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2016


3.1.1 数系的扩充和复数的概念
学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.(2016·泰安高二检测)-(2- 2i)的虚部是( A.-2 C. 2 【解析】 ∵-(2- 2i)=-2+ 2i, ∴其虚部是 2. 【答案】 C 2.如果 C,R,I 分别表示复数集,实数集和纯虚数集,其中 C 为全集,则( A.C=R∪I C.R=C∩I B.R∪I={0} D.R∩I=? ) B.- 2 D.2 )

【解析】 复数包括实数与虚数,所以实数集与纯虚数集无交集.∴R∩I=?,故选 D. 【答案】 D 3.(2016·肇庆高二检测)若 xi-i =y+2i,x,y∈R,则复数 x+yi=( A.-2+i C.1-2i
2 2 2

)

B.2+i D.1+2i

【解析】 由 i =-1,得 xi-i =1+xi,则由题意得 1+xi=y+2i,根据复数相等 的充要条件得 x=2,y=1,故 x+yi=2+i. 【答案】 B 4.下列命题中,正确命题的个数是( )

①若 x,y∈C,则 x+yi=1+i 的充要条件是 x=y=1; ②若 a,b∈R 且 a>b,则 a+i>b+i; ③若 x +y =0,则 x=y=0. A.0 C.2 B.1 D.3
2 2

【解析】 对于①,由于 x,y∈C,所以 x,y 不一定是 x+yi 的实部和虚部,故①是 假命题; 对于②,由于两个虚数不能比较大小,故②是假命题; ③是假命题,如 1 +i =0,但 1≠0,i≠0. 【答案】 A
2 2

1

5.复数 i-2 的虚部是( A.i C.1

) B.-2 D.2

【解析】 i-2=-2+i,因此虚部是 1. 【答案】 C 二、填空题 6. 设 i 为虚数单位, 若复数 z=(m +2m-3)+(m-1)i 是纯虚数, 则实数 m=__________. 【解析】
? ?m +2m-3=0, 依题意有? ?m-1≠0, ?
2 2

解得 m=-3.

【答案】 -3 7.以 3i- 2的虚部为实部,以 3i + 2i 的实部为虚部的复数是__________. 【解析】 3i- 2的虚部为 3,3i + 2i=-3+ 2i 的实部为-3,所以所求的复数是 3-3i. 【答案】 3-3i 8.有下列说法: ①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等; ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等; ③1-ai(a∈R)是一个复数; ④纯虚数的平方不小于 0; ⑤-1 的平方根只有一个,即为-i; ⑥i 是方程 x -1=0 的一个根; ⑦ 2i 是一个无理数. 其中正确的有________(填序号). 【解析】 若两个复数相等,则有它们的实部、 虚部均相等,故①正确;若虚部不相等, 则两个复数一定不相等,故②正确;因满足形如 a+bi(a,b∈R)的数均为复数,故③正确; 纯虚数的平方,如 i =-1,故④错误;-1 的平方根不止一个,因为(±i) =-1,故⑤错 误;∵i -1=0 成立,故⑥正确; 2i 是虚数,而且是纯虚数,故⑦错误.综上,①②③ ⑥正确. 【答案】 ①②③⑥ 三、解答题 9.已知复数 z=(m +3m+2)+(m -m-6)i,则当实数 m 为何值时,复数 z (1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数. 【解】 z=(m +3m+2)+(m -m-6)i. (1)令 m -m-6=0? m=3 或 m=-2,即 m=3 或 m=-2 时,z 为实数.
2
2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2

(2)令 m -m-6≠0,解得 m≠-2 且 m≠3,所以 m≠-2 且 m≠3 时,z 是虚数.
?m +3m+2=0, ? (3)由? 2 ?m -m-6≠0, ?
2

2

解得 m=-1,

所以 m=-1 时,z 是纯虚数. 10.已知 M={1,(m -2m)+(m +m-2)i},P={-1,1,4i},若 M∪P=P,求实数 m 的值. 【解】 ∵M∪P=P,∴M? P, 即(m -2m)+(m +m-2)i=-1 或(m -2m)+(m +m-2)i=4i. 由(m -2m)+(m +m-2)i=-1, 得?
?m -2m=-1, ? ? ?m +m-2=0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

解得 m=1;

由(m -2m)+(m +m-2)i=4i,
?m -2m=0, ? 得? 2 ?m +m-2=4, ?
2

解得 m=2.

综上可知,m=1 或 m=2. [能力提升] 3? ? 4? π? ? ? 1.若复数 z=?sin θ - ?+?cos θ - ?i 是纯虚数,则 tan?θ - ?的值为( 5 5 4? ? ? ? ? ? )

A.-7 C.7 【解析】 ∵复数 z 是纯虚数, 3 ? ?sin θ -5=0, ∴? 4 ? ?cos θ -5≠0, sin θ 3 ∴tan θ = =- . cos θ 4

1 B.- 7 1 D.-7 或- 7

3 4 4 ∴sin θ = 且 cos θ ≠ ,∴cos θ =- . 5 5 5

3 - -1 4 π ? tan θ -1 ? ∴tan?θ - ?= = =-7,故选 A. 4 1 + tan θ 3 ? ? 1- 4 【答案】 A 2.已知关于 x 的方程 x +(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根 n,且 z=m+ni,则复数
3
2

z=(

) B.3-i D.-3+i
2

A.3+i C.-3-i

【解析】 由题意,知 n +(m+2i)n+2+2i=0, 即 n +mn+2+(2n+2)i=0,
? ?n +mn+2=0, 所以? ?2n+2=0, ?
2 2

解得?

? ?m=3, ?n=-1, ?

所以 z=3-i. 【答案】 B 3.设复数 z= 1

m+5

+(m +2m-15)i 为实数,则实数 m 的值是__________.
2

2

【解析】 解得 m=3.

?m +2m-15=0, ? 依题意有? ?m+5≠0, ?

【答案】 3 1 2 4.如果 log (m+n)-(m -3m)i>-1,求自然数 m,n 的值. 2 1 1 2 2 【解】 因为 log (m+n)-(m -3m)i>-1,所以 log (m+n)-(m -3m)i 是实数,从 2 2

m -3m=0, ? ? 而有? 1 log ?m+n?>-1, ? ? 2
由①得 m=0 或 m=3,

2

① ②

当 m=0 时,代入②得 n<2,又 m+n>0,所以 n=1; 当 m=3 时,代入②得 n<-1,与 n 是自然数矛盾. 综上可得,m=0,n=1.

4


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