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清华附中高三数学(理)2016.3零模试题


2016.3 清华附中高三年级零模试题 数学(理科)
第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ?1, 2,3, 4,5? , B ? x ? R x ? 2 ,则途中阴影部分表示的集合 为() A. ?0,1? B.

?1, 2? C. ?1? D. ?0,1,2?
2

?

?

2.已知 a , b 为非零实数, z ? a ? bi , “ z 为纯虚数”是“ a =b ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 3.在极坐标系中,过点(2,A. ? cos? ? 3 C.充要条件 D.既不必要也不充分条件

? )且平行于极轴的直线方程是 6
C. ? sin ? ? 1 D. ? sin ? ? ?1 开始

B. ? cos? ? ? 3

4.阅读右侧程序框图,为使得输出的数据为 31,则①处应填的数字为: A.4 B.5 C.6 D.7

s ? 1, i ? 1
i ? __


5.若函数 f ( x ) ? sin( x ?

?
3

) 的图像上所有的点的横坐标扩大到原来的



输出 s
i

两倍,纵坐标不变。则得到的图像所对应的函数解析式为

s ? s?2
C.

1 ? A. f ( x ) ? sin( x ? ) 2 3 f ( x) ? sin(2 x ?

1 ? B. f ( x) ? sin( x ? ) 2 6

结束

i ? i ?1

2? ? ) D. f ( x) ? sin(2 x ? ) 3 3

6.某企业生产甲乙两种产品,已知生产每吨甲产品需要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨,生产每

吨乙产品需要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可以获得利润 5 万元,每吨乙产 品可以获得利润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨,那么企业可以获得最大利润是: A.12 B.20 C.25 D.27

7.已知 a ? b ? 2 , a?b ? ?2 ,则 a ? tb (t ? R) 的最小值为

?

?

?? ?

?

?

A. 1

B. 3

C.

2 3 3

D. 2

8.在 6 枚硬币 A, B, C , D, E, F 中,有 5 枚是真币,一枚是假币,5 枚真币重量相同,假币与 真币的主要不同,现称得 A 和 B 共重 10 克, C , D 共重 11 克, A, C , E 共重 16 克,则假币 为: A. A B. B C. C D. D

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9.双曲线

x2 ? y 2 ? 1的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点重合,该曲线的渐近线为_______ m

10.在 ?ABC 中, a ? 7, b ? 8, A ?

?
3

,则边 c ? ___

11.如图, BC 是半径为 2 的圆 o 的直径,点 P 在 BC 的延长线上, PA 是圆 o 的切线,点 A 在直径 BC 的射影是 OC 的中点,则 ?ABP ? ____ , PB ? PC ? ____ 12.若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱体积为______

2
正视图

A

2 3
左视图

B

O

D

P

俯视图

12 无重复地填在下图的 12 个空格中,要求每一行的数从左到右逐渐增大, 13.将 1, 2,3,……
每一列的数从上到下逐渐增大,且 5 和 6 已经填好,固定在图中的位置上时,符号要求的填 法共有________种。

5

6

14. 对 于 给 定 的 非 空 集 合 , 其 最 大 元 素 最 小 元 素 的 和 称 为 该 集 合 的 “ 特 征 值 ” ,

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 都含有 20 个元素,且 A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? A5 ? ? x ? N * x ? 100? ,则这 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 的“特征值”之和的最小值为__________

三、计算题(共 6 道题,共 80 分) 15.函数 f ( x) ? cos(? x ? ? )(0 ? ? ? (1)写出 ?和x0 的值。 (2)设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 在区间 ? ? 最小值。 16.在某大学自主招生考试中,所有报选Ⅱ类志向的 8000 名考生全部参加了“数学与逻辑” 和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分别为 A, B, C , D, E 五个等级.随机抽取了若干名 考生两科的考试成绩数据作为样本,统计如下图所示,其中, “数学与逻辑”科目成绩为 B 的考生有 10 人。 (13 分) (1)试估计考试中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数。 (2)若等级 A, B, C , D, E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分。 ①根据样本数据,试估计考生“数学与逻辑”科目的平均分。 ②若某考场共有 10 人得分大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分,从这 10 个人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望。

?
2

) 的部分图像如图所示(13 分)

1 3

? ? ?? 上的最大值和 , ? 2 3? ?

BE 与 17.如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 面ABCD , AF //DE , DE =3AF ,E
面 ABCD 所成角为 60°. (1)求证: AC ? 面BDE (2)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值 (3)设点 M 是线段 BD 上的一个动点,试确定的位置,使得 AM //BEF , 并证明你的结论。

D
F A B

C

x

18、已知函数f (x) ? e a (x 2 ? 3ax ? a 2 )(a ? 0) (1)求函数 f(x)的单调区间 (2)函数f (x)在(-?, +?)上是否存在最小值,若存在,求出该最小值; 若不存在,请说明理由

19、在平面直角坐标系xoy中,椭圆C的中心在原点,焦点F1 , F2 在x轴上,焦距为2 2,P是 椭圆上一动点,?PF1 F2的面积最大值为2 (1)求椭圆的标准方程 求证:?1 +?2 为定值 ?? ? ???? ? ??? ? ???? ? (2)过点 M (1,0)的直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于点N,若NA=?1 AM , NB ? ?2 BM ,

20、已知数列An : a1 , a2 ,..., an (n ? N ? , n ? 2)满足a1 ? an ? 0,
2 当2 ? k ? n(k ? N ? )时,(a k -a k ?1) ? 1, 令S(A n )=? ai i ?1 n

(1)直接写出S(A5 )的所有可能的值 (2)求证:S(A 2 K ?1 )的最大值为k 2 , 其中 k ? N ? (3)记S (An)的所有可能的值构成的集合为? n,若0 ? ? n,求出n(n ? 2)的所有取值构成的集合。

2016.3 清华附中高三年级零模试题答案 数学(理科)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 B 5 A 6 D 7 B 8 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
题号 答案 9 10 11 12 13 14

? 3 3或5 ,12 x 3 6 三、计算题(共 6 道题,共 80 分)
y??
15.(Ⅰ)由图像可知 f (0) ?

8 3

9

315

? ? 3 3 ,代入 f ( x ) 中得 cos ? ? ,且 ? ? (0, ) ?? ? 2 6 2 2

对于 x0 满足 cos(? x0 ?

?
6

)?

? ? ? 3 ,可得 ? x0 ? ? ? 2k? 或- ? 2k? 6 6 6 2

结合图像,得到 x0 ?

5 3 1 3

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ) ? cos(? x ?

?

1 ? ) ? cos[? ( x ? ) ? ] 6 3 6

? cos(? x ? ) ? cos(? x ? ) 6 2
? 3 3 cos ? x ? sin ? x 2 2

?

?

? ? 3 sin(? x ? ) 6
当 x ? [?

?

1 1 ? 2? ? 3 , ] 时, (? x ? ) ? [? , ] ,从而得到 g ( x) ?[? , 3] 2 3 6 3 6 2
3 ,最大值为 3 2

所以, g ( x) 的最小值为 ?

16.(Ⅰ)从“数学与逻辑”的统计图可以得到抽取的总人数为: 从而“阅读与表达”科目成绩为 A 的人数为:

10 ? 40 (人) 0.075

40 ? (1 ? 0.025 ? 0.150 ? 0.375 ? 0.375) ? 3 (人)
(Ⅱ) (i)根据样本数据,可以得到“数学与逻辑”科目的平均分为:

8 ?1+4 ? 2+15 ? 3+10 ? 4+5 ? 3 =2.9 (分) 40
17, 18, 19, 20 (ii)记“两人成绩之和”为 X ,则 X 的可能取值为 16,
则 P( x ? 16) ?
2 1 1 2 1 1 C6 C6 C2 12 C2 ? C2 C6 13 15 ? P ( x ? 17) ? ? P ( x ? 18) ? ? 2 2 2 C10 45 C10 45 C10 45

1 1 2 C2 C2 4 C2 1 P( x ? 19) ? 2 ? P( x ? 20) ? 2 ? C10 45 C10 45

则 X 的分布列为:

X

16

17

18

19

20

P( X )

15 45

12 45

13 45

4 45

1 45

? EX ? 16 ?

15 1 86 ? …… ? 20 ? ? 45 45 5
E

17.(Ⅰ)? DE ? 面ABCD ,又 AC ? 面ABCD

? DE ? AC
又面 ABCD 为正方形,? AC ? BD

DE ? BD ? D , ? AC ? 面BDE F
A

D

C

B

(Ⅱ)根据题意及结合(Ⅰ)可如图建立空间直角坐标系 由 BE 与面 ABCD 所成角为 60°,且面 ABCD 为边长为 3 的正方形.

? DE ? 3 6
??? ? ??? ? A(3, 0, 0) B(3,3, 0) C (0,3, 0) E(0,0,3 6) , BE ? (?3, ?3,3 6) BF ? (0, ?3, 6)
根据(Ⅰ)可知面 BDE 的一个法向量为 CA ? (3, ?3,0) , , 设面 BEF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z)

??? ?

?

? ??? ? ? ? ? ?n ? BE ? 0 ?( x, y, z )(?3, ?3,3 6) ? 0 ? 令 ,得 z ? 6 n ? (4, 2, 6) ? ??? ? ? ? n ? BF ? 0 ( x , y , z )(0, ? 3, 6) ? 0 ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? n ? CA 13 即为所求. ? CA 与 n 的夹角的余弦值为: cos ? ? ??? ? ? ? 13 CA ? n
(Ⅲ)由题干可以设 M (a, a,0) ,则 AM ? (a ? 3, a,0) 由(Ⅱ)得面 BEF 的 n ? (4, 2, 6) ,当 AM //面BEF 时, AM ? n

???? ?

?

???? ?

?

???? ? ? ? AM ? n ? 0 代入得 a ? 2
即 M 为 BD 靠近 B 点的三等分点 18.
x

解:f (x) ? e a (x 2 ? 3ax ? a 2 ) f ' (x) ?
x

1 a 2 e (x ? 3ax ? a 2 ) ? e a (2 x ? 3a) a

x

x

1 ? e a (x ? 2 a)(x ? a) a 令 f ' (x)=0,得x ? 2a或x ? ? a 列表
x
-a 2a

f '( x) f ( x)

+

0

?

0 极小

?

?

极大值

?



?

? 单增区间为(-?,-a)(2a,+?),单减区间(-a,2a) (2)存在 因为 lim x 2 ? 3ax ? a 2
? x a x ???

?0

e x ? 2a时,f (x)有极小值且f(2a)=e2 (4 a 2 ? 6 a 2 ? a 2 ) ? ? a 2 e2 ? 0 f (x)在(-?,-a)(2a,+?)上单增,在(-a,2a)上单减 所以存在最小值,最小值为 ? a 2 e2

19

(1)设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 2

因为焦距为2 2,所以c ? 所以S?PF1F2 ?

当点P在短轴的顶点时,P到F1 F2的距离最大,所以此时?PF1 F2的面积最大 1 .2c.b=2,所以 b= 2 2 因为a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4, 所以a 2 ? 4 所以椭圆方程为 x2 y2 ? ?1 42 22 (2)证明:依题意,直线l的效率存在,可设为k,则直线l:y=k(x-1) x2 ? 2 y2 ? 4 ? 0 y ? k (x ? 1)

设A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ) 联立{ 消y 得

(2k 2 +1)x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 显然? ? 0, 且 4k 2 2k 2 ? 4 , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 因为直线l交y轴于点N , 随意N (0, -k) ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? 所以 AM ? (1 ? x1 , ? y1 ), NA ? (x1 , k ? y1 )且 NA ? ?1 AM x1 ? x2 ? 所以x1 ? ?1 (1 ? x1 ), 所以?1 = 同理?2 = x2 1 ? x2 x1 x2 (x1 ? x2) -2x1 x2 8 + = =1 ? x1 1 ? x 2 1-(x1 ? x2) +x1 x2 3 8 3 x1 1 ? x1

所以?1 +?2 =

即?1 +?2 为定值是20.

(1)由题设,满足条件的数列A 5的所有可能情况有: 0,1, 2,1, 0.此时S(A 5 )=4 0, 1,, 0 1,此时 0 S(A 5 )=2 0.1.0, -1,0此时S(A 5 )=0 0, -1, -2, -1,0此时S(A 5 )=-4 0, -1,0,1,0此时S(A 5 )=0 0, -1,0, -1,0此时S(A 5 )=-2
2 (2)由(a k -a k ?1) ? 1,可设a k ? ak ?1 ? ck ?1 , 则ck ?1 =1或ck ?1 =-1 (2 ? k ? n, k ? N? )

因为a n ? an ?1 ? cn ?1 , 所以a n =an ?1 +cn ?1 =an ? 2 +cn ? 2 +cn ?1 =...=a1 ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? 2 ? cn ?1 因为a1 ? an ? 0,所以c1 ? c2 ? ... ? cn ? 2 ? cn ?1 =0 n ?1 n ?1 个1和 构成的数列 2 2 所以S(A n )=c1 ? (c1 ? c2 ) ? ... ? (c1 ? c2 ? c3 +...+cn ?1 ) ? (n ? 1)c1 ? (n ? 2)c2 ? ... ? 2cn ? 2 ? cn ?1 且n为奇数,c1,c2,, ... cn ?1是由 则当c1,c2,...,cn ?1的前 n ?1 n ?1 项取1,后 项取-1时S(A n )最大 2 2 n+1 n ?1 此时S(A n )=(n -1)+(n-2)+...+ ?( ? ... ? 2 ? 1) 2 2 (n ? 1) 2 = 4 证明: 假设c1,c2,, ... cn ?1的前

n ?1 项中恰有t项cm1,cm 2,, ... cmt 取-1, 2 n ?1 n ?1 则c1,c2,, ... cn ?1的后 项中恰有t项cn1,cn 2,, ... cnt 取-1,其中1 ? t ? , 2 2 n ?1 n ?1 1 ? mi ? , ? ni ? n ? 1, i ? 1, 2,..., t 2 2 n+1 n ?1 所以S(A n )=(n -1)c1 +(n-2)c2 ? ... ? c n ?1 ? c n+1 ? ... ? 2cn ? 2 ? cn ?1 2 2 2 2 ?
t (n ? 1) 2 (n ? 1) 2 ? 2? (n i ? mi ) ? 4 4 i ?1

所以,S(A 2 K ?1 )的最大值为k 2 , 其中 k ? N ?


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