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黑龙江省2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 文(2)


黑龙江省双鸭山一中2016-2017学年高二 (下)期末数学试卷(文科)
  一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求) 1.已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,1,2,3},B={3,4,5},则(?U A)∩B=(  )   A. {3}   2.若复数 (z是复数,i为虚数单位),则复数 =(  ) B. {4,5} C. {4,5,6} D. {0,1,2}

  A. 9+i  

B. 9﹣i

C. 2+i

D. 2﹣i

3.命题“对任意x∈R,都有x2≥ln2”的否定为(  )   A. 对任意x∈R,都有x2<ln2   C. 存在x∈R,使得x2≥ln2   4.下列函数中,在其定义域内既是偶函数又在(﹣∞,0)上单调递增的函数是(   )   A. f(x)=x2   5.若实数x,y满足条件   A. ﹣3   1 B. ﹣2 ,则x﹣2y的最小值是(  ) C. ﹣1 D. 0 B. f(x)=2|x| C. D. f(x)=sinx B. 不存在x∈R,都有x2<ln2 D. 存在x∈R,使得x2<ln2

6.将函数 y=sinx的图象上所有点向右平行移动 个单位长度,再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象 的函数解析式是(  )   A. y=sin(2x﹣ ) B. y=sin(2x﹣ ) C. y=sin( ﹣

)  

D. y=sin( ﹣



7.若{an}为等差数列,Sn是其前n项和,且

,则tana6的值为(  )

  A.  

B.

C.

D.

8.若两个非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 + 与 ﹣ 的夹角是(   )   A.   9.函数f(x)=log4x﹣|x﹣4|的零点的个数为(  )   A. 0   10.△ABC中,角A,B,C成等差数列是   A. 充分不必要条件   C. 充要条件   B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 成立的(  ) B. 1 C. 2 D. 3 B. C. D.

2

11.定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),f(x﹣2)=f(x+2),且x∈( ﹣1,0)时,f(x)=2x+ ,则f(log220)=(  )

  A. ﹣1  

B.

C. 1

D. ﹣

12.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数记为f′(x),若对于任意实 数x,有f(x)>f′(x),且y=f(x)﹣1为奇函数,则不等式f(x)<ex的解集为 (  )   A. (﹣∞,0) B. (0,+∞)     二、填空题(本大题共4小题,每小题5分) 13.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1,S3,S2成等差数列,则{an}的公比q=       .   14.已知正项等比数列{an}的公比q=2,若存在两项am,an,使得 最小值为      .   15.已知△ABC的内角A、B、C对的边分别为a,b,c,sinA+ sC的最小值等于      .   16.对于函数f(x)=4x﹣m?2x+1,若存在实数x0,使得f(﹣x0)=﹣f(x0)成立,则 实数m的取值范围是      .     三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 3 sinB=2sinC,b=3,则co =4a1,则 + 的 C. (﹣∞,e4) D. (e4,+∞)

17.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,(2a﹣c)cosB﹣bcosC=0. (1)求角B的大小; (2)设函数f(x)=2sinxcosxcosB﹣ 得最大值时x的值.   18.已知数列{an}的前n项和Sn通项an满足2Sn+an=1,数列{bn}中,b1=1,b2= , = cos2x,求函数f(x)的最大值及当f(x)取

+

(n∈N*)

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)数列{cn}满足cn=   19.彭山二中决定在新校区附近修建教师宿舍,学校行政办公室用100万元从政府购得 一块廉价土地,该土地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与 建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高20元.已知建筑第5层 楼房时,每平方米建筑费用为800元. (1)若建筑第x层楼时,该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之 和),写出y=f(x)的表达式. (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,学校应把楼层建成几层?此时平均 综合费用为每平方米多少元?   20.已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率e= ,并且经过定点P( , ). ,求{cn}前n项和Sn.

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

4

(Ⅱ)问是否存在直线y=﹣x+m,使直线与椭圆交于A、B两点,满足 在求m值,若不存在说明理由.   21.已知函数 (1)当m=2时,求f(x)的极大值; (2)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性; ,(其中常数m>0)

?

=

,若存

(3)当m∈[3,+∞)时,曲线y=f(x)上总存在相异两点P(x1,f(x1))、Q(x2, f(x2)),使得曲线y=f(x)在点P、Q处的切线互相平行,求x1+x2的取值范围.     选做题(请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. )【选修4-4:坐标系与参数方程】 22.已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,且长 度单位相同,直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2

. (1)把圆方程化成圆的标准方程并求圆心的极坐标; (2)设直线l与圆C相交于M,N两点,求△MON的面积(O为坐标原点).     【选修4-5:不等式选讲】 2015春?双鸭山校级期末)设函数f(x)=|x﹣a|+4x,其中a>0. (1)当a=2时,求不等式f(x)≥2x+1的解集; (2)若x∈(﹣2,+∞)时,恒有f(2x)>7x+a2﹣3,求a的取值范围.   5

 

6

黑龙江省双鸭山一中2016-2017学年高二(下)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析   一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求) 1.已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,1,2,3},B={3,4,5},则(?U A)∩B=(  )   A. {3} B. {4,5} C. {4,5,6} D. {0,1,2}

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:先求出集合A的补集,再求出交集即可 解答: 解:∵全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,1,2,3},B={3,4,5}, ∴(?UA)={4,5,6}, ∴(?UA)∩B={4,5} 点评:本题考查了集合的交,补运算,属于基础题   2.若复数 (z是复数,i为虚数单位),则复数 =(  )

  A. 9+i

B. 9﹣i

C. 2+i

D. 2﹣i

考点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题:计算题. 分析: 首先整理出复数的表示式,进行复数的乘法运算,移项合并同类项得到最简形式 ,把复数的实部不变虚部变为相反数得到复数的共轭复数. 7

解答:

解:∵



∴z+3i=(1+4i)(1﹣2i)=1+8+4i﹣2i=9+2i ∴z=9﹣i ∴ =9+i 故选A. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算和复数的基本概念,本题解题的关键是需要 整理出复数的代数标准形式,本题是一个基础题.   3.命题“对任意x∈R,都有x2≥ln2”的否定为(  )   A. 对任意x∈R,都有x2<ln2   C. 存在x∈R,使得x2≥ln2 B. 不存在x∈R,都有x2<ln2 D. 存在x∈R,使得x2<ln2

考点:命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析:全称命题的否定是特称命题,写出结果即可. 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题.所以,命题“对任意x∈R,都有x2≥ln2 ”的否定为:存在x∈R,使得x2<ln2. 故选:D. 点评:本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查.   4.下列函数中,在其定义域内既是偶函数又在(﹣∞,0)上单调递增的函数是(   )   A. f(x)=x2 B. f(x)=2|x| C. D. f(x)=sinx

8

考点:函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题:函数的性质及应用. 分析: 根据二次函数、指数函数、反比例函数、对数函数,以及复合函数单调性,偶函 数、奇函数的定义即可判断每个选项的正误,从而找出正确选项. 解答: f(x)= 解:f(x)=x2,f(x)=2|x|在(﹣∞,0)单调递减; 是偶函数,且x<0时,f(x)= 是复合函数,在(﹣∞

,0)上单调递增,所以C正确; f(x)=sinx在定义域R上是奇函数. 故选C. 点评: 考查二次函数,指数函数,反比例函数,对数函数,以及复合函数的单调性,以 及奇偶函数的定义.   5.若实数x,y满足条件   A. ﹣3 B. ﹣2 ,则x﹣2y的最小值是(  ) C. ﹣1 D. 0

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 解答: 解:设z=x﹣2y,则y= ,

作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分): 平移直线y= ,

9

由图象可知当直线y=

,过点A时,直线y=

的截距最大,此时z最小,



,解得

,代入目标函数z=x﹣2y,得z=﹣1﹣2=﹣3,

∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3. 故选:A

点评: 本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键 ,利用数形结合是解决问题的基本方法.   6.将函数 y=sinx的图象上所有点向右平行移动 个单位长度,再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象 的函数解析式是(  )   A. y=sin(2x﹣ ) B. y=sin(2x﹣ ) C. y=sin( ﹣



D. y=sin( ﹣



考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 10

分析:由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:将函数 y=sinx的图象上所有点向右平行移动 )的图象;

个单位长度,可得函数y=sin(x﹣

再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式y= sin( x﹣ 故选:D. 点评:本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.   7.若{an}为等差数列,Sn是其前n项和,且 ,则tana6的值为(  ) ),

  A.

B.

C.

D.

考点:等差数列的性质. 专题:计算题. 分析: 根据所给的前11项的和,根据前11项的和等于11倍的第六项,写出第六项的结果 是 ,求出第六项的正切值是﹣ ,得到结果.

解答:

解:∵

∴ ∴ 故选B. ,

11

点评: 本题考查等差数列的性质,考查特殊角的正切值,是一个综合题目,这种题目是 综合数列和三角的题目,是一种常见的组合,要引起注意.   8.若两个非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 + 与 ﹣ 的夹角是(   )   A. B. C. D.

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:计算题. 分析: 利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系,利用向量的数量积公式 求出两向量的夹角. 解答: ∴ ∴ ⊥ , ∴cos< =3 , 解:依题意,∵| + |=| ﹣ |=2| | = , >= =﹣ ,

所以向量 故选C 点评:



的夹角是



本题考查向量模的平方等于向量的平方、利用向量的数量积公式求向量的夹角.   9.函数f(x)=log4x﹣|x﹣4|的零点的个数为(  )   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

12

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:转化函数的零点为两个函数的图象的交点个数,利用函数的图象判断即可. 解答: 解:f(x)=0?log4x=|x﹣4|,画图y=log4x,y=|x﹣4|,可知,函数的零点有2 个. 故选:C.

点评: 本题考查函数的零点与方程根的关系,考查数形结合以及零点判定定理的应用.   10.△ABC中,角A,B,C成等差数列是   A. 充分不必要条件   C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 成立的(  )

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析: 根据等差数列和两角和的正弦公式,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 若 解:若A,B,C成等差数列,则A+C=2B,∴B=60°, , 13

则sin(A+B)= 即sinAcosB+cosAsinB= ∴cosAsinB= cosAcosB, ,

, ,

若cosA=0或tanB=

即A=90°或B=60°, ∴角A,B,C成等差数列是 故选:A. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等差数列的性质以及两角和差的 正弦公式是解决本题的关键.   11.定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),f(x﹣2)=f(x+2),且x∈( ﹣1,0)时,f(x)=2x+ ,则f(log220)=(  ) 成立的充分不必要条件.

  A. ﹣1

B.

C. 1

D. ﹣

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析: 由已知得函数f(x)为奇函数,函数f(x)为周期为4是周期函数,4<log220< 5,f(log220)=﹣f(log2 ),由f(log2 )=1,能求出f(log220)=﹣1. 解答: 解:∵定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),

∴函数f(x)为奇函数 又∵f(x﹣2)=f(x+2) ∴函数f(x)为周期为4是周期函数 又∵log232>log220>log216 14

∴4<log220<5 ∴f(log220)=f(log220﹣4)=f(log2 )=﹣f(﹣log2 )=﹣f(log2 )

又∵x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+ ,

∴f(log2 )=1 故f(log220)=﹣1. 故选:A. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质和对数运 算法则的合理运用.   12.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数记为f′(x),若对于任意实 数x,有f(x)>f′(x),且y=f(x)﹣1为奇函数,则不等式f(x)<ex的解集为 (  )   A. (﹣∞,0) B. (0,+∞) C. (﹣∞,e4) D. (e4,+∞)

考点:导数的运算. 专题:导数的综合应用. 分析: 根据条件构造函数令g(x)= 的解集. 解答: 解:令g(x)= , ,判断函数g(x)的单调性即可求出不等式



= 15



∵f(x)>f′(x), ∴g′(x)<0, 即g(x)为减函数, ∵y=f(x)﹣1为奇函数, ∴f(0)﹣1=0, 即f(0)=1,g(0)=1, 则不等式f(x)<ex等价为 即g(x)<g(0), 解得x>0, ∴不等式的解集为(0,+∞), 故选:B. 点评: 本题主要考查不等式的解法,利用条件构造函数,利用函数的单调性解不等式是 解决本题的关键,考查学生的解题构造能力.   二、填空题(本大题共4小题,每小题5分) 13.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1,S3,S2成等差数列,则{an}的公比q= ﹣   . =g(0),

考点:等差数列与等比数列的综合. 专题:等差数列与等比数列. 分析: 依题意有 的公比q. 解答: ∴依题意有 16 解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn,S1,S3,S2成等差数列, , ,从而2q2+q=0,由此能求出{an}

由于a1≠0,故2q2+q=0, 又q≠0,解得q=﹣ .

故答案为:﹣ . 点评: 本题考查等比数列的公比的求法,是基础题,解题时要注意等差数列和等比数列 的性质的合理运用.   14.已知正项等比数列{an}的公比q=2,若存在两项am,an,使得 =4a1,则 + 的

最小值为   .

考点:基本不等式;等比数列的性质. 专题:不等式的解法及应用. 分析:正项等比数列{an}的公比q=2,由于存在两项am,an,使得 =4a1,可得

=4a1,化为m+n=6.再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可 得出. 解答: 解:正项等比数列{an}的公比q=2, =4a1, =4a1,

∵存在两项am,an,使得 ∴ ∵a1≠0, ∴2m+n﹣2=24, ∴m+n=6. 则 + = (m+n)( )=

= ,当且仅当n=2m=4时取

等号. 17

∴ + 的最小值为 .

故答案为: . 点评: 本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”和基本不等式的性质,考查了推理 能力和计算能力,属于中档题.   15.已知△ABC的内角A、B、C对的边分别为a,b,c,sinA+ sC的最小值等于   . sinB=2sinC,b=3,则co

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: 已知等式利用正弦定理化简,得到关系式,利用余弦定理表示出cosC,把得出关 系式整理后代入,利用基本不等式求出cosC的最小值即可. 解答: 解:已知等式利用正弦定理化简得:a+ b)2=4c2,即a2+2 ab+2b2=4c2, , b=2c,

两边平方得:(a+

∴4a2+4b2﹣4c2=3a2+2b2﹣2

ab,即a2+b2﹣c2=

∴cosC=

=

= (

+

﹣2

)≥ (2

﹣2

)=

(当且仅当

=

,即

a=

b时取等号),

则cosC的最小值为



18

故答案为: 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理是解本题的 关键.   16.对于函数f(x)=4x﹣m?2x+1,若存在实数x0,使得f(﹣x0)=﹣f(x0)成立,则 实数m的取值范围是 [ ,+∞) .

考点:函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析: 根据已知条件可得到 ,带入上式即可得到m= ﹣2=0,所以可想着设 ,而根据单调性的定义即可判断出函

数 解答:

在[2,+∞)上是增函数,求其值域从而得到m



解:由f(﹣x0)=﹣f(x0)得: 可整理成 设 ∴t2﹣2mt﹣2=0; ∴ ,根据单调性的定义可知该函数在[2,+∞)上是增函数; ; ;







19

∴实数m的取值范围是[

).

故答案为: 点评:



考查完全平方式的运用,换元解决问题的办法,基本不等式的运用,根据单调性 的定义判断函数的单调性,也可对函数 根据单调性求函数的值域.   三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,(2a﹣c)cosB﹣bcosC=0. (1)求角B的大小; (2)设函数f(x)=2sinxcosxcosB﹣ 得最大值时x的值. cos2x,求函数f(x)的最大值及当f(x)取 求导,根据导数的符号判断其单调性,

考点:正弦定理. 专题:三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)由正弦定理化简已知可得sinA=2sinAcosB,结合范围sinA≠0,可得cosB= ,又0<B<π,从而得解B的值.

(2)三角函数恒等变换化简函数解析式可得f(x)=sin(2x﹣

),令

即可解得函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的 值. 20

解答:

(本题满分12分)计算:

解:(1)正弦定理得sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB, 则sin(B+C)=sinA=2sinAcosB.…(2分) 又sinA≠0, ∴cosB= ,又0<B<π,



.…(4分)

(2)∵f(x)=2sinxcosxcosB﹣

cos2x,





当 )取最大值1. 点评:



,即当

时f(x

本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质, 属于基本知识的考查.   18.已知数列{an}的前n项和Sn通项an满足2Sn+an=1,数列{bn}中,b1=1,b2= , =

+

(n∈N*)

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)数列{cn}满足cn= ,求{cn}前n项和Sn.

考点:数列的求和. 21

专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)利用2Sn+an=1,通过an=Sn﹣Sn﹣1,化简推出数列{an},是等比数列,求出 通项公式,然后求解{bn}的通项公式. (2)利用错位相减法,以及等比数列求和公式求解{cn}前n项和Sn. 解答: (本题满分12分) ,

解:(1)由2Sn+an=1,得

当n≥2时, 即2an=﹣an+an﹣1, ∴ (由题意可知an﹣1≠0).



∴{an}是公比为 的等比数列,而













,得数列

是等差数列,





∴公差d=1, ∴ ,



(6分)

22

(2)由题意





,…①

可得 由错位相减法①﹣②得:

,…②

=

=





.(12分)

点评: 本题考查数列的递推关系式的应用,数列求和错位相减法的应用,考查分析问题 解决问题的能力.   19.彭山二中决定在新校区附近修建教师宿舍,学校行政办公室用100万元从政府购得 一块廉价土地,该土地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与 建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高20元.已知建筑第5层 楼房时,每平方米建筑费用为800元. (1)若建筑第x层楼时,该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之 和),写出y=f(x)的表达式. (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,学校应把楼层建成几层?此时平均 综合费用为每平方米多少元? 23

考点:函数模型的选择与应用. 专题:应用题. 分析: (1)第1层楼房每平方米建筑费用为720元,第1层楼房建筑费用为720×1000=7 20000(元)=72(万元); 楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高20×1000=20000(元)=2(万元);第x层楼房 建筑费用为72+(x﹣1)×2=2x+70(万元);建筑第x层楼时,楼房综合费用=建筑总 费用(等差数列前n项和)+购地费用,由此可得y=f(x); (2)楼房每平方米的平均综合费用为g(x),则 (1)中f(x)整理,求出最小值即可. 解答: 解:(1)由题意知,建筑第1层楼房每平方米建筑费用为:720元. (元),代入

建筑第1层楼房建筑费用为:720×1000=720000(元)=72(万元) 楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高:20×1000=20000(元)=2(万元) 建筑第x层楼房建筑费用为:72+(x﹣1)×2=2x+70(万元) 建筑第x层楼时,该楼房综合费用为: 所以,y=f(x)=x2+71x+100(x≥1,x∈Z) (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x),则: =

=910,

当且仅当

,即x=10时,等号成立;

所以,学校应把楼层建成10层.此时平均综合费用为每平方米910元.

24

点评: 本题考查了等差数列前n项和的应用,基本不等式a+b≥2 ;应用基本不等式求最值时,要注意“=”成立的条件.   20.已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率e= ,并且经过定点P( , ). (a>0,b>0)的应用

(Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)问是否存在直线y=﹣x+m,使直线与椭圆交于A、B两点,满足 在求m值,若不存在说明理由. ? = ,若存

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出 且 ,由此能求出椭圆E的方程.

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),由 根与系数的关系求解即可得出m的值. 解答: 解(Ⅰ)由题意:

?

=

得,x1x2+y1y2=

,联立方程组利用



,又c2=a2﹣b2

解得:a2=4,b2=1,即:椭圆E的方程为 (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2)

(1)

(*)

所以 25

=





得 又方程(*)要有两个不等实根,

所以m=±2. 点评: 本题主要考查椭圆方程及性质的应用,考查学生直线与椭圆位置关系的判断及运 算求解能力,注意运用根与系数的关系简化运算,属于中档题.   21.已知函数 (1)当m=2时,求f(x)的极大值; (2)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性; (3)当m∈[3,+∞)时,曲线y=f(x)上总存在相异两点P(x1,f(x1))、Q(x2, f(x2)),使得曲线y=f(x)在点P、Q处的切线互相平行,求x1+x2的取值范围. ,(其中常数m>0)

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性 ;利用导数研究函数的极值. 专题:综合题. 分析: (1)利用导数,我们可以确定函数的单调性,这样就可求f(x)的极大值; (2)求导数,再进行类讨论,利用导数的正负,确定函数的单调性;

26

(3)曲线y=f(x)在点P、Q处的切线互相平行,意味着导数值相等,由此作为解题的 突破口即可. 解答: 解:(1)当m=2时,

(x>0)

令f′(x)<0,可得

或x>2;

令f′(x)>0,可得



∴f(x)在

和(2,+∞)上单调递减,在

单调递增



(2) 0) ①当0<m<1时,则 ,故x∈(0,m),f′(x)<0;

(x>0,m>

x∈(m,1)时,f′(x)>0 此时f(x)在(0,m)上单调递减,在(m,1)单调递增; ②当m=1时,则 ,故x∈(0,1),有 恒成立,

此时f(x)在(0,1)上单调递减; ③当m>1时,则 ,

27



时,f′(x)<0;

时,f′(x)>0

此时f(x)在

,(m,1)上单调递减,在

单调递增

(3)由题意,可得f′(x1)=f′(x2)(x1,x2>0,且x1≠x2) 即 ?

∵x1≠x2,由不等式性质可得 又x1,x2,m>0 ∴ ?

恒成立,

对m∈[3,+∞)恒成立

令 对m∈[3,+∞)恒成立

,则

∴g(m)在[3,+∞)上单调递增, ∴



从而“

对m∈[3,+∞)恒成立”等价于“



∴x1+x2的取值范围为 点评: 运用导数,我们可解决曲线的切线问题,函数的单调性、极值与最值,正确求导 是我们解题的关键 28

  选做题(请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. )【选修4-4:坐标系与参数方程】 22.已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,且长 度单位相同,直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2

. (1)把圆方程化成圆的标准方程并求圆心的极坐标; (2)设直线l与圆C相交于M,N两点,求△MON的面积(O为坐标原点).

考点:简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题:直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: (1)利用两角差的正弦公式化简 和圆心直角坐标,再求出圆心的极坐标; (2)将 代入圆的标准方程求出t的值,可得直线l与圆C相交点M,N的坐标,由 ,求出圆C的标准方程

两点之间的距离公式求出|MN|,求出直线l的普通方程,由点到直线的距离公式求出原 点到直线l的距离,再求出△MON的面积. 解答: 解:(1)由题意得 =2sinθ﹣2cosθ,

∴ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ,则普通方程为:(x+1)2+(y﹣1)2=2, 则圆心坐标是(﹣1,1), ∴圆心的极坐标为 ;(5分)

29

(2)将

代入(x+1)2+(y﹣1)2=2,得t=±1,

所以直线l与圆C的交点M(0,2)、N(﹣2,0), 则|MN|= 由 = ,

得,直线l的方程为x﹣y+2=0,

所以原点到直线l的距离为

=



所以△MON的面积S= 点评:

=2

(10分)

本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的转化,两角差的正弦公式,两 点之间、点到直线的距离公式等,属于中档题.   【选修4-5:不等式选讲】 2015春?双鸭山校级期末)设函数f(x)=|x﹣a|+4x,其中a>0. (1)当a=2时,求不等式f(x)≥2x+1的解集; (2)若x∈(﹣2,+∞)时,恒有f(2x)>7x+a2﹣3,求a的取值范围.

考点:函数恒成立问题. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)a=2,转化不等式为|x﹣2|≥﹣2x+1,去掉绝对值求解就.

(2)求出

.通过a>0,x∈(﹣2,+∞),

求出表达式的最小值,然后求解a的范围即可. 解答: (本题满分10分)

解:(1)a=2时,f(x)=|x﹣a|+4x=|x﹣2|+4X, 30

由f(x)≥2x+1, 即|x﹣2|≥﹣2x+1,可得x﹣2≥﹣2x+1或x﹣2≤2x﹣1, 解得x≥﹣1,∴x∈[﹣1,+∞)(5分) (2)f(2x)>7x+a2﹣3,可化为:f(2x)﹣7x>a2﹣3,





由于a>0,x∈(﹣2,+∞),所以当

时,f(2x)﹣7x有最小值 .

若使原命题成立,只需 点评:

,解得a∈(0,2).(10分)

本题考查函数的最值的应用,函数恒成立以及绝对值不等式的解法,考查计算能 力.  

31


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