

z?

? ? 2?i cos z
2

z?

?
2 =0.

四. 证明题. 1. 证明 (必要性) 令 f ( z ) ? c1 ? ic2 ,则 f ( z) ? c1 ? ic2 . ( c1 , c2 为实常数). 令 u( x, y) ? c1 , v( x, y) ? ?c2 . 则 ux ? vy ? uy ? vx ? 0 . 即 u , v 满足 C . ? R. , 且 ux , vy , u y , vx 连续, 故 f ( z ) 在 D 内解析. (充分性) 令 f ( z ) ? u ? iv , 则 f ( z) ? u ? iv , 因为 f ( z ) 与 f ( z ) 在 D 内解析, 所以

ux ? vy , uy ? ?vx , 且 ux ? (?v) y ? ?vy , uy ? ?(?vx ) ? ?vx .
比较等式两边得 ux ? vy ? uy ? vx ? 0 . 从而在 D 内 u , v 均为常数,故 f ( z ) 在 D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 a0 z ? a1z
n n?1

???? ? an?1z ? an ? 0

(a0 ? 0) 有且只有 n 个

根”.

? ? a ? ??? ? an ? ? ,1? , 当 z ???? ? an?1z ? an ? 0 , 取 R ? max ? 1 a0 ? ? ? ? n?1 n?1 n 在 C : z ? R 上时, 有 ? ( z) ? a1 R ????? an?1 R ? an ? ( a1 ????? an )R ? a0 R .
证明 令 f ( z) ? a0 z ? a1 z
n n?1

? f ( z) .
由儒歇定理知在圆 z ? R 内, 方程 a0 z n ? a1z n?1 ???? ? an?1z ? an ? 0 与 a0 z n ? 0 有相

10

同个数的根. 而 a0 z n ? 0 在 z ? R 内有一个 n 重根 z ? 0 . 因此 n 次方程在 z ? R 内有 n 个根.

《复变函数》考试试题(三)参考答案 二.填空题. 1. z z ? ?i, 且z ? C ; 6. 1; 三. 计算题. 1. 解
? 1 1 z ? n?2 . z e ? z (1 ? ? ? ???) ? ? z 2! z 2 n ?0 n ! 1 2 z 2

?

?

2. 2k? i

(k ? z ) ;

3. ?1 ? ei ;

4. 1; 9. ? ;

5. ?

7. ?i ;

8. z ? (2k ? 1)? i ;

?2? i n ? 1 ; ? 0 n ?1 1 10. . ( n ? 1)!

?1 cn n ! (n ? 1n) n? 1 1 2. 解 l i m ? l i mn ? ? lim( n ? ) ? l i mn(? 1e . ) n ?? c n ?? n n ?? n ?? (n ? 1 ) ! n n n ?1 所以收敛半径为 e . ez ez 1 3. 解 令 f ( z ) ? 2 2 , 则 Re s f ( z ) ? 2 ?? . z ? 0 z ( z ? 9) z ? 9 z ?0 9 2? i 故原式 ? 2? i Re s f ( z ) ? ? . z ?0 9 4. 解 令 f ( z) ? z9 ? 2z 6 ? z 2 ? 2 , ? ( z ) ? ?8z . 则在 C : z ? 1上 f ( z )与? ( z ) 均解析, 且 f ( z) ? 6 ? ? ( z) ? 8 , 故由儒歇定理有

N ( f ? ? , C) ? N( ? f? , C ?) . 即在 1 z ? 1 内, 方程只有一个根.
四. 证明题. 1. 证明 证明 设在 D 内 f ( z) ? C .

令 f ( z ) ? u ? iv,

则 f ( z) ? u 2 ? v2 ? c2 .

2

两边分别对 x, y 求偏导数, 得

? uu x ? vvx ? 0 ? ?uu y ? vv y ? 0

(1) (2)

因为函数在 D 内解析, 所以 ux ? vy , u y ? ?vx . 代入 (2) 则上述方程组变为

?uu x ? vvx ? 0 . 消去 ux 得, (u 2 ? v2 )vx ? 0 . ? vu ? uv ? 0 x ? x
1) u ? v ? 0 , 则 f ( z ) ? 0 为常数.
2 2

2)

若 vx ? 0 , 由方程 (1) (2) 及 C . ? R. 方程有 ux ? 0, u y ? 0 , vy ? 0 .

所以 u ? c1 , v ? c2 . ( c1 , c2 为常数).

11

所以 f ( z ) ? c1 ? ic2 为常数.

2. 证明 取 r ? R , 则对一切正整数 k ? n 时, f ( k ) (0) ? 于是由 r 的任意性知对一切 k ? n 均有 f ( k ) (0) ? 0 . 故 f ( z) ?

k! f ( z) k ! Mr n . dz ? 2? ? z ?r z k ?1 rk

?c z
k ?0

n

n n

, 即 f ( z ) 是一个至多 n 次多项式或常数. 《复变函数》考试试题(四)参考答案

. 二. 填空题. 1.

1 1 , ; 2 2

2. ? ; 7. 0;

3. 2k? i 8. z ? 0 ;

(k ? z ) ;

4.

? (?1) z
n ?0

?

n 2n

( z ? 1) ;
10.

5. 整函数;

6. 亚纯函数; 三. 计算题. 1.

9. ? ;

1 . (n ? 1)!

解 : z 3 ? ?1 ? z ? cos

2k? ? ? 2k? ? ? ? i sin 3 3 ? ? 1 3 z1 ? cos ? i sin ? ? i 3 3 2 2 z 2 ? cos? ? i sin ? ? ?1 z 3 ? cos

k ? 0,1,2

5? 5? 1 3 ? i sin ? ? i 3 3 2 2 ez e ez e?1 2. 解 Re s f ( z ) ? . ? , Re s f ( z ) ? ? z ?1 z ? 1 z ?1 2 z ??1 z ? 1 z ??1 ?2
故原式 ? 2? i (Re s f ( z ) ? Re s f ( z )) ? ? i (e ? e ) .
?1 z ?1 z ??1

3. 解 原式 ? 2? i Re s f ( z ) ? 2? i
z ?? i

z 9 ? z2

?
z ?? i

?
5

.

z 1 1 z ? e ?1 ? z z z 4. 解 e ? 1 z = z (e ? 1) ,令 z (e ? 1) ? 0 ,得 z ? 0, z ? 2k?i , k ? ?1,?2,? 1 1 z ? ez ?1 1? ez lim( z ? ) ? lim z ? lim z z ?0 e ? 1 z ?0 (e ? 1) z z ?0 e ? 1 ? ze z z 而

? ez 1 ? lim z ?? z ?0 e ? e z ? ze z 2
z

? z ? 0 为可去奇点

当 z ? 2k?i 时, (k ? 0), z ? e ? 1 ? 0

?(e

z

? 1) z

而 四. 证明题.

?? z ? 2k?i ? e

z

? 1 ? ze z

z ? 2k?i

?0

? z ? 2k?i 为一阶极点.
12

1. 证明 设 F ( z) ? f ( z ) , 在下半平面内任取一点 z0 , z 是下半平面内异于 z0 的点, 考虑
z ? z0

lim

F ( z ) ? F ( z0 ) f ( z ) ? f ( z0 ) f ( z ) ? f ( z0 ) ? lim ? lim . z ? z z ? z 0 0 z ? z0 z ? z0 z ? z0

而 z0 , z 在 上 半 平 面 内 , 已 知 f ( z ) 在 上 半 平 面 解 析 , 因 此 F ?( z0 ) ? f ?( z0 ) , 从 而 在下半平面内解析. F ( z) ? f ( z ) 2. 证明 令 f ( z ) ? ?6 z ? 3 , ? ( z) ? z 4 , 则 f ( z ) 与 ? ( z ) 在全平面解析, 且在 C1 : z ? 2 上, f ( z) ? 15 ? ? ( z) ? 16 , 故在 z ? 2 内 N ( f ? ? , C1 ) ? N (? , C1 ) ? 4 . 在 C2 : z ? 1 上,

f ( z) ? 3 ? ? ( z) ? 1 ,

故在 z ? 1 内 N ( f ? ? , C2 ) ? N ( f , C2 ) ? 1 . 所以 f ? ? 在 1 ? z ? 2 内仅有三个零点, 即原方程在 1 ? z ? 2 内仅有三个根.

13

《复变函数》考试试题(五)参考答案 一. 判断题. 1.√2.√ 3.×4.√5.× 6.× 7.× 8.√ 9.√ 二. 填空题. 1.2, ? , 1 ? 3i ; 3 3. (2k ? 1)? i , (k ? z ) ;
?

10.√.

?

2. a ? 2k? i

(k ? z, a为任意实数) ;
5. 0; 9. 0; 10. ? 6. 0;

4. 2k? i, (k ? z ) ;
n 2n

7. 亚纯函数;

8.

? (?1) z
n ?0

( z ? 1) ;

?2? i n ? 1 . ? 0 n ?1

三. 计算题. 1. 解 令 z ? a ? bi , 则

w?

z ?1 2 2a (? 1 ?b i ) 2a (? 1 ) b2 ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? .2 2 2 2 2 2 z ?1 z ?1 (a ? 1 ) ? b ( a ? 1)?b a ( ? 1 )? b

z ?1 2(a ? 1) z ?1 2b , Im( . ) ? 1? )? 2 2 z ?1 (a ? 1) ? b z ? 1 (a ? 1)2 ? b 2 2. 解 连接原点及 1 ? i 的直线段的参数方程为 z ? (1 ? i)t 0 ? t ?1 , 1 1 1? i 故 ? Re zdz ? ? ?Re[(1 ? i )t ]?(1 ? i )dt ? (1 ? i ) ? tdt ? . c 0 0 2 dz i? 3. 令 z ? e , 则 d? ? . 当a ? 0时 iz ( z ? a)(1 ? az ) 1 ? 2a cos ? ? a 2 ? 1 ? a( z ? z ?1 ) ? a 2 ? , z 1 dz 1 故I ? ? , 且在圆 z ? 1 内 f ( z ) ? 只以 z ? a 为一级极点, i z ?1 ( z ? a)(1 ? az ) ( z ? a )(1 ? az ) 1 1 在 z ? 1上无奇点, 故 Re s f ( z ) ? ? ,(0 ? a ? 1) , 由残数定理有 z ?a 1 ? az z ?a 1 ? a 2 1 2? I ? 2? i Re s f ( z ) ? , (0 ? a ? 1) . z ?a i 1 ? a2 4. 解 令 f ( z ) ? ? z, 则 f ( z ), ? ( z ) 在 z ? 1 内解析, 且在 C : z ? 1上, ? ( z) ? 1 ? f ( z) ,
故 Re( 所以在 z ? 1内, N ( f ? ? , C ) ? N ( f , C ) ? 1 , 即原方程在 z ? 1 内只有一个根. 四. 证明题. 1. 证明 因为 u( x, y) ? x ? y , v( x, y) ? 0 , 故 ux ? 2x, uy ? 2 y, vx ? vy ? 0 .
2 2

这四个偏导数在 z 平面上处处连续, 但只在 z ? 0 处满足 C . ? R. 条件, 故 f ( z ) 只在除了

z ? 0 外处处不可微.
2. 证明 取 r ? R , 则对一切正整数 k ? n 时,

f ( k ) (0) ?

k! f ( z) k ! Mr n . dz ? 2? ? z ?r z k ?1 rk

(k ) 于是由 r 的任意性知对一切 k ? n 均有 f (0) ? 0 .

故 f ( z) ?

?c z
k ?0

n

n n

, 即 f ( z ) 是一个至多 n 次多项式或常数.

14

《复变函数》考试试题(六)参考答案 二、填空题:1. ?1 ? ei 2. z ? ?1 3. 2? 4. 1 6. m ? 1 阶 7. 整函数 8. ? 9. 0 三、计算题: 1. 解:因为

5. 1 10. 欧拉公式

2?i 1 1 5 ? ? ? ? 1, 6 9 36 6
2?i n ) ?0. 6

故 lim(
n ??

2. 解:? 1 ? i ? 2 ? 3,

? f ( z) ?

1 f (? ) d? ? 2? i C ? ? z

??
因此

3? 2 ? 7? ? 1 d ?. C ??z

2 f (? )? 2 ? i (?3 ? ?7 ?

1)

故 f ( z) ? 2? i(3z 2 ? 7 z ? 1)

f ?(1 ? i ) ? 2? i (6 z ? 7) 1?i ? 2? i(13 ? 6i) ? 2? (?6 ? 13i) .

ez ez 1 1 ? ?( ? ) 2 3.解: z ? 1 2 z ? i z ? i

? Re s( f ( z ), i) ?
?

ei . 2

4.解: sin z ?
3

(?1)n ( z 3 )2 n?1 , ? (2n ? 1)! n ?0

?

sin z 3 ? (?1)n 6 n?3 ?? z . z6 n ? 0 (2n ? 1)! z ? 1 x ? 1 ? iy ( x 2 ? y 2 ? 1) ? 2 yi . ? ? z ? 1 z ? 1 ? iy ( x ? 1)2 ? y 2 Im w ? 2y . ( x ? 1)2 ? y 2

5.解:设 z ? x ? iy , 则 w ?

? Re w ?
? i 3

x2 ? y 2 ?1 , ( x ? 1)2 ? y 2

?

6.解: e

? ? 1 ? cos(? ) ? i sin(? ) ? (1 ? 3i). 3 3 2
15

6 7 3 四、1. 证明:设 f ( z ) ? 9 z , ? ( z ) ? z ? 6 z ? 1,

则在 z ? 1上, f ( z ) ? 9, ? ( z ) ? 1 ? 6 ? 1 ? 8, 即有 f ( z) ?

? ( z) .

根据儒歇定理, f ( z ) 与 f ( z ) ? ? ( z ) 在单位圆内有相同个数的零点,而 f ( z ) 的零点个 数为 6,故 z ? 9 z ? 6 z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 6.
7 6 3

2. 证明:设 v( x, y) ? a ? bi ,则 vx ? vy ? 0 , 由于 f ( z ) ? u ? iv 在内 D 解析,因此

?( x , y )? D有

ux ? v y ? 0 ,

u y ? ?vx ? 0 .

于是 u( x, y) ? c ? di 故 f ( z ) ? (a ? c) ? (b ? d )i ,即 f ( z ) 在内 D 恒为常数. 3.证明:由于 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,从而可设

f ( z) ? ( z ? z0 )m g ( z) ,
其中 g ( z ) 在 z0 的某邻域内解析且 g ( z0 ) ? 0 , 于是

1 1 1 ? ? m f ( z ) ( z ? z0 ) g ( z )
1 在内 D1 解析,故 g ( z)

由 g ( z0 ) ? 0 可知存在 z0 的某邻域 D1 ,在 D1 内恒有 g ( z ) ? 0 ,因此

z0 为

1 的 m 阶极点. f ( z)

16


赞助商链接
相关文章:
《复变函数论》试题库及答案
复变函数论》试题库 复变函数论》《复变函数》考试试题(一) 复变函数》考试试题(一、 判断题(20 分) : 1.若 f(z)在 z0 的某个邻域内可导,则函数 ...
《复变函数论》试题库及答案
复变函数论》试题库及答案_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。《复变函数论》试题库复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20 分) : 1.若 f(z)在 ...
复变函数试题及答案
复变函数试题库 14页 免费 复变函数试题及答案 5页 免费 中南大学复变函数考试卷试... 5页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意...
自学考试复变函数试题库
自学考试复变函数试题库_工学_高等教育_教育专区。《复变函数论》试题库梅一 A111 《复变函数》考试试题(一) 1、 dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 )n ...
复变函数测试题及答案
复变函数测试题及答案_工学_高等教育_教育专区。复变函数测验题 第一章 复数与复变函数一、 选择题 1.当 z ? (A) i 1? i 100 75 50 时, z ? z ...
《复变函数论》试题库及答案
复变函数论》试题库及答案 - 《复变函数论》试题库复变函数》考试试题(一) 一、 判断题(20 分) : 1.若 f(z)在 z0 的某个邻域内可导,则函数 ...
复变函数试题与答案
复变函数试题与答案_理学_高等教育_教育专区。复变函数测验题 第一章 复数与复...电路复习题题库 34页 1下载券 电路模拟考试题及答案 11页 1下载券 电路原理...
复变函数试题库
复变函数试题库 - 《复变函数论》试题库 梅一 A111 《复变函数》考试试题(一) 1、 dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 )n ? ___.( n 为...
复变函数试题及答案
复变函数试题及答案_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。一、填空题(每小题 2 分) 1、复数 ? 12 ? 2i 的指数形式是 2、函数 w = 1 2 将 S Z ...
复变函数试题库
复变函数试题库_IT认证_资格考试/认证_教育专区。复变函数一、选择题 1. 设函数 f ( z ) = u( x, y) + iv( x, y) 且 u( x, y) 是区域 D ...
更多相关标签: