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2.1.2异面直线的有关概念和定理1课时


2.1.2

空间中直线与直线之间的 位置关系

第一课时 异面直线的有关概念和定理

问题提出

1.同一平面内的两条直线有哪几种位 置关系?

2.空间中的两条不同直线除了平行和 相交这两种位置关系外,还有什么位 置关系呢?

知识探究(一):异面直线的概念

思考1:教室内的日光灯管所在的直线与 黑板的左右两侧所在的直线,既不相交, 也不平行.你还能举出这样的例子吗?

思考2:如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中, 线段A′B所在直线分别与线段CD′所在直线, 线段BC所在直线,线段CD所在直线的位置关 D' 系如何? C'
A'
D A B'

C B

思考3:我们把上图中直线A′B与直线CD叫做
异面直线,一般地,从字面上怎样理解异面 直线?

思考4:为了表示异面直线a,b不共面的 特点,作图时,通常用一个或两个平面 衬托,如图.
a
b

a

b

a a
b b

关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法 最合适? A. 空间中既不平行又不相交的两条直线; B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直 线; C. 分别在不同平面内的两条直线; D. 不在同一个平面内的两条直线; E. 不同在任何一个平面内的两条直线.

思考5:空间中的直线与直线之间有几种 位置关系?它们各有什么特点?
相交直线 同一平面内,有且 只有一个公共点;

空 共面直线 同一平面内,没 间 平行直线 有公共点; 直 线 异面直线 不同在任何一个平面内,没
有公共点

知识探究(二):三线平行公理

思考1:设直线a//b,将直线a在空间中作 平行移动,在平移过程中a与b仍保持平 行吗 ?

思考2:如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′ 中,BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′与 DD′平行吗 ?
D' A' D A B' C'

C B

思考3:取一块长方形纸板ABCD,E,F分 别为AB,CD的中点,将纸板沿EF折起, 在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?
D C

F

D A C F

B

E

A B E

思考4:通过上述实验可以得到什么结论? 公理4 平行于同一直线的两条直线互 相平行.

思考5:公理4叫做三线平行公理,它说明 空间平行直线具有传递性,在逻辑推理 中公理4有何理论作用?

知识探究(三):等角定理

思考1:在平面上,如果一个角的两边与 另一个角的两边分别平行,那么这两个 角的大小有什么关系?

思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′
的底面是平行四边形,∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行, 这两组角的大小关系如何 ?
C' D'

B' A'
D'

C'

B'

A'
C B A

C
D A

B

D

思考3:如图,在空间中AB// A′B′, AC// A′C′,你能证明∠BAC与 ∠B′A′C′ 相等吗? C?
E?

A? E
A D

D?

B?

C
B

思考4:综上分析我们可以得到什么定理?
定理 空间中如果两个角的两边分别 对应平行,那么这两个角相等或互补. 思考5:上面的定理称为等角定理,在等 角定理中,你能进一步指出两个角相等 的条件吗? 角的方向相同或相反

理论迁移

例1 如图是一个正方体的表面展开图, 如果将它还原为正方体,那么AB,CD, A EF,GH这四条线段所在直线是异面直线 的有多少对?
C G D H A B H G C E A B D

F

E F

如图,空间四边形ABCD中,E,F,G, H分别是AB,BC,CD,DA的中点. (1) 求证:四边形EFGH是平行四边形. (2) 若AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形?
A H E

例2

D
B F

G

C

作业:
P48 1 P51习题2.1A组:3,6.


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