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高中数学选修1-1第三章导数及其应用测试题解析版


! 第 83 套题高中数学 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题 目要求的。) 2.(文)已知二次函数 f(x)的图象如图所示,则其导函数 f ′ (x)的图象大致形状是( )

4.(文)若关于 x 的不等式 x3-3x2-9x+2≥m 对任意 x∈ [-2,2]恒成立,则 m 的取值范

围是 ( A.(-∞,7] C.(-∞,0] B.(-∞,-20] D.[-12,7] ( ) )

5.对于在 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′ (x)≥0,则必有 A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+ f(2)≥2f(1) 6.设曲线 y= A.-1 D.f(0)+f(2)>2f(1)

1+cosx π 在点? ,1? 处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a 等于( sinx ?2 ? 1 B. 2

)

C.-2 D.2 8.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈ [-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的切线斜率均为-1,给出 以下结论:① f(x)的解析式为 f(x)=x3-4x,x ∈ [-2,2];② f(x)的极值点有且仅有一个;③ f(x)的最大值与最小值 之和等于 0. 其中正确的结论有 A.0 个 C.2 个 ( B.1 个 D.3 个 ( ) )

k k 9.若函数 h(x)=2x- + 在(1,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值范围是 x 3 A.[-2,+∞) C.(-∞,-2] B.[2,+∞) D.(-∞,2]

11.函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足 f(x)>0,xf′ (x)+ f(x)<0,则对任意正数 a,b,若 a>b, 12.设 f(x)是一个三次函数,f′ (x)为其导函数,如图所示的是 y=x· f′ (x)的图象的一部分,则 f(x)的极大值与 极小值分别是 ( )

A.f(1)与 f(-1) C.f(-2)与 f(2)

B .f(-1)与 f(1) D .f(2)与 f(-2)

第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上)

1

! 13.(文)已知函数 y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,其图象在 x=1 处的切线平行于直线 6x+ 2y+5=0,则 f(x)极大值与极小值之差为________. 14.(文)函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是________. 1 15.已知函数 y=- x3+bx2-(2b+3)x+2-b 在 R 上不是单调减函数,则 b 的取值范围是________. 3 16.(文)对正整数 n,设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an,则数列? 项和是________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x) =ax3+bx2 的图象经过点 M(1,4),曲线在点 M 处的切线恰好与直 线 x+9y=0 垂直, (1)求实数 a、b 的值; (2)若函数 f(x)在区间[m, m+1]上单调递增,求 m 的取值范围.
? an ? ?的前 n ?n+1?

18.(本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)=2x3+ax2+bx+3 在 x=-1 和 x=2 处取得极值. (1)求 f(x)的表达式和极值. (2)若 f(x)在区间[m, m+4]上是单调函数,试求 m 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)(文)设函数 f(x)=x2-2tx+4t3+t2-3t+3, 其中 x∈ R, t∈ R, 将 f(x)的最小值记为 g(t). (1)求 g(t)的表达式; (2)讨论 g(t)在区间[-1,1]内的单调性; (3)若当 t∈ [-1,1]时,|g(t)|≤k 恒成立,其中 k 为正数,求 k 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在点 x0 处取得极大值 5, 其导函数 y=f ′ (x)的图象 经过点(1,0),(2,0).如右图所示. (1)求 x0 的值; (2)求 a,b,c 的值.

2.(文)已知二次函数 f(x)的图象如图所示,则其导函数 f ′ (x)的图象大致形状是(

)

[答案] B [解析] 因为二次函数在(-∞,0)上递增,在(0 ,+∞)递减,所以其导函数在(-∞ ,0)大于 0,在(0 ,+∞) 小于 0,故选 B.

2

! (理)下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是 ( )

A.① ② C.① ③ [答案] B

B .③ ④ D .② ④

[解析] 因为三次函数的导函数为二次函数,其图象为抛物线,观察四图,由导函数与原函数的关系可知, 当导函数大于 0 时,其函数为增函数,当导函数小于 0 时,其函数为减函数,由此规律可判定③ ④ 不正确. 4.(文)若关于 x 的不等式 x3-3x2-9x+2≥m 对任意 x∈ [-2,2]恒成立,则 m 的取值范围是 ( A.(-∞,7] C.(-∞,0] B.(-∞,-20] D.[-12,7] )

[答案] B [解析] 令 f(x)=x3-3x2- 9x+2,则 f′ (x)=3x2- 6x-9, 令 f′ (x)=0 得 x=-1 或 x=3(舍去). ∵ f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20. ∴ f(x)的最小值为 f(2)=-20, 故 m≤-20,综上可知应选 B. (理)已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=3x-x3 的极大值点坐标为(b,c),则 ad 等于 ( ) A.2 B .1 C.-1 D.-2 [答案] A [解析] ∵ a,b,c,d 成等比数列,∴ ad=bc, 又(b,c)为函数 y=3x-x3 的极大值点, ∴ c=3b-b3,且 0=3-3b2,
?b=1 ?b=-1 ? ? ? ∴ 或? ,∴ ad=2. ? ? ?c=2 ? c=-2

6.设曲线 y= A.-1 C.-2 [答案] A [解析] ∵ y′ =

1+cosx π 在点? ,1? 处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a 等于( sinx ?2 ? 1 B. 2 D.2

)

-sin2x-(1+cosx)cosx sin2x

3

! -1-cosx = sin2x

?π?=-1,由条件知 1=-1, ∴ f′ ?2 ? a
∴ a=-1,故选 A. 8.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈ [-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的切线斜率均为-1,给出 以下结论:① f(x)的解析式为 f(x)=x3-4x,x ∈ [-2,2];② f(x)的极值点有且仅有一个;③ f(x)的最大值与最小值 之和等于 0. 其中正确的结论有 A.0 个 C.2 个 [答案] C [解析] ∵ f(0)=0. ∴ c=0. ∵ f′ (x)=3x2+2ax+b,
? ? (1)=-1 ?f ′ ?3+2a+b=-1 ? ∴ ,即? , ?f ′ (-1)=-1 ? 3-2a+b=-1 ? ?

( B.1 个 D.3 个

)

∴ a=0,b=-4,∴ f(x)=x3-4x,∴ f′ (x)=3x2-4. 2 令 f′ (x)=0 得 x=± 3∈ [-2,2]. 3 ∴ 极值点有两个.∵ f(x)为奇函数, ∴ f(x)max+f(x)min=0. ∴ ① ③ 正确,故选 C. k k 9.若函数 h(x)=2x- + 在(1,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值范围是 x 3 A.[-2,+∞) C.(-∞,-2] [答案] A [解析] 由条件 h′ (x)=2+ 2,+∞). 11.函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足 f(x)>0,xf′ (x)+ f(x)<0,则对任意正数 a,b,若 a>b, 则必有 ( ) A.af(b)<bf(a) C.af(a)<f(b) [答案] B [解析] 构造函数 y= f(x) xf′ (x)-f(x) (x>0),求导得 y′ = ,由条件知 f′ (x)<0,∴ y′ <0, x x2 B.bf(a)<af(b) D.bf(b)<f(a) k 2x2+k = ≥0 在(1, +∞)上恒成立, 即 k≥-2x2 在(1, +∞)上恒成立, 所以 k∈ [- x2 x2 B.[2,+∞) D.(-∞,2] ( )

f(x) ∴ 函数 y= 在(0,+∞)上单调递减, x f(a) f(b) 又 a>b>0,∴ < ,即 bf(a)<af(b). a b 12.设 f(x)是一个三次函数,f′ (x)为其导函数,如图所示的是 y=x· f′ (x)的图象的一部分,则 f(x)的极大值与

4

! 极小值分别是 ( )

A.f(1)与 f(-1) C.f(-2)与 f(2) [答案] C [解析] 由图象知 f′ (2)=f′ (-2)=0. ∵ x>2 时,y=x· f′ (x)>0,∴ f′ (x)>0, ∴ y=f(x)在 (2,+∞)上单调递增;

B .f(-1)与 f(1) D .f(2)与 f(-2)

同理 f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减, ∴ y=f(x)的极大值为 f(-2),极小值为 f(2),故选 C. 第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.(文)已知函数 y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,其图象在 x=1 处的切线平行于直线 6x+ 2y+5=0,则 f(x)极大值与极小值之差为________. [答案] 4 [解析] ∵ y′ =3x2+ 6ax+3b,
?3×22+6a×2+3b=0 ?a=-1 ? ? ? ∴ ?? , ? ? ?3×12+6a×1+3b=-3 ?b=0

∴ y′ =3x2-6x,令 3x2-6x=0,则 x=0 或 x=2, ∴ f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4. (理)定积分 ? ?3-2 16+6x-x2dx=________. [答案] 25π 4

[解析] 设 y= 16+6x-x2 ,即(x-3)2+ y2=25(y≥0). ∵ ?3-2 16+6x-x2 dx 表示以(3,0)为圆心,5 为半径的圆的面积的四分之一. ? ∴ ? ?3-2 16+6x-x2 dx= 25π . 4

14.(文)函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是________. [答案] a>2 或 a<-1 [解析] f ′ (x)=3x2+6ax+3(a+2), 令 3x2+6ax+3(a+2)=0 , 即 x2+2ax+a+2=0. 因为函数 f(x)有极大值 和极小值,所以方程 x2+2ax+a+2=0 有两个不相等的实根,即 Δ=4a2-4a-8>0,解得 a>2 或 a<-1. (理)函数 y=?x (sint+costsint)dt 的最大值是______. ?0 [答案] 2 [解析] y=(sint+costsint)dt 1 =(sint+ sin2t)dt 2

5

! 1 1 5 =(-cost- cos2t)|x 0 =-cosx- cos2x+ 4 4 4 1 5 1 3 =-cosx- (2cos2x-1)+ =- cos2x-cosx+ 4 4 2 2 1 =- (cosx+1)2+2≤2. 2 当 cosx=-1 时取等号.

1 15.已知函数 y=- x3+bx2-(2b+3)x+2-b 在 R 上不是单调减函数,则 b 的取值范围是________. 3 [答案] b<-1 或 b>3 [解析] y′ =-x2+2bx- (2b+3),要使原函数在 R 上单调递减,应有 y′ ≤0 恒成立, ∴ Δ=4b2-4(2b+3)=4(b2-2b-3)≤0, ∴ - 1≤b≤3, 故使该函数在 R 上不是单调减函数的 b 的取值范围是 b< -1 或 b>3. 16.(文)对正整数 n,设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an,则数列? 项和是________. [答案] 2n+1-2 [解析] ∵ y=xn(1-x),∴ y′ =(xn)′ (1-x)+ (1-x)′ · xn=n· xn- 1(1-x)-xn. f′ (2)=- n· 2n-1-2n=(- n-2)· 2n-1. 在点 x=2 处点的纵坐标为 y=-2n. ∴ 切线方程为 y+2n=(-n-2)· 2n- 1(x-2). 令 x=0 得,y=(n+1)· 2n, ∴ an=(n+1)· 2n, ? an ? 2(2n-1) ?的前 n 项和为 ∴ 数列? =2n+1-2. 2-1 ?n+1 ? (理)设函数 f(x)=cos( 3x+φ)(0<φ<π).若 f(x)+f ′ (x)是奇函数,则 φ=________. π [答案] 6 [解析] f ′ (x)=- 3sin( 3x+φ), f(x)+f ′ (x)=cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ) 5π =2sin ? 3x+φ+ ?. ? 6? 若 f(x)+f ′ (x)为奇函数,则 f(0)+f ′ (0)=0, 即 0=2sin ?φ+ 5π? 5π ,∴ φ+ =kπ(k∈ Z). 6? 6
? an ? ?的前 n ?n+1?

?

π 又∵ φ∈ (0,π),∴ φ= . 6 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x) =ax3+bx2 的图象经过点 M(1,4),曲线在点 M 处的切线恰好与直 线 x+9y=0 垂直, (1)求实数 a、b 的值; (2)若函数 f(x)在区间[m, m+1]上单调递增,求 m 的取值范围. [解析] (1)∵ f(x)=ax3+bx2 的图象经过点 M(1,4), ∴ a+b=4. ① f′ (x)=3ax2+2bx,则 f′ (1)=3a+2b,

6

! 1 由条件 f′ (1)· (- )=-1,即 3a+2b=9,② 9 由① ② 式解得 a=1,b=3. (2)f(x)= x3+3x2,f′ (x)=3x2+6x, 令 f′ (x)=3x2+6x≥0 得 x≥0 或 x≤-2, ∴ f(x)的单调递增区间为(-∞,-2]和[0,+∞)由条件知 m≥0 或 m+1≤-2, ∴ m≥0 或 m≤-3. (理)已知函数 f(x)=x3+ax,g(x)=2x2+b,它们的图象在 x=1 处有相同的切线. (1)求函数 f(x)和 g(x)的解析式; 1 (2)如果 F(x)=f(x)-mg(x)在区间 [ ,3]上是单调增函数,求实数 m 的取值范围. 2 [解析] (1)f ′ (x)=3x2+a,g′ (x)=4x, 由条件知?
?f(1)=g(1) ? ?1+a=2+b ?a=1, ? ? ? ? ,∴ ,∴ ?f′ (1)=g′ (1) ? 3+a=4 ?b=0, ? ? ?

∴ f(x)=x3+x,g(x)=2x2. (2)F(x)=f(x)- mg(x)=x3+x-2mx2, ∴ F′ (x)=3x2- 4mx+1, 1 若 F(x)在区间[ ,3]上为增函数,则需 F′ (x)≥0, 2 即 3x2-4mx+1≥0,∴ m≤ 令 h(x)= 3x2+1 . 4x

3x2+1 1 1 3 3 ,x∈ [ ,3],则 h(x)在区间[ ,3]上的最小值是 h( )= , 4x 2 2 3 2

3 . 2 18.(本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)=2x3+ax2+bx+3 在 x=-1 和 x=2 处取得极值. (1)求 f(x)的表达式和极值. (2)若 f(x)在区间[m, m+4]上是单调函数,试求 m 的取值范围. 因此,实数 m 的取值范围是 m≤ [解析] (1)依题意知: f′ (x)=6x2+ 2ax+b=0 的两根为-1 和 2, =-1+2 ?-a 3 ∴ ?a ?6=-1×2,
?a=-3, ? ? ∴ ? ? b=-12.

∴ f(x)=2x3-3x2- 12x+3. ∴ f′ (x)=6x2-6x- 12=6(x+1)(x-2). 令 f′ (x)>0 得,x<-1 或 x>2;令 f′ (x)<0 得,-1<x<2. ∴ f(x)极大=f(- 1)=10.f(x)极小=f(2)=-17. (2)由(1)知,f(x)在(-∞,-1]和[2,+∞)上单调递增,在 [-1,2]上单调递减. ∴ m+4≤-1 或?
?m≥-1, ? ? ? m+4≤2,

或 m≥2. ∴ m≤-5 或 m≥2,

7

! 即 m 的取值范围是(-∞,-5]∪ [2,+∞). 1 37 (理)(2010· 广东中山)已知函数 f(x)=ax3+ (sinθ)x2-2x+c 的图象过点 ?1, ?,且在(-2,1)内单调递减,在 2 ? 6? [1,+∞)上单调递增. (1)求 f(x)的解析式; (2)若对于任意 x1, x2∈ [m, m+3](m≥0), 不等式|f(x1)-f(x2)|≤ 求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由. [解析] (1)∵ f′ (x)=3ax2+xsinθ-2, 由条件可知?
?f′ (1)=0 ? ?3a+sinθ-2= 0 ? ? ,∴ , ? (-2)≤0 ? ?f′ ?12a-2sinθ-2≤0

45 恒成立, 试问这样的 m 是否存在?若存在, 2

1 ∴ sinθ≥1,∴ sinθ=1,∴ a= , 3 1 1 ∴ f(x)= x3+ x2-2x+c, 3 2 37 22 又由 f(1)= 得 c= , 6 3 1 1 22 ∴ f(x)= x3+ x2-2x+ . 3 2 3 (2)f′ (x)=x2+x-2=(x+2)(x-1),易知 f(x)在(-∞,-2)及(1,+∞)上均为增函数,在(-2,1)上为减函数, ① 当 m>1 时,f(x)在[m,m+3]上单调递增, ∴ f(x)max=f(m+ 3),f(x)min= f(m). 1 1 1 1 15 45 由 f(m+3)-f(m)= (m+3)3+ (m+3)2-2(m+3)- m3- m2+2m=3m2+12m+ ≤ 得, -5≤m≤1, 这 3 2 3 2 2 2 与条件矛盾. ② 当 0≤m≤1 时, f(x)在[m,1]上递减, 在[1,m+3]上递增, ∴ f(x)min= f(1) , f(x)max 为 f(m)与 f(m+3)中较大者, ∵ f(m+3)-f(m)=3m2+12m+ 15 9 =3(m+2)2- >0,(0≤m≤1), 2 2 45 恒成立, 2

∴ f(x)max=f(m+ 3),∴ |f(x2)- f(x1)|≤f(m+ 3)-f(1)≤f(4)- f(1)= 故当 0≤m≤1 时,原不等式恒成立,

综上,存在 m∈ [0,1]符合题意. 19. (本小题满分 12 分)(文)设函数 f(x)=x2-2tx+4t3+t2-3t+3, 其中 x∈ R, t∈ R, 将 f(x)的最小值记为 g(t). (1)求 g(t)的表达式; (2)讨论 g(t)在区间[-1,1]内的单调性; (3)若当 t∈ [-1,1]时,|g(t)|≤k 恒成立,其中 k 为正数,求 k 的取值范围. [解析] (1)f(x)=(x-t)2+ 4t3-3t+3,当 x=t 时,f(x)取到其最小值 g(t),即 g(t)=4t3-3t+3. (2)∵ g′ (t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1), 列表如下: t g′ (t) 1 (-1,- ) 2 + - 0 1 2 1 1 (- , ) 2 2 - 1 2 0 1 ( ,1) 2 +

8

! 极大值 g(t) 1 g(- ) 2 极小值 1 g( ) 2

1 1 1 1 由此可见,g(t)在区间?-1,- ?和? ,1?上单调递增,在区间?- , ?上单调递减. ? 2? ?2 ? ? 2 2? 1 1 (3)∵ g(1)=g?- ?=4,g(-1)=g? ?=2 ? 2? ?2? ∴ g(t)max=4,g(t)min=2, 又∵ |g(t)|≤k 恒成立,∴ -k≤g(t)≤k 恒成立,
? ?k≥4 ? ∴ ,∴ k≥4. ?-k≤2 ?

21. (本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在点 x0 处取得极大值 5, 其导函数 y=f ′ (x)的图象 经过点(1,0),(2,0).如右图所示. (1)求 x0 的值; (2)求 a,b,c 的值. [解析] (1)结合图象可得: x f′ (x) f(x) (-∞,1) >0 1 0 极大值 (1,2) <0 2 0 极小值 (2,+∞) >0

得到 f(x)在 x=1 处取得极大值,所以 x0=1. (2)解法 1:f ′ (x)=3ax2+2bx+c, 由 f′ (1)=0,f ′ (2)=0,f(1)=5 得, 3a+2b+c=0 ? ? ?12a+4b+c=0 ,解得 a=2,b=-9,c=12. ? ?a+b+c=5 解法 2:设 f ′ (x)=m(x-1)(x- 2)=mx2-3mx+2m, 又 f′ (x)=3ax2+2bx+c, m 3 所以 a= ,b=- m,c=2m, 3 2 m 3 f(x)= x3- mx2+2mx. 3 2 m 3 ∵ f(1)=5,∴ - m+2m=5,∴ m=6, 3 2 ∴ a=2,b=-9,c=12.

9

!

10


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