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立体几何之点线面之间的位置关系


立体几何之点线面之间的位置关系(一)
空间图形的关系

空间基本关系与公理

平行关系

垂直关系

公理

点、线、面的位置关系

判定

性质

应用

判定

性质

应用

1、公理 (1)公理 1:对直线 a 和平面α ,若点 A、B∈a , A、B∈α ,则 (2)公理 2:若两个平面α 、β 有一个公共点 P,则α 、β 有且只有一条过 点 P 的公共直线 a (3)公理 3: 不共线的三点可确定一个平面 推论:① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 (4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同, 那么这两个角相等. 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ 的范围是 00<θ ≤900

练习
1、已知直线 l1 、 l 2 和 l 3 两两相交,且三线不共点. 求证:直线 l1 、 l 2 和 l 3 在同一平面上.
? C l2 A l1 l3 B

2、三个平面将空间分成 k 个部分,求 k 的可能取值. 分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论, 按条件可将三个平面位置情况分 为 5 种:(1)三个平面相互平行 (2)两个平面相互平行且与第三个平面相交 (3)三个平面两两相交且交线重合 (4)三个平面两两相交且交线平行 (5)三个平面两两相交且交线共
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3、如图所示,O1 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的上底面的中心,G 是对角线 A1C 和截 面 B1D1A 的交点,求证:O1、G、A 三点共线。

4、已知棱长为 a 的正方体 求证:四边形 是梯形。

中,M、N 分别为 CD、AD 中点。

A 5、 如图, 是平面 BCD 外的一点 G , H 分别是 ?ABC, ?ACD 的重心,

A

求证: GH // BD .

G B M

H D N C

6、如图,已知不共面的直线 a, b, c 相交于 O 点,M , P 是直线 a 上的两点,N , Q 分 别是 b, c 上的一点 求证: MN 和 PQ 是异面直线 a P M
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

?

O N

Q b

c

7、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则棱 A1B1 所在直线与面对角线 BC1 所 在直线间的距离是
D1 A1 D A B C1 B1 C

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立体几何之点线面之间的位置关系(二)
直线与平面平行、平面与平面平行 1、 直线与平面的位置关系:平行、相交、在平面内

2、 直线和平面平行的判定及性质
(1) 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这 个平面平行。 (简述为线线平行 线面平行) (2) 性质 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线就和交线平行。(简述为线面平行 线线平行) 3、 两个平面的位置关系:平行、相交 4、 两个平面平行的判定与性质 (1) 判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平 行。 (2) 性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的 部分.叫做这两个平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的 距离

练习
1、 如图,在三棱锥 P-ABC 中,点Ο 、D 分别是 AC、PC 的中点,求证: OD//平面 PAB
P

D

A O

C

B

2、 如图在四棱锥 P-ABCD 中,M、N 分别是 AB,PC 的中点,若 ABCD 是平行四边形, 求证:MN//平面 PAD
P

j E N

D

C

A

M

B

3、如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中,求证:平面 A1 BD//平面 CB1 D1
D1 C1

A1 D

B1 C

A

B

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4、如图在直三棱柱ABC ? A1B1C1中,B1C1 ? A1C1, AC1 ? A1B, M 、N分别是A1B1, AB的中点。 求证 : 平面AMC1 / /平面NB1C
A1 M B1 C1

A N B

C

5、在正方体ABCD ? A1B1C1D1中,M 、N、P分别是CC1、BC、CD的中点。 求证 : 平面MNP / /平面AB1D1
D1 C1

A1

B1 M

D

P N

C

A

B

6、在正方形

中,已知正方体的棱长为

,M、N 分别在其对角线 AD1

与 DB 上,若 AM=BN=x。 (1)求证:MN//平面 CDD1 C1 ; (2)设 MN=y,求 y=f(x)的表达式; (3)求 MN 的最小值,并求此时 x 的值; (4)求 AD1 与 BD 所成的角。

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立体几何之点线面之间的位置关系(三)
直线与平面垂直、平面与平面垂直 1、线面垂直的定义 如果直线 l 和平面α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面α 垂直, 记作 l⊥α 。 2、线面垂直的判定及性质 (1) 判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线就垂直于这个 平面。 (2)性质 垂直于同一平面的两条直线平行。 3、线面角 直线和平面所成的角的定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这 条直线和这个平面所成的角。 特别地, 如果一条直线垂直于平面, 我们说它们所成的角为直角; 一条直线和平面平行, 或在平面内,我们说它们所成的角是 0°的角, 4、二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的 棱,这两个半平面叫做二面角的面,如图所示,即为一个二面角α —l—β 。

二面角的取值范围是 。 5、 面面垂直的判定及性质 (1) 判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 简述为“线面垂直,则面面垂直” 。

(2) 性质 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直
于另一个平面。

练习
1、在正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中,求证:A1 C⊥平面 BC1 D.
B A C D

A1 B1 C1

D1

2、12. 如图, 在直三棱柱 ABC-A1 B1 C1 中, AC=3,BC=4,AB=5,AA1 =4,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1 ; (II)求证:AC 1 //平面 CDB1 ; (III)求异面直线 AC1 与 B1 C 所成角的余弦值.

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C 3、如图所示,直三棱柱 ABC-A1 B1 C1 ,底面 ABC 中, CA=CB=1,∠BCA=90 ,棱 AA1 =2,M,N 分别是 A1 B1 ,A1 A 的中点。 (1)求 BN 的长; (2)求 BA1 ,B1C 夹角的余弦值; (3)求证 A1 B⊥C1 M A


B M
1

1

A1

N C B

4、已知四 棱锥 P-ABCD 的底面 为直角梯 形,AB ∥DC,

?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD,且 PA=AD=DC= 1 AB =1,M 2
是 PB 的中点。 证明:面 PAD⊥面 PCD

5、已知四棱锥 P—ABCD,底面 ABCD 是菱形, ?DAB ? 60?, PD ? 平面 ABCD,PD=AD,点 E 为 AB 中点,点 F 为 PD 中点.(1)证明平面 PED⊥平面 PAB; (2)求二面角 P—AB—F 的 平面角的余弦值.

例 1. 如图所示,在斜边为 AB 的 Rt△ABC 中,过 A 作 PA⊥平面 ABC,AM⊥PB 于 M,AN⊥PC 于 N。 (1)求证:BC⊥面 PAC; (2)求证:PB⊥面 AMN; (3)若 PA=AB=4,设∠BPC=θ ,试用 tanθ 表示△AMN 的面积,当 tanθ 取何值时,△ AMN 的面积最大?最大面积是多少?

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【空间中的平行问题】
(1)直线与平面平行的判定及其性质
①线面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 (线线平行→线面平行) ②线面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相 交,那么这条直线和交线平行。 (线面平行→线线平行)

(2)平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理: ①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行 (线面平行→ 面面平行) ②如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面 面平行) ③垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理: ①如果两个平面平行, 那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面平行) ②如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行)

【空间中的垂直问题】
(1)线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直: 如果两条异面直线所成的角是直角, 就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直: 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直, 就说这条直线和这个平面垂 直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形)是直二面角(平面角是直角) ,就说这两个平面垂直。

(2)垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理: 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一 个平面。

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立体几何
空间几何体部分主要考察三视图、 几何体的表面积与体积的计算等, 其中三视图是高考考察 的热点,每年都有考察,难度逐渐加大。 点、线、面之间的位置关系主要包括点线面之间的位置关系及线面、面面平行的判定与性质 和线面、 面面垂直的判定和性质高考考察本部分内容比较稳定, 通常是一大一小, 难度中等, 主要考察求角的问题及线线、线面、面面的平行与垂直等。

本章知识结构:

重点知识回顾
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1、空间几何体的结构特征 (1)棱柱:有两个面相互平行,其余各面是平行四边形,并且每相邻两个四边形的公共 边都相互平行 棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共定点的三角形 棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 (2)圆柱、圆锥、圆台、球 2、空间几何体的侧面积、表面积 棱柱、圆柱、圆锥、圆台、球 圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( A. ? S B. 2?S C. 4?S D. )

2 3 ?S 3

3、空间几何体的体积 棱柱、棱锥、圆锥、球 将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球,则该球的体积为( A. )

3 ? 2

B.

2 ? 3

C.

? 6

D.

4? 3

4.空间几何体的三视图和直观图 (2010 陕西文数) 8.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积是 (A)2 (B)1

(C)

2 3

(D)

1 3

(2010 安徽文数) (9)一个几何体的三视图如图,该几何 体的表面积是 (A)372 (C)292 (B)360 (D)280

5.公理 公理 1.如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线 上所有的点都在这个平面内 公理 2.过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 公理 3.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线 6.线线位置关系 (1)空间直线位置分三种:平行、相交、异面 (2)异面直线判定定理:不同在任意一个平面内的两条直线是一面直线;取值范围 (3)平行公理:平行于同一直线的两条直线平行 (4)等角定理:如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行,那么这两个角相等或互补 7. 直线与平面平行、直线与平面垂直. (1)空间直线与平面位置分三种:在平面内、相交、平行
第 9 页(共 10 页)

(2)直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则认为 这条直线平行于这个平面 (3)直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,则过该直线的任一个平面 与此平面的交线和该直线平行 (4)直线与平面垂直判定定理:一条直线和平面内的两条相交直线垂直 (5)直线和平面垂直性质定理:垂直于同一平面的两条直线相互平行 设 ? , ? , ? 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列命题 ①若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? ; ③若 l ? ? ,l // ? , 则? ? ? 其中正确的命题是 ( A.①② ) C.②④ D.③④

②若 l 上两点到? 的距离相等,则 l // ? ; ④若 ? // ? , l ? ? , 且l // ? , 则l // ? .

B.②③

(2010 浙江理数) (6)设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 (A)若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? (C)若 l //? , m ? ? ,则 l //m 8. 平面平行与平面垂直. (1)二面角的相关概念:a.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 b.在二面 角的棱上任取一点, 以此点为垂足在两个半平面内分别做射线垂直于棱, 所组成的角叫平面 角;如果两个平面所称的二面角为直二面角,则两平面垂直 (2)空间两个平面的位置关系:相交或平行 (3)平面平行判定定理:一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行 (4)两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则两交线平行 (5)两个平面垂直性质判定:如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直 (6)两个平面垂直性质定理:如果连个平面垂直,那么一个平面内垂直于他们交线的直线 与另一个平面垂直 (2009 年广东卷文)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
.

(B)若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? (D)若 l //? , m//? ,则 l //m

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ ) B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?

4.(2009 浙江卷文)设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ?

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