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反证法改进课件


思考?
A、B、C三个人,A说B撒谎,B说 C撒谎,C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎,为什么?
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.

反证法:

假设命题结论的反面成立,经过正确 的推理,引

出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法。(归谬法)

反证法的思维方法:正难则反

例题
例1用反证法证明: 如果a>b>0,那么 a > b

证:假设 a > b不成立,则 a ≤ b
若 a = b,则a = b, 与已知a > b矛盾,
若 a < b,则a < b, 与已知a > b矛盾,

故假设不成立,结论 a > b成立。

试一试
1、证明:在 ?ABC 中,若?C 是直角,则 ? B 一 定是锐角。
直角 或______. 钝角 证明:假设结论不成立,则∠B是_____ 直角 时,则_____________ ∠B+ ∠C= 180° 当∠B是_____ 三角形的三个内角和等于180°矛盾; 这与____________________________ 钝角 时,则______________ ∠B+ ∠C>180° 当∠B是_____ 三角形的三个内角和等于180° 矛盾; 这与____________________________ 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.

归纳总结
1、用反证法证题的一般步骤是什么?
(1)假设命题的结论不成立;即假设结论的反面成立 。

(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;

(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确 。

2.应用反证法的情形: (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论. (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题; (4)结论为 “唯一”类命题; 3.用反正法证明时,导出矛盾有那几种可能? (1)与原命题的条件矛盾; (2)与假设矛盾。 (3)与定义、公理、定理、性质矛盾; (4)与客观事实矛盾.

说明:常用的正面叙述词语及其否定:
正面 词语 否定 正面 词语 等于 大于(>) 小于 (<) 是 都是 只有一 个

不等于

小于或 大于或 等于(≤)等于(≥) 不是
任意的 所有的

没有或 不都是 至少有 两个 至多 有n个 任意两 个

至多有 至少有一 一个 个

至少有 否定 两个

一个也 没有

某个

某些

至少有n 某两 +1个 个

例2 求证: 2 是无理数。
证:假设 2是有理数,
m 则存在互质的整数m,n使得 2 = , n
2 2

∴ m = 2n ∴ m = 2n ∴m 2 是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N?)

从而有4k = 2n ,即n = 2k
假设不成立,故

2

2

2

2

∴n2也是偶数,这与m,n互质矛盾!

2

是无理数。

练习、已知a≠0,求证关于x的方程ax=b有 且只有一个根。 证:假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根,
不妨设其中的两根分别为x1,x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b,ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a(x1 - x2) =0 ∵x1 ≠ x2,x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立,结论成立。

练习 π π 2 若 a,b,c 均为实数,且 a=x -2y+ ,b=y -2z+ , 2 3
2

π c=z -2x+ ,求证:a,b,c 至少有一个大于 0. 6
2

[证明]

假设 a,b,c 三个数均不大于 0,

即 a≤0,b≤0,c≤0,则 a+b+c≤0, π 2 π 2 π 又 a+b+c=x -2y+2+y -2z+3+z -2x+6
2

=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0. 与假设矛盾,所以假设不成立.故原命题成立. 即 a,b,c 至少有一个大于 0.

提升训练

? 一、选择题 ? 1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下 列哪些作为条件使用 ( ) ? ①结论相反判断,即假设 ②原命题的结论 ? ③公理、定理、定义等 ④原命题的条件 ? A.①④ B.①②③ ? C.①③④ D.②③ ? [答案] C ? [解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条 件使用,故应选C.

? 2 .命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论 的否定是 ( ) ? A.两个内角是直角 ? B.有三个内角是直角 ? C.至少有两个内角是直角 ? D.没有一个内角是直角 ? [答案] C ? [ 解析 ] “ 最多只有一个 ” 即为 “ 至多一个 ” ,反设应 为“至少有两个”,故应选C.

? ? ? ? ? ? ?

3.如果两个实数之和为正数,则这两个数( ) A.一个是正数,一个是负数 B.两个都是正数 C.至少有一个正数 D.两个都是负数 [答案] C [ 解析 ] 假设两个数都是负数,则两个数之和为负数, 与两个数之和为正数矛盾,所以两个实数至少有一个正 数,故应选C.

? 二、填空题 ? 4 .“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应 是______________________________. ? [答案] 存在一个三角形,其外角最多有一个钝角 ? [ 解析 ] 全称命题的否定形式为特称命题,而“至少有 两个”的否定形式为“至多有一个”.故该命题的否定 为“存在一个三角形,其外角最多有一个钝角”.

题型一 用反证法证明“至多”“至少”型命题 【例 1】 已知 x,y>0,且 x+y>2. 1+x 1+y 求证: , 中至少有一个小于 2. y x [思路探索] 先假设两式都不小于 2,再经过一系列的推理, 得出矛盾结果即可.

证明

1+x 1+y 假设 y , x 都不小于 2,

1+x 1+y 即 ≥2, ≥2. y x ∵x,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x. ∴2+x+y≥2(x+y), 即 x+y≤2 与已知 x+y>2 矛盾. 1+x 1+y ∴ y , x 中至少有一个小于 2.

?

? ? ? ? ? ? ?

【变式 1 】 已知 a , b , c , d ∈ R ,且 a + b = c + d = 1 , ac + bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数. 证明 假设a,b,c,d都是非负数, ∵a+b=c+d=1, ∴(a+b)(c+d)=1. 又∵(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd, ∴ac+bd≤1. 这与已知ac+bd>1矛盾, ∴a,b,c,d中至少有一个是负数.

?

?

? 题型二 用反证法证明不存在、唯一性命题 【例2】 证明:对于直线l:y=kx+1,不存在这样的实数k, 使得l与双曲线C:3x2-y2=1的交点A、B关于直线y=ax(a为 常数)对称. [思路探索] 由于直接证明比较困难,但其反面相对来说较 为容易,故采用反证法证明.

证明

假设存在实数 k,使得 A、B 关于直线 y=ax 对称,设 A(x1,

y1)、B(x2,y2),则有(1)直线 l:y=kx+1 与直线 y=ax 垂直;(2) 点 A、 B 在直线 l: y=kx+1 上; (3)线段 AB 在直线 y=ax 上,所以 ? ?ka=-1 ?y1+y2=k?x1+x2?+2 ② ? ?y1+y2 x1+x2 =a 2 ③ ? 2 ? ①
?x1+x2 y1+y2? ? 的中点? ? 2 , 2 ? ? ?

? ?y=kx+1, 由? 2 2 ? y = 3 x -1, ?

得(3-k2)x2-2kx-2=0.



当 k2=3 时,l 与双曲线仅有一个交点,不合题意. 由②、③得 a(x1+x2)=k(x1+x2)+2 2k 由④知 x1+x2= 2,代入⑤整理得: 3-k ak=3,这与①矛盾. 所以假设不成立,故不存在实数 k,使得 A、B 关于直线 y=ax 对 称. ⑤

? ? ? ? ? ? ? ? ?

【变式2】 求证方程2x=3有且只有一个根. 证明 ∵2x=3,∴x=log23,这说明方程2x=3有根.下面 用反证法证明方程2x=3的根是唯一的: 假设方程2x=3至少有两个根b1,b2(b1≠b2), 则2b1=3,2b2=3, 两式相除得2b1-b2=1. 若b1-b2>0,则2b1-b2>1,这与2b1-b2=1相矛盾. 若b1-b2<0,则2b1-b2<1,这也与2b1-b2=1相矛盾. ∴b1-b2=0,则b1=b2. ∴假设不成立,从而原命题得证.

题型三

用反证法证明否定性命题

【例 3】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2)设 bn= n (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不 可能成为等比数列. 第(1) 问考查等差数列的通项公式与前 n 项和公 1 式, 应用 an=a1+(n-1)d 和 Sn=na1+2n(n-1)d 两式求解. 第 (2)问先假设任三项 bp、bq、br 成等比数列,再用反证法证明.

[规范解答] (1)设公差为 d,由已知得
? ?a1= 2+1, ? ? ?3a1+3d=9+3

2,

(4 分)

∴d=2,故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2).(6 分) Sn (2)证明 由(1)得 bn= n =n+ 2. 假设数列{bn}中存在三项 bp、 bq、 br(p、 q、 r 互不相等)成等比数列, 则 b2 q=bpbr,(8 分) 即(q+ 2)2=(p+ 2)(r+ 2),

∴(q2-pr)+(2q-p-r) 2=0. ∵p,q,r∈N*,
2 ? ?q -pr=0, ∴? ? ?2q-p-r=0,

?p+r? ?2 2 ∴? = pr , ( p - r ) =0, ? 2 ? ? ?

∴p=r,这与 p≠r 矛盾.(10 分) 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(12 分)

x-2 【变式 3】 已知 f(x)=a + (a>1),证明方程 f(x)=0 没有负数根. x+1
x

证明 假设 x0 是 f(x)=0 的负数根, x0-2 则 x0<0 且 x0≠-1 且 ax0=- , x0+1 x0-2 由 0<ax0<1?0<- <1, x0+1 1 解得2<x0<2,这与 x0<0 矛盾,所以假设不成立, 故方程 f(x)=0 没有负数根.

?

? ? ? ? ?

? 误区警示 不理解题意而致错 【示例】 已知a,b,c是互不相等的非零实数.求证:三个方 程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有 一个方程有两个相异实根. [错解] 假设三个方程都没有两个相异实根, 则Δ1=4b2-4ac<0,Δ2=4c2-4ab<0,Δ3=4a2-4bc<0, 相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2<0,(*) 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2<0,此不等式不能成立, 所以假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相 异实根.

? 上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就 有Δ<0”,事实上,“方程没有两个相异实根时Δ≤0”. ?[正解] 假设三个方程都没有两个相异实根, ?则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0. ?相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0, ?即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,(*) ?由题意a,b,c互不相等,所以(*)式不能成立. ?所以假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实 根.

方法小结:
? 1.反证法 ? 假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下,结 论不成立) ,经过正确的推理,最后得出矛盾, 因此说明 假设错误,从而证明了 原命题成立 , 这种证明方法叫做反证法. ? 2.反证法常见矛盾类型 ? 在反证法中,经过正确的推理后“得出矛盾”, 数学公理 所得矛盾主要是指与已知条件矛盾,与 、 公式 、 定义 定理 已被证明了的结论 矛 、 或 盾,与 公认的简单事实 矛盾.

3.反证法证明命题的一般步骤如下:

1.假设结论的反面成立; 反设 2.由这个假设 出发 , 经过正确的推理 , 归谬 .. 导出矛盾; 推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).

3. 由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定 结论 命题的结论正确 .

4.运用好反证法的另一个关键是正确对结论进行否定 原结 论词 反设 词
大于(>) 小于(<) 都是 都不是 至少n个 至多n个

不大于 (≤)

不小于 (≥)

不都 是

至少有一 个是

至多n- 至少 1个 n+1个

原结论 有无穷多个 词 反设词 只有有限多 个

存在唯一的 不存在或至少存 在两个

对任意p,使…恒成 立 至少有一个p,使… 不成立


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