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人教版高中数学选修2-1全套教案


第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的轨迹方程
(一)复习引入 大家知道,平面解析几何研究的主要问题是: (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过方程,研究平面曲线的性质. 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究,今天在上面已经研 究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析. (二)几种常见求轨迹方程的方法 1.直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代 替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法. 例 1(1)求和定圆 x2+y2=k2 的圆周的距离等于 k 的动点 P 的轨迹方程; (2)过点 A(a,o)作圆 O∶x2+y2=R2(a>R>o)的割线,求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹. 对(1)分析: 动点 P 的轨迹是不知道的,不能考查其几何特征,但是给出了动点 P 的运动规律:|OP|=2R 或 |OP|=0. 解:设动点 P(x,y),则有|OP|=2R 或|OP|=0. 即 x2+y2=4R2 或 x2+y2=0. 故所求动点 P 的轨迹方程为 x2+y2=4R2 或 x2+y2=0. 对(2)分析: 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件,但可以通过分析图形的几何性质而得出,即圆心与 弦的中点连线垂直于弦,它们的斜率互为负倒数.由学生演板完成,解答为: 设弦的中点为 M(x,y),连结 OM, 则 OM⊥AM. ∵kOM?kAM=-1,

其轨迹是以 OA 为直径的圆在圆 O 内的一段弧(不含端点). 2.定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹 方程,这种方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值 的条件,或利用平面几何知识分析得出这些条件.

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直平分线 l 交半径 OQ 于点 P(见图 2-45),当 Q 点在圆周上运动时,求点 P 的轨迹方程.

分析: ∵点 P 在 AQ 的垂直平分线上, ∴|PQ|=|PA|. 又 P 在半径 OQ 上. ∴|PO|+|PQ|=R,即|PO|+|PA|=R. 故 P 点到两定点距离之和是定值,可用椭圆定义 写出 P 点的轨迹方程. 解:连接 PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|. 又 P 在半径 OQ 上. ∴|PO|+|PQ|=2.

由椭圆定义可知:P 点轨迹是以 O、A 为焦点的椭圆.

3.相关点法 若动点 P(x,y)随已知曲线上的点 Q(x0,y0)的变动而变动,且 x0、y0 可用 x、y 表示,则将 Q 点 坐标表达式代入已知曲线方程,即得点 P 的轨迹方程.这种方法称为相关点法(或代换法). 例 3 已知抛物线 y2=x+1,定点 A(3,1)、B 为抛物线上任意一点,点 P 在线段 AB 上,且有 BP∶PA=1∶2,当 B 点在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程. 分析: P 点运动的原因是 B 点在抛物线上运动,因此 B 可作为相关点,应先找出点 P 与点 B 的联系. 解:设点 P(x,y),且设点 B(x0,y0)

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∵BP∶PA=1∶2,且 P 为线段 AB 的内分点.

4.待定系数法 求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例 4 已知抛物线 y2=4x 和以坐标轴为对称轴、实轴在 y 轴上的双曲

曲线方程. 分析: 因为双曲线以坐标轴为对称轴,实轴在 y 轴上,所以可设双曲线方

ax2-4b2x+a2b2=0 ∵抛物线和双曲线仅有两个公共点,根据它们的对称性,这两个点的横坐标应相等,因此方程 ax2-4b2x+a2b2=0 应有等根. ∴△=1664-4Q4b2=0,即 a2=2b. (以下由学生完成)

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由弦长公式得:

即 a2b2=4b2-a2.

(三)巩固练习 用十多分钟时间作一个小测验,检查一下教学效果.练习题用一小黑板给出. 1.△ABC 一边的两个端点是 B(0,6)和 C(0,-6),另两边斜率的

2.点 P 与一定点 F(2,0)的距离和它到一定直线 x=8 的距离的比是 1∶2,求点 P 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图形? 3.求抛物线 y2=2px(p>0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案:

义法)

由中点坐标公式得:

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(2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义. 〖板书〗把平面内与两个定点 F1 , F 2 的距离之和等于常数(大于 F1 F 2 )的点的轨迹叫做椭 圆(ellipse) .其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设 为 M 时,椭圆即为点集 P ?

?M

| M F1 ? M F 2 ? 2 a ? .

(ii)椭圆标准方程的推导过程 提问:已知图形,建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、充分利用图形的对称性;第 二、注意图形的特殊性和一般性关系. 无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理. 设参量 b 的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、 a , b , c 的关系有明显的几何意义.
y a
2 2

类比:写出焦点在 y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程 (iii)例题讲解与引申

?

x b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? .

例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ? 2 , 0 ? , ? 2 , 0 ? ,并且经过点 ? 方程.

?5 ?2

,?

3? ? ,求它的标准 2?

分析: 由椭圆的标准方程的定义及给出的条件, 容易求出 a , b , c . 引导学生用其他方法来解.

另解:设椭圆的标准方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

3? ?5 ? 1 ? a ? b ? 0 ? ,因点 ? , ? ? 在椭圆上, 2? ?2

9 ? 25 ?a ? ? ?1 ? ? 2 2 ? ? 则? 4a 4b ?b ? ?a2 ? b2 ? 4 ? ?
2 2

10 6



例 2 如图, 在圆 x ? y ? 4 上任取一点 P , 过点 P 作 x 轴的垂线段 P D ,D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 P D 的中点 M 的轨迹是什么? 分析:点 P 在圆 x ? y ? 4 上运动,由点 P 移动引起点 M 的运动,则称点 M 是点 P 的
2 2

伴随点,因点 M 为线段 P D 的中点,则点 M 的坐标可由点 P 来表示,从而能求点 M 的轨迹方 程. 引申:设定点 A ? 6 , 2 ? , P 是椭圆
x
2

?

y

2

? 1 上动点,求线段 A P 中点 M 的轨迹方程.

25

9

第 5 页(共 45 页)

解法剖析:①(代入法求伴随轨迹)设 M ? x , y ? , P ? x1 , y 1 ? ;②(点与伴随点的关系)∵
2 2 ? x1 ? 2 x ? 6 x y M 为线段 A P 的中点,∴ ? ;③(代入已知轨迹求出伴随轨迹) ,∵ 1 ? 1 ? 1 , 25 9 ? y1 ? 2 y ? 2

∴点 M 的轨迹方程为

? x ? 3?
25

2

?

?y

? 1? 9

2

?

1 4

;④伴随轨迹表示的范围.

例 3 如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ? 5, 0 ? , ? 5, 0 ? .直线 A M , B M 相交于点 M ,且它们 的斜率之积为 ?
4 9

,求点 M 的轨迹方程.

分析:若设点 M ? x , y ? ,则直线 A M , B M 的斜率就可以用含 x , y 的式 子表示,由于直线 A M , B M 的斜率之积是 ? 的关系式,即得到点 M 的轨迹方程. 解 法 剖 析 : 设 点 M ? ,x ? y , 则 k A M ?
k BM ? y x?5 y x?5 4 9

,因此,可以求出 x , y 之间

?x

? ?5?



?x

? 5? ; y x?5 ? y x?5 ? ? 4 9

代入点 M 的集合有

,化简即可得点 M 的轨迹方程.

引申:如图,设△ A B C 的两个顶点 A ? ? a , 0 ? ,B ? a , 0 ? ,顶点 C 在移动,且 k A C ? k B C ? k , 且 k ? 0 ,试求动点 C 的轨迹方程. 引申目的有两点: ①让学生明白题目涉及问题的一般情形; ②当 k 值在变化时, 线段 A B 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴. ◆ 情感、态度与价值观目标 通过作图展示与操作,必须让学生认同:圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥 曲线,是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名;必须让学生认同与体会:椭圆的定义及特殊 情形当常数等于两定点间距离时,轨迹是线段;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立直角 坐标系的两个原则,及引入参量 b ?
a ? c 的意义,培养学生用对称的美学思维来体现数学的
2 2

和谐美;让学生认同与领悟:例 1 使用定义解题是首选的,但也可以用其他方法来解,培养学生 从定义的角度思考问题的好习惯;例 2 是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹,培养学生的辩 证思维方法,会用分析、联系的观点解决问题;通过例 3 培养学生的对问题引申、分段讨论的思 维品质. ◆能力目标

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(1) 想象与归纳能力:能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物 线的实际例子,能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义,能正确且直观地绘作 图形,反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为几何 问题来思考,培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊性问题引申到 一般性来研究,培养学生的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力. (5) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决问题 的一般的思想、方法和途径.

1.2
( (ii)椭圆的简单几何性质 ①范围:由椭圆的标准方程可得,
y b

椭圆的简单几何性质

2 2

?1?

x a

2 2

? 0 ,进一步得: ? a ? x ? a ,同理可得:

? b ? y ? b ,即椭圆位于直线 x ? ? a 和 y ? ? b 所围成的矩形框图里;

②对称性:由以 ? x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ? x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究椭圆的标 准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做 圆锥曲线的顶点. 因此椭圆有四个顶点, 由于椭圆的对称轴有长短之分, 较长的对称轴叫做长轴, 较短的叫做短轴; ④离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比 e ?
?当 e ? 1时 ,c ? 圆形扁 ?椭 图 越 ? a ,,b ? 0

c a

叫做椭圆的离心率( 0 ? e ? 1 ) , .

;?

?当 e ? 0时 ,c ? 椭圆越接近于圆

? 0,b

? a

(iii)例题讲解与引申、扩展 例 4 求椭圆 1 6 x ? 2 5 y ? 4 0 0 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
2 2

分析:由椭圆的方程化为标准方程,容易求出 a , b , c .引导学生用椭圆的长 轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量. 扩展:已知椭圆 m x ? 5 y ? 5 m ? m ? 0 ? 的离心率为 e ?
2 2

10 5

,求 m 的值.

解法剖析:依题意, m ? 0, m ? 5 ,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨
5?m 5
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论:①当焦点在 x 轴上,即 0 ? m ? 5 时,有 a ?

5,b ?

m ,c ?

5 ? m ,∴

?

2 5



得 m ?3 ;②当焦点在 y 轴上,即 m ?5 时,有 a ?
m ?5 m 1 0 2 5 ? m ? . 5 3

m ,b ?

5,c ?

m ?5 ,∴

?

例 5 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口 B A C 是椭 圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个焦点 F 2 上,由椭圆一个焦点 F1 发 出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F 2 .已知 B C ? F1 F 2 , F1 B ? 2 .8 cm ,
F1 F 2 ? 4 .5 cm .建立适当的坐标系,求截口 B A C 所在椭圆的方程.
x a
2 2

解法剖析:建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为

?

y b

2 2

? 1 ,算出 a , b , c 的值;

此题应注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则;②关于 a , b , c 的近似值,原则上在没有注 意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定. 引申:如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定 轨道开始巡天飞行,其轨道是以地球的中心 F 2 为一个焦点的椭 圆,近地点 A 距地面 2 0 0 km ,远地点 B 距地面 3 5 0 km ,已知 地球的半径 R ? 6 3 7 1km .建立适当的直角坐标系,求出椭圆 的轨迹方程. 例 6 如图,设 M ? x , y ? 与定点 F ? 4 , 0 ? 的距离和它到直线 l : x ? 求点 M 的轨迹方程. 分析:若设点 M ? x , y ? ,则 M F ?
l :x ?

25 4

的距离的比是常数

4 5



? x ? 4?

2

? y ,到
2

直 线

25 4

的距离 d ? x ?

25 4

,则容易得点 M 的轨迹方程.

引申: 《几何画板》 (用 探究) 若点 M ? x , y ? 与定点 F ? c , 0 ?
a
2

的 距

离 和 它 到 定 直 线 l : x ?

的 距 离 比 是 常 数

c

e ?

c a

?a

? c ? 0 ? ,则点 M 的轨迹方程是椭圆.其中定点 F ? c , 0 ? 是焦点,定直线 l : x ?

a

2



c

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应于 F 的准线;由椭圆的对称性,另一焦点 F ? ? ? c , 0 ? ,相应于 F ? 的准线 l ? : x ? ?

a

2



c

补充:

1.课题:双曲线第二定义
2 3 2

2 2 1.椭圆 9 x ? y ? 81 的长轴长为 18 ,短轴长为 6 ,半焦距为 6 2 ,离心率为

,焦点

坐标为 ( 0 , ? 6 2 ) ,顶点坐标为 ( 0 , ? 9 ) ( ? 3 , 0 ) , (准线方程为 y ? ?
3 5

27 4

2

).

2.短轴长为 8,离心率为 则 ? ABF 2 的周长为 20 引入课题

的椭圆两焦点分别为 F 1 、 F 2 ,过点 F 1 作直线 l 交椭圆于 A、B 两点, .

【习题 4(教材 P50 例 6) 】椭圆的方程为

x

2

?

y

2

25

16

? 1 ,M1,M2 为椭圆上的点

① 求点 M1(4,2.4)到焦点 F(3,0)的距离 2.6 . ② 若点 M2 为(4,y0)不求出点 M2 的纵坐标,你能求出这点到焦点 F(3,0)的距离吗? 解: | MF | ?
( 4 ? 3)
2

? y0 且
2

4

2

?

y0 16

2

25
2

? 1 代入消去 y 0 得 | MF | ?

2

169 25

?

13 5

【推广】你能否将椭圆 横坐标 x 的函数吗?

x a

2 2

?

y b

2

? 1 上任一点 M ( x , y ) 到焦点 F ( c , 0 )( c ? 0 ) 的距离表示成点 M





? | MF | ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2 ?x2 y ? 2 ?1 ? 2 b ?a
2









y

2



| MF | ?

x

? 2 cx ? c

2

?b

2

?

b a

2 2

x

2

?

(

c a

x ? a)

2

?|

c a

x ? a |?

c a

|x?

a

2

|? e | x ?

a

2

|

c

c

问题 1:你能将所得函数关系叙述成命题吗?(用文字语言表述)

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椭圆上的点 M 到右焦点 F ( c , 0 ) 的距离与它到定直线 x ?

a

2

的距离的比等于离心率

c a

c

问题 2:你能写出所得命题的逆命题吗?并判断真假?(逆命题中不能出现焦点与离心率) 动点 M 到定点 F ( c , 0 ) 的距离与它到定直线 x ? 椭圆. 【引出课题】椭圆的第二定义 当点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e ?
c a ( 0 ? e ? 1 ) 时,这个点
a
2

的距离的比等于常数

c a

( a ? c ) 的点的轨迹是

c

的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率. 对于椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ,相应于焦点 F ( c , 0 ) 的准线方程是 x ?

a

2

.根据对称性,相应于焦点

c

F ? ( ? c , 0 ) 的准线方程是 x ? ?

a

2

.对于椭圆

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1 的准线方程是 y ? ?

a

2



c

c

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比,这就是离心率的几何意 义. 由椭圆的第二定义?
| MF | d ? e 可得:右焦半径公式为 | MF 右 | ? ed ? e | x ?
a
2

| ? a ? ex ;

c

左焦半径公式为 | MF 左 | ? ed ? e | x ? ( ? 典型例题 例 1、求椭圆
x
2

a

2

) | ? a ? ex

c

?

y

2

? 1 的右焦点和右准线;左焦点和左准线;

25

16
a
2

解:由题意可知右焦点 F ( c , 0 ) 右准线 x ?

;左焦点 F ( ? c , 0 ) 和左准线 x ? ?

a

2

c

c

变式:求椭圆 9 x ? y ? 81 方程的准线方程;
2 2

解:椭圆可化为标准方程为:

y

2

?

x

2

? 1 ,故其准线方程为 y ? ?

a

2

? ?

27 4

2

81

9

c

小结:求椭圆的准线方程一定要化成标准形式,然后利用准线公式即可求出 例 2、椭圆
x
2

?

y

2

? 1 上的点 M 到左准线的距离是 2 . 5 ,求 M 到左焦点的距离为

.

25

16
第 10 页(共 45 页)

变式:求 M 到右焦点的距离为

.

解:记椭圆的左右焦点分别为 F1 , F 2 到左右准线的距离分别为 d 1 , d 2 由椭圆的第二定义可知:
| MF | d ? e

| MF 1 | d1

? e ?

c a

?

3 5

?| MF 1 | ? ed

1

?

3 5

? 2 . 5 ? 1 . 5 ?| MF 1 | ? 1 . 5

又由椭的第一定义可知: | MF 1 | ? | MF 2 |? 2 a ? 10 ?| MF 2 |? 8 . 5
a
2

另解:点 M 到左准线的距离是 2.5,所以点 M 到右准线的距离为 2

? 2 .5 ?

50 3

?

5 2

?

85 6

c

?

| MF d2

2

|

? e ?| MF

2

| ? ed

2

?

3 5

?

85 6

? 8 .5

小结:椭圆第二定义的应用和第一定义的应用 例1、 点 P 与定点 A(2,0)的距离和它到定直线 x ? 8 的距离的比是 1:2,求点 P 的轨迹; 解法一:设 P ( x , y ) 为所求轨迹上的任一点,则 所的轨迹是椭圆。 解法二:因为定点 A(2,0)所以 c ? 2 ,定直线 x ? 8 所以 x ?
a
2

( x ? 2) ? y
2

2

|x?8|

?

1 2

由化简得

x

2

?

y

2

? 1 ,故

16

12

? 8 解得 a ? 4 ,又因为

c

e ?

c a

?

1 2

故所求的轨迹方程为

x

2

?

y

2

?1

16

12

变式:点 P 与定点 A(2,0)的距离和它到定直线 x ? 5 的距离的比是 1:2,求点 P 的轨迹; 分析:这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目,那么能否用上面的两种方法来解 呢? 解 法 一 : 设 P ( x, y ) 为 所 求 轨 迹 上 的 任 一 点 , 则
( x ? 2) ? y
2 2

|x?5|

?

1 2

由化简得

3x

2

? 6x ? 4y

2

? 9 ? 0 配方得

( x ? 1) 4

2

?

y

2

? 1 ,故所的轨迹是椭圆,其中心在(1,0)

3 a
2

解法二:因为定点 A(2,0)所以 c ? 2 ,定直线 x ? 8 所以 x ?

? 5 解得 a

2

? 10 ,故所求

c x
2

的轨迹方程为

?

y

2

?1

10

6

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问题 1:求出椭圆方程 率; 问题 2:求出椭圆方程

x

2

?

y

2

? 1和

( x ? 1) 4

2

?

y

2

? 1 的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心

4

3

3

x

2

?

y

2

? 1和

( x ? 1) 4

2

?

y

2

? 1 长轴顶点、焦点、准线方程;

4 x
2

3

3 ( x ? 1) 4
2

解:因为把椭圆

?

y

2

? 1 向右平移一个单位即可以得到椭圆
c a 1 2

?

y

2

? 1 所以问题 1 中

4

3
3 , c ? 1, e ? ?

3

的所有问题均不变,均为 a ? 3 , b ?
x
2

?

y

2

? 1 长轴顶点、焦点、准线方程分别为: ( ? 2 , 0 ) , ( ? 1, 0 ) x ? ? 4 ;

4 ( x ? 1) 4

3
2

?

y

2

? 1 长轴顶点、焦点、准线方程分别为: ( ? 2 ? 1, 0 ) , ( ? 1 ? 1, 0 ) x ? ? 4 ? 1 ;

3

反思:由于是标准方程,故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆,而题目中有三个条件, 所以我们必须进行检验, 又因为 e ?
c a ? 2 10

另一方面离心率就等于

1 2

这是两上矛盾的结果, 所

以所求方程是错误的。又由解法一可知,所求得的椭圆不是标准方程。 小结:以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用 求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大; 解法二运算量比较小,但应注意到会不会是标准方程,即如果三个数据可以符合课本例 4 的关系 的话,那么其方程就是标准方程,否则非标准方程,则只能用解法一的思维来解。 例 4、设 AB 是过椭圆右焦点的弦,那么以 AB 为直径的圆必与椭圆的右准线( ) A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析:如何判断直线与圆的位置关系呢? 解:设 AB 的中点为 M,则 M 即为圆心,直径是|AB|;记椭圆的右焦点为 F,右准线为 l ; 过点 A、B、M 分别作出准线 l 的垂线,分别记为 d 1 , d 2 , d 由梯形的中位线可知 d ?
d1 ? d 2 2

又由椭圆的第二定义可知

| AF | d1

? e

| BF | d2

? e 即 | AF | ? | BF | ? e ( d 1 ? d 2 )

又?

| AB | 2

?

| AF | ? | BF | 2

? e?

d1 ? d 2 2

且0 ? e ? 1 ? d ?

| AB | 2

故直线与圆相离

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例 5、已知点 M 为椭圆
| MA | ? 5 3

x

2

?

y

2

25
| MF 1 | 的最小值 5 3

16

? 1 的上任意一点, F 1 、 F 2 分别为左右焦点;且 A (1, 2 ) 求

分析:应如何把

| MF 1 | 表示出来

解:左准线 l 1 : x ? ?

a

2

? ?

25 3

c

,作 MD ? l 1 于点 D,记 d ? | MD |

由第二定义可知:
5 3

| MF 1 | d

? e ?

c a

?

3 5

?

| MF

1

|?

3 5

d ?

d ?

5 3

| MF

1

|

故有 | MA | ?

| MF 1 | ? | MA | ? d ? | MA | ? | MD | 25 3

所以有当 A、M、D 三点共线时,|MA|+|MD|有最小值: 1 ? 即 | MA | ?
5 3 | MF 1 | 的最小值是 28 3

变式 1: 3 | MA | ? 5 | MF 1 | 的最小值; 解: 3 | MA | ? 5 | MF 1 | ? 3 ( | MA | ?
5 3 | MF 1 | ) ? 3 ? 28 3 ? 28

变式 2: 解:
3 5

3 5

| MA | ? | MF 1 | 的最小值; 3 5 (| MA | ? 5 3 | MF 1 |) ? 3 5 ? 28 3 ? 28 5

| MA | ? | MF 1 | ?

M D A F

思考: 1.方程 2 ( x ? 1) ? ( y ? 1)
2 2

1

? | x ? y ? 2 | 表示什么曲线?

解:

( x ? 1)

2

? ( y ? 1)

2

|x? y?2| 2

?

2 2

?

2 2

? 1 ;即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数

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(且该常数小于 1)? 方程表示椭圆 例Ⅱ、 (06 四川高考 15)如图把椭圆的长轴 AB 分成 8 等分,过每个等分点作 x 轴的垂线交椭圆 的上半部分于 P1 , P2 ? P7 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则 | P1 F | ? | P2 F | ? ? ? | P7 F | = 解法一: e ?
| Pi F | d
c a ? 3 5

,设 Pi 的横坐标为 x i ,则 x i ? ? 5 ?
3 5

5 4

i 不妨设其焦点为左焦点



? e ?

c a

?

得 | Pi F | ? e ( x i ?
3 4

a

2

) ? a ? ex

c

i

? 5?

3 5

? (?5 ?

5 4

i) ? 2 ?

3 4

i

| P1 F | ? | P 2 F | ? ? ? | P 7 F | ? 2 ? 7 ?

(1 ? 2 ? ? ? 7 ) ? 35

解 法 二 : 由 题 意 可 知 P1 和 P 7 关 于 y 轴 对 称 , 又 由 椭 圆 的 对 称 性 及 其 第 一 定 义 可 知
| P1 F | ? | P7 F |? 2 a ,同理可知 | P 2 F | ? | P6 F | ? 2 a , | P3 F | ? | P5 F |? 2 a , | P4 F |? a

故 | P1 F | ? | P 2 F | ? ? ? | P7 F |? 7 a ? 35

2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。 性质一:已知椭圆方程为
x a
2

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ), 两焦点分别为 F 1 , F 2 , 设焦点三角形 PF 1 F 2 中

? F1 PF 2 ? ? , 则 S ? F1 PF 2 ? b tan
? (2c)
2

?
2


2

? F1 F 2

2

? PF 1

2

? PF 2

? 2 PF 1 PF 2 cos ?

? ( PF 1 ? PF 2 ) ? 2 PF 1 PF 2 (1 ? cos ? )
2

? PF 1 PF

2

?

( PF 1 ? PF

2

) ? 4c
2

2

2 (1 ? cos ? )

?

4a

2

? 4c

2

2 (1 ? cos ? )

?

2b

2

1 ? cos ?

? S ?F PF ?
1 2

1 2

P F1 P F 2 sin ? ?

b

2

1 ? cos ? y b
2 2

sin ? ? b ta n
2

?
2

性质二:已知椭圆方程为

x a

2 2

?

? 1 ( a ? b ? 0 ), 左右两焦点分别为 F 1 , F 2 , 设焦点三角形

PF 1 F 2 ,若 ? F1 PF 2 最大,则点 P 为椭圆短轴的端点。

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证明:设 P ( x o , y o ) ,由焦半径公式可知: PF 1 ? a ? ex o , PF 1 ? a ? ex o 在 ? F1 PF 2 中, cos ? ?
PF 1
2

? PF 1

2

? F1 F 2
2

2

?

( PF 1 ? PF

2

) ? 2 PF 1 PF
2 2

2

? 4c

2

2 PF 1 PF
2

2 PF 1 PF
4b
2

?

4a

? 4c

2

?1 ?
2

2 PF 1 PF

2 ( a ? ex o )( a ? ex o )

?1=

2b a
2

2 2 2

? e xo

?1

? ?a ? x0 ? a

? xo ? a
2

2

性质三:已知椭圆方程为

x a

2 2

?

y b
2

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ), 两焦点分别为 F 1 , F 2 , 设焦点三角形 PF 1 F 2 中

? F1 PF 2 ? ? , 则 cos ? ? 1 ? 2 e .

证明:设 PF 1 ? r1 , PF 2 ? r2 , 则在 ? F1 PF 2 中,由余弦定理得:
cos ? ? r1 ? r 2 ? F 1 F 2
2 2 2

?

( r1 ? r 2 ) ? 2 r1 r 2 ? 4 c
2

2

?

2a

2

? 2c

2

?1

2 r1 r 2

2 r1 r 2
2

2 r1 r 2

?

2a 2(

2

? 2c

r1 ? r 2 2

?1 ?
2

2a

2

? 2c
2

2

? 1 ? 1 ? 2e .
2

命题得证。

)

2a

(2000 年高考题)已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的两焦点分别为 F 1 , F 2 , 若椭圆上存在一点

P , 使得 ? F1 PF 2 ? 120 , 求椭圆的离心率 e 的取值范围。
0

简解:由椭圆焦点三角形性质可知 cos 120
? ? ,1 ? . ? ? 2 ? 3
2 2

0

? 1 ? 2e . 即 ?
2

1 2

? 1 ? 2e

2

,

于是得到 e 的取值范围是 ?

性质四:已知椭圆方程为

x a

2 2

?

y b

? 1 ( a ? b ? 0 ), 两焦点分别为 F 1 , F 2 , 设焦点三角形 PF 1 F 2 , sin( ? ? ? ) sin ? ? sin ?

? PF 1 F 2 ? ? , ? PF 2 F1 ? ? , 则椭圆的离心率 e ?



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? PF 1 F 2 ? ? , ? PF 2 F1 ? ? ,
F 1F 2 sin( 180
o

由正弦定理得:

?? ? ?)

?

PF

2

sin ?

?

PF

1

sin ?

由等比定理得:

F 1F 2 sin( ? ? ? ) 2c sin( ? ? ? )

?

PF

1

? PF

2

sin ? ? sin ? PF ? PF 2a sin ? ? sin ?



F 1F 2 sin( ? ? ? )

?



1

2

sin ? ? sin ?

?

∴e ?

c a

?

sin( ? ? ? ) sin ? ? sin ?



已知椭圆的焦点是 F1(-1,0)、F2(1,0),P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2| 的等差中项. (1)求椭圆的方程; (2)若点 P 在第三象限,且∠PF1F2=120°,求 tanF1PF2.

解:(1)由题设 2|F1F2|=|PF1|+|PF2| ∴2a=4,又 2c=2,∴b= 3 ∴椭圆的方程为
x
2

?

y

2

=1.

4

3

(2)设∠F1PF2=θ ,则∠PF2F1=60°-θ
? 椭圆的离心率 e ?

1 2



1 2

?

sin( 180 sin 120
o

o

??)
o

? sin( 60

??)

? 3 2

sin ? ? sin( 60
o


??)

整理得:5sinθ = 3 (1+cosθ )
?
2
2? 3 5 3 5 ? 3 11 25



sin ? 1 ? cos ?

?

3 5

故 tan

?

3 5

,tanF1PF2=tanθ =
1?



(2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到双曲线的定义. 〖板书〗把平面内与两个定点 F1 , F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F 2 )的点的轨 迹叫做双曲线(hyperbola) .其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫做双曲线的 焦距.即当动点设为 M 时,双曲线即为点集 P ? (ii)双曲线标准方程的推导过程

?M

M F1 ? M F 2 ? 2 a .

?

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提问:已知椭圆的图形,是怎么样建立直角坐标系的?类比求椭圆标准方程的方法由学生来 建立直角坐标系. 无理方程的化简过程仍是教学的难点,让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数 学活动过程. 类比椭圆:设参量 b 的意义:第一、便于写出双曲线的标准方程;第二、 a , b , c 的关系有明 显的几何意义. 类比:写出焦点在 y 轴上,中心在原点的双曲线的标准方程 (iii)例题讲解、引申与补充 例 1 已知双曲线两个焦点分别为 F1 ? ? 5, 0 ? , F 2 ? 5, 0 ? ,双曲线上一点 P 到 F1 , F 2 距离差 的绝对值等于 6 ,求双曲线的标准方程. 分析:由双曲线的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a , b , c . 补充:求下列动圆的圆心 M 的轨迹方程:① 与⊙ C : ? x ? 2 ? ? y ? 2 内切,且过点
2 2

y b

2 2

?

x a

2 2

? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? .

A ? 2 , 0 ? ;② 与⊙ C 1 : x ?
2

?y

? 1 ? ? 1 和⊙ C 2 : x ?
2 2 2 2

?y

? 1 ? ? 4 都外切;③ 与⊙ C 1 :
2

? x ? 3?

2

? y

2

? 9 外切,且与⊙ C 2 : ? x ? 3 ? ? y

? 1 内切.

解题剖析:这表面上看是圆与圆相切的问题,实际上是双曲线的定义问题.具体解:设动圆 M 的 半径为 r . ① ∵ ⊙ C 与 ⊙ M 内 切 , 点 A 在 ⊙ C 外 , ∴ M C ? r?
M A ? M C?
2x ?
2

2 , MA ? r ,因此有

2 ,∴点 M 的轨迹是以 C 、 A 为焦点的双曲线的左支,即 M 的轨迹方程是

2y 7

2

?1 x ? ?

?

2

?;



∵ ⊙ M 与 ⊙ C 1 、 ⊙ C 2 均 外 切 , ∴ M C1 ? r? 1 , M C 2 ? r ? 2 , 因 此 有

M C 2 ? M C 1 ? 1 ,∴点 M 的轨迹是以 C 2 、 C 1 为焦点的双曲线的上支,∴ M 的轨迹方程是
4y ?
2

4x 3

2

3? ? ? 1? y ? ? ; 4? ?

③ ∵ ? M 与 ? C 1 外切,且 ? M 与 ? C 2 内切,∴ M C 1 ? r ? 3 , M C 2 ? r ? 1 ,因此
M C 1 ? M C 2 ? 4 ,∴点 M 的轨迹是以 C 1 、 C 2 为焦点的双曲线的右支,∴ M 的轨迹方程是

第 17 页(共 45 页)

x

2

?

y

2

4

5

? 1? x ? 2 ? .

例 2 已知 A , B 两地相距 8 0 0 m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s ,且声速为 3 4 0 m / s ,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析:首先要判断轨迹的形状,由声学原理:由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差, 即可知 A , B 两地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展:某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告:正西、正北两个观察点同时 听到了一声巨响,正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4 s .已知各观察点到该中 心的距离都是 1 0 2 0 m .试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为 3 4 0 m / s ;相关 点均在同一平面内) . 解法剖析:因正西、正北同时听到巨响,则巨响应发生在西北方向或东南方向,以因正东比正西 晚 4 s ,则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图,以接报中心为原点 O ,正东、正北方向分别为 x 轴、 y 轴方向,建立 直角坐标系,设 A 、 B 、 C 分别是西、东、北观察点,则 A ? ? 1 0 2 0, 0 ? ,
B ? 1 0 2 0 , 0 ? , C ? 0,1 0 2 0 ? .

设 P ? x , y ? 为巨响发生点, A 、C 同时听到巨响, O P 所在直线为 y ? ? x ??①, ∵ ∴ 又因 B 点比 A 点晚 4 s 听到巨响声,∴ P B ? P A ? 4 ? 3 4 0 ? 1 3 6 0 ? m ? .由双曲线定义知, a ? 6 8 0 ,
x
2 2

c ? 1 0 2 0 ,∴ b ? 340 5 ,∴ P 点在双曲线方程为

?

y

2 2

680

5 ? 340

? 1 ? x ? ? 6 8 0 ? ??②.联

立①、②求出 P 点坐标为 P ? ? 6 8 0 5 , 6 8 0 5 ? .即巨响在正西北方向 6 8 0 1 0 m 处. 探究:如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ? 5, 0 ? , ? 5, 0 ? .直线 A M , B M 相交于 点 M ,且它们的斜率之积为 什么发现? 探究方法:若设点 M ? x , y ? ,则直线 A M , B M 的斜率就可以用含 x , y 的式子表示,由于 直线 A M ,B M 的斜率之积是
4 9 4 9

,求点 M 的轨迹方程,并与§2.1.例 3 比较,有

,因此,可以求出 x , y 之间的关系式, 即得到点 M 的轨迹方程.

2.2.2

双曲线的简单几何性质

(2)新课讲授过程 (i)通过复习和预习,对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.

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提问:研究双曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位 置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (ii)双曲线的简单几何性质 ①范围:由双曲线的标准方程得,
y b
2 2

?

x a

2 2

? 1 ? 0 ,进一步得: x ? ? a ,或 x ? a .这

说明双曲线在不等式 x ? ? a ,或 x ? a 所表示的区域; ②对称性:由以 ? x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ? x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究双曲线的 标准方程发生变化没有,从而得到双曲线是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲 线的顶点.因此双曲线有两个顶点,由于双曲线的对称轴有实虚之分,焦点所在的对称轴叫做实 轴,焦点不在的对称轴叫做虚轴; ④渐近线:直线 y ? ?
b a x 叫做双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的渐近线;

⑤离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 e ? (iii)例题讲解与引申、扩展

c a

叫做双曲线的离心率( e ? 1 ) .

例 3 求双曲线 9 y ? 1 6 x ? 1 4 4 的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方
2 2

程. 分析:由双曲线的方程化为标准方程,容易求出 a , b , c .引导学生用双曲线的实半轴长、虚半 轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子,但要注意焦点在 y 轴上的渐近线是
y ? ? a b x.
2 2

扩展:求与双曲线

x

?

y

? 1 共渐近线,且经过 A 2 3 , ? 3 点的双曲线的标准方及离心率.

16 x
2

9 y
2

?

?

解法剖析:双曲线

?

? 1 的渐近线方程为 y ? ?

3 4

x .①焦点在 x 轴上时,设所求的双

16 x
2 2

9

曲线为

?

y

2 2

? 1 ,∵ A 2 3, ? 3

16k

9k

?

? 点在双曲线上,∴ k ? ?

2

? ?

1 4

,无解;②焦点在 y 轴上时,

设所求的双曲线为 ?

x

2 2

?

y

2 2

? 1 ,∵ A 2 3 , ?3 点在双曲线上,∴ k

2

?

1 4

,因此,所求双

16k

9k

第 19 页(共 45 页)

曲线的标准方程为

y

2

9 4

?

x

2

? 1 ,离心率 e ?

5 3

.这个要进行分类讨论,但只有一种情形有解,

4

事实上,可直接设所求的双曲线的方程为

x

2

?

y

2

16

9

? m ?m ? R,m ? 0? .

例 4 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1) ,它的最 小半径为 1 2 m ,上口半径为 1 3m ,下口半径为 2 5 m ,高为 5 5 m .试选择适当的坐标系,求出双 曲线的方程(各长度量精确到 1m ) . 解法剖析:建立适当的直角坐标系,设双曲线的标准方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ,算出 a , b , c 的值;此题应注意两点:①注意建立直

角坐标系的两个原则;②关于 a , b , c 的近似值,原则上在没有注 意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定. 引申: 如图所示, P 处堆放着刚购买的草皮, 在 现要把这些草皮沿着道路 P A 或 P B 送到呈矩形的足球场 A B C D 中去铺垫,已知 A P ? 1 5 0 m , B P ? 1 0 0 m ,
B C ? 6 0 m ,? A P B ? 6 0 .能否在足球场上画一条“等距离”线,在“等距离”
?

线的两侧的区域应该选择怎样的线路?说明理由. 解题剖析:设 M 为“等距离”线上任意一点,则 P A ? A M ? P B ? B M , 即 B M ? A M ? A P ? B P ? 5 0 (定值) ,∴“等距离”线是以 A 、 B 为焦点的双曲线的左支
x
2

上的一部分,容易“等距离”线方程为

?

y

2

625

3750

? 1 ? ? 3 5 ? x ? ? 2 5, 0 ? y ? 6 0 ? .理由略.
16 5 16 5 5 4

例 5 如图,设 M ? x , y ? 与定点 F ? 5, 0 ? 的距离和它到直线 l : x ? 求点 M 的轨迹方程. 分析:若设点 M ? x , y ? ,则 M F ?
d ? x? 16 5

的距离的比是常数



?x

? 5? ? y
2

2

,到直线 l : x ?

的距离

,则容易得点 M 的轨迹方程.

引申:用《几何画板》探究点的轨迹:双曲线 若 点 M ? x, y 与 定 点 F ? c , 0 ? 的 距 离 和 它 到 定 直 线 l : x ? ?
a
2

的距离比是常数

c

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e ?

c a

?c

? a ? 0 ? ,则点 M 的轨迹方程是双曲线.其中定点 F ? c , 0 ? 是焦点,定直线 l : x ?

a

2

c

相应于 F 的准线;另一焦点 F ? ? ? c , 0 ? ,相应于 F ? 的准线 l ? : x ? ?

a

2



c

补充:
教学目标:
1111111111111111111

3.课题:双曲线第二定义

一、复习引入:
1、 (1)、双曲线的定义:平面上到两定点 F1、 F 2 距离之差的绝对值等于常数(小于 | F1 F 2 | ) 的点的 轨迹叫做双曲线.定点 F1、 F 2 叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 (2)、双曲线的标准方程: 焦点在 x 轴:
a ?b ?c
2 2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? 0, b ? 0)

焦点在 y 轴:

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 其中

2、 对于焦点在 x 轴上的双曲线的有关性质: (1)、焦点:F1(-c,0),F2(c,0);(2)、渐近线: y ? ?
b a x

;(3)、离心率: e ?

c a

>1

3、今节课我们来学习双曲线的另一定义。(板书课题:双曲线第二定义)

二、新课教学:
1、引例(课本 P64 例 6):点 M(x,y) 与定点 F(5,0)距离和它到定直线 l : x ? 常数
5 4 16 5

的距离之比是 y H H }, F1 o F2

,求点 M 的轨迹方程.

分析:利用求轨迹方程的方法。 解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合 P={M|
( x ? 5) ? y
2 2

| MF | d

?

5 4



?

5 4

化简得

x

2

?

y

2

?1
x ? a
2

x?

16 5

16

9
c

所以,点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 8、6 的双曲线。 由例 6 可知:定点 F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线 l : x ?
16 5

为x ?

a

2

,

c

第 21 页(共 45 页)

常数为离心率 e ?

c a

>1.
a
2

[提出问题]:从特殊到一般) ( 将上题改为: M(x,y)与定点 F(c,0)距离和它到定直线 l : x ? 点 的距离之比是常数 e ?
c a ? 1 ,求点 M 的轨迹方程。

c

解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离,
(x ? c) ? y
2 2

根据题意,所求轨迹就是集合 P={M|

| MF | d

?

5 4

}, 即

x?

a

2

?

c a

化简得 ( c ? a ) x ? a y ? a ( c ? a ) 两边同时除以 a ( c ? a ) 得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

c
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( 其 中 a ? 0, b ? 0 )

2、小结: 双曲线第二定义:当动点 M(x,y) 到一定点 F(c,0)的距离和它到一定直线 l : x ?
c a

a

2

的距离之

c

比是常数 e ?

? 1 时,这个动点 M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点 F(c,0)是双曲线的一个焦点,
2

定直线 l : x ?

a

叫双曲线的一条准线,常数 e 是双曲线的离心率。双曲线上任一点到焦点的线

c

段称为焦半径。例如 PF 是双曲线的焦半径。 (P65 思考)与椭圆的第二定义比较,你有什么发现?(让学生讨论) 答:只是常数 e 的取值范围不同,椭圆的 0 ? e ?
c a ? 1 ,而双曲线的 e ? c a ?1.

三、课堂练习
1. 求
x
2

?

y

2

? 1 的准线方程、两准线间的距离。

3 x
2

4 y
2

解:由

?

? 1 可知,焦点在 x 轴上,且 c ?

3? 4 ?

7 所以准线方程为: x ? ?

3 7

;故两

3

4
3 7 3 7 6 7 7

准线的距离为

? (?

)?

.

2、(2006 年广东高考第 8 题选择题)已知双曲线 3x 2-y 2 = 9,则双曲线右支上的点 P 到右焦点 的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )。

第 22 页(共 45 页)

(A)

2

(B)

2 3 3

(C) 2

(D) 4

解:
x
2

3、如果双曲线

?

y

2

? 1 上的一点 P 到左焦点的距离为 9,则 P 到右准线的距离是____
c a 13 5

25

144
?

解: P 到左准线的距离为 m,由双曲线方程可知 a=5,b=12,c=13, e ?
a
2

准线方程为 x ? ?

?

25 13
25 13

根据双曲线第二定义得,
25 13 50 13

9 m

? e?

13 5

? m ?

45 13
50 13 ? 45 13 ? 95 13

c

又?两准线间的距离为

? (?

)?

? P到 右 准 线 的 距 离 为



4、双曲线两准线把两焦点连线段三等分,求 e. 解:由题意可知,
a
2

? (?

a

2

)?

1 3

? 2c 即

c a

2 2

? 3, 又 ? e ? 1 所以 e ?

c a

?

3

c

c

5. 双 曲 线 的 是 .

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

?a > 0 , b > 0 ? 渐 近 线 与 一 条 准 线 围 成 的 三 角 形 的 面 积

解 : 由 题 意 可 知 , 一 条 准线 方 程 为 : x ?

a

2

, 渐 近 线 方 程为 y ? ?

b a

x

因为当 x ?

a

2



c b a ab ? ? ? a c c
2

c

y ? ?

所以所求的三角形面积为:

1 2

?[

ab c

? (?

ab c

)] ?

a

2

?

a b c
2

3

c

四、巩固练习:
1.已知双曲线 为
a
2

x a

2 2

?

y b

2 2

= 1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于 A,△OAF 面积

(O 为原点) ,则两条渐近线夹角为( ) B.45°
b a a
2

2

A.30°

C.60°
? ab c
? S△OAF=

D.90°
1 2 c ab c ? a
2

解: 由题意可得, OAF 的底边|OC|=c,高 h= ? △

? a ? b因

c

2

此可知该双曲线为等轴双曲线。所以两条渐近线夹角为 90°。

第 23 页(共 45 页)

2.已 知 点 A 3, 、 F 2,)在 双 曲 线 x 2 ? ( 1) ( 0 ,

y

2

? 1上 求 一 点 P , 使 得 P A ?

1 2

PF 的 值 最 小 , 并 求 出 最 小 值 。

3
分 析 : 本 题 的 关 键 是 利 用 双 曲 线 的 第 二 定 义 将 PA ?
解 : 由 题 意 得 e ? 2, 设 点 P 到 右 准 线 的 距 离 为 d ,

1 2

PF 中 的

1 2

PF 转 化 。

y

H P

P

1 PF PF ? d 则由双曲线第二定义得: ? 2? 2 d

即 PA ?

1 2

PF ? PA ? d

H F1 o

A F2 x

结合图形得 : 最 小 值 为 :? 3

a

2

?

5 2

, 这 时 P为 : (

2 3

3

, 。 1)

c

4

2.4 抛物线

x ?

a

2

c

在二次函数中研究的抛物线,它的对称轴是平行于 y 轴、开口向上或开口向下两种情形.引 导学生进一步思考:如果抛物线的对称轴不平行于 y 轴,那么就不能作为二次函数的图象来研究 了.今天,我们突破函数研究中这个限制,从更一般意义上来研究抛物线. 通过提问来激发学生的探究欲望, 首先研究抛物线的定义, 教师可以用直观的教具叫学生参 与进行演示,再由学生归纳出抛物线的定义. (2) 抛物线的标准方程 设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于 0).下面,我们来求抛物线的方程.怎 样选择直角坐标系,才能使所得的方程取较简单的形式呢? 让学生议论一下,教师巡视,启发辅导,最后简单小结建立直角坐标系的方案 方案 1:(由第一组同学完成,请一优等生演板.)以 l 为 y 轴,过点 F 与直线 l 垂直的直线 为 x 轴建立直角坐标系(图 2-30).设定点 F(p,0),动点 M 的坐标为(x,y),过 M 作 MD⊥y 轴于

D,抛物线的集合为:p={M||MF|=|MD|}.

化简后得:y2=2px-p2(p>0). 方案 2:(由第二组同学完成,请一优等生演板)

第 24 页(共 45 页)

以定点 F 为原点,平行 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系(图 2-31).设动点 M 的坐标为(x, y),且设直线 l 的方程为 x=-p,定点 F(0,0),过 M 作 MD⊥l 于 D,抛物线的集合为: p={M||MF|=|MD|}.

化简得:y2=2px+p2(p>0). 方案 3:(由第三、四组同学完成,请一优等生演板.) 取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 交于 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系(图 2-32).

抛物线上的点 M(x,y)到 l 的距离为 d,抛物线是集合 p={M||MF|=d}.

化简后得:y2=2px(p>0). (3) 例题讲解与引申 教材中选取了 2 个例题,例 1 是让学生会应用公式求抛物线的焦点坐标和准线方程。例 2 是 应用方面的问题,关键是由题意设出抛物线的方程即可。 2。 3 2 抛物线的几何性质 (1) 抛物线的几何性质 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方程 y2=2px(p>0)出发来研究它 的几何性质. (二)几何性质 怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质?以 y2=2px(p>0)为例,用小黑板给出下表, 请学生对比、研究和填写. 1

第 25 页(共 45 页)

(2) 例题的讲解与引申 例 3 有 2 种解法; 解法一运用了抛物线的重要性质: 抛物线上任一点到焦点的距离(即 此点的焦半径)等于此点到准线的距离.可得焦半径公式设 P(x0,

这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到,因此必须熟练掌握. (2)由焦半径不难得出焦点弦长公式: AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦), A(x1, 设 若 y1)、 B(x2,y2)则有|AB|=x1+x2+p.特别地:当 AB⊥x 轴,抛物线的通径|AB|=2p 例 4 涉及直线与圆锥曲线相交时,常把直线与圆锥曲线方程联立,消去一个变量,得到关于 另一变量的一元二次方程,然后用韦达定理求解,这是解决这类问题的一种常用方法. 附 教学教案

2.4.1 抛物线及标准方程
(3) 新课讲授过程 (i)由上面的探究过程得出抛物线的定义 《板书》平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在 定直线 l 上).定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. (ii) 抛物线标准方程的推导过程

第 26 页(共 45 页)

引导学生分析出: 方案 3 中得出的方程作为抛物线的标准方程. 这是因为这个方程不仅具有 较简的形式,而方程中的系数有明确的几何意义:一次项系数是焦点到准线距离的 2 倍. 由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况,抛物线的标准方程有四种情形(列表如下):

将上表画在小黑板上,讲解时出示小黑板,并讲清为什么会出现四种不同的情形,四种情形 中 P>0;并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆.即:当对称轴为 x 轴时,方程等 号右端为±2px,相应地左端为 y2;当对称轴为 y 轴时,方程等号的右端为±2py,相应地左端为 x2.同时注意:当焦点在正半轴上时,取正号;当焦点在负半轴上时,取负号. (iii)例题讲解与引申 例1 已知抛物线的标准方程是 y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程 已知抛物线的焦点是 F(0,-2),求它的标准方程 解 因为 p=3,所以抛物线的焦点坐标是(3/2,0)准线方程是 x=-3/2 因为抛物线的焦点在轴的负半轴上,且 p/2=2,p=4,所以抛物线的标准方程是 x2=-8y

第 27 页(共 45 页)

例 2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接 受天线,经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为 4.8m 深度为 0.5m,求抛物线的标准方程 和焦点坐标。 解;设抛物线的标准方程是 y2=2px (p>0)。有已知条件可得,点 A 的坐标是(0.5,2.4) 代入方程,得 2.4=2p*0.5 即=5.76 所以,抛物线的标准方程是 y2=11.52x,焦点坐标是(2.88,0) 练习:第 72 页 1、2、3、 作业:第 78 页 1、2、3、4、

2.4.2 抛物线的几何性质
复习与引入过程 1.抛物线的定义是什么? 请一同学回答. 应为: “平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线.” 2.抛物线的标准方程是什么? 再请一同学回答.应为:抛物线的标准方程是 y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p> 0)和 x2=-2py(p>0). 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方程 y2=2px(p>0)出发来研究它 的几何性质.《板书》抛物线的几何性质 (2)新课讲授过程 (i)抛物线的几何性质 通过和椭圆、双曲线的几何性质相比,抛物线的几何性质有什么特点? 学生和教师共同小结: (1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但是没有渐近线. (2)抛物线只有一条对称轴,这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合, 抛物线没有中心. (3)抛物线只有一个顶点,它是焦点和焦点在准线上射影的中点. (4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义,并和抛物线的定义作比较.其结果是 应规定抛物线的离心率为 1.注意:这样不仅引入了抛物线离心率的概念,而且把圆锥曲线作为 点的轨迹统一起来了 (ii)例题讲解与引申 .例题 3 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离 等于 5,求抛物线的方程和 m 的值. 解法一:由焦半径关系,设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),则准线方

因为抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离

得 p=4. 因此,所求抛物线方程为 y2=-8x.

第 28 页(共 45 页)

又点 M(-3,m)在此抛物线上,故 m2=-8(-3).

解法二:由题设列两个方程,可求得 p 和 m.由学生演板.由题意

在抛物线上且|MF|=5,故

例 4 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A、B 两点,且 A(x1, y1)、B(x2,y2)(图 2-34).

证明: (1)当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 方程为:

此方程的两根 y1、y2 分别是 A、B 两点的纵坐标,则有 y1y2=-p2.

或 y1=-p,y2=p,故 y1y2=-p2. 综合上述有 y1y2=-p2 又∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线上的两点,

第 29 页(共 45 页)

第三章

空间向量与立体几何

3.1 空间向量及其运算(一)
[⒈向量的加法:

⒉向量的减法: ⒊实数与向量的积:

实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa,其长度和方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a| (2)当 λ>0 时,λa 与 a 同向; 当 λ<0 时,λa 与 a 反向; 当 λ=0 时,λa=0.
[师]关于向量的以上几种运算,请同学们回忆一下,有哪些运算律呢? [生]向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb
[师]今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上,类比地引入空间向量的概念、表示方 法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率,并进行一些简单 的应用.请同学们阅读课本 P26~P27. Ⅱ.新课讲授 [师]如同平面向量的概念,我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量. 例如空间 的一个平移就是一个向量.那么我们怎样表示空间向量呢?相等的向量又是怎样表示的呢? [生]与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示 同一向量或相等的向量. [师]由以上知识可知,向量在空间中是可以平移的.空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示.因此我们说空间任意两个向量是共面的. [师]空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢? [生]空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样:
OB ? OA ? AB =a+b, AB ? OB ? OA(指向被减向量) ,

OP

?

λa ( ?

? R)

[师]空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢?请大家验证这些运算律. [生]空间向量加法与数乘向量有如下运算律:

⑴加法交换律:a + b = b + a;

第 30 页(共 45 页)

⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c); (课件验证) ⑶数乘分配律:λ(a + b) =λa +λb.
[师]空间向量加法的运算律要注意以下几点: ⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:
A1 A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n ? 1 A n ? A1 A n

因此,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量. ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量.即:
A1 A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n ? 1 A n ? A n A1 ? 0 .

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立. 因此,求始点相同的两个向量之和时,可以考虑用平行四边形法则.

例1已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D '(如图) ,化简下列向 量表达式,并标出化简结果的向量:
⑴ AB ? BC ;

⑶ ⑵ AB ? AD ? AA ' ; AB ? AD ?

1 2

CC '



1 3

( AB ? AD ? AA ' ).

说明: 平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A’B’C’D’的轨迹所形成 的几何体,叫做平行六面体.记作 ABCD—A’B’C’D’. 平行六面体的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱. 解: (见课本 P27) 说明:由第 2 小题可知,始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以 这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量, 这是平面 向量加法的平行四边形法则向空间的推广.
Ⅲ.巩固练习

空间向量及其运算(2)
1.共线(平行)向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行 向量。读作: a 平行于 b ,记作: a // b .
第 31 页(共 45 页)

?

?

?

?

2.共线向量定理: 对空间任意两个向量 a , b ( b ? 0 ), a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ? b ( ? 唯一) . 推论:如果 l 为经过已知点 A ,且平行于已知向量 a 的直线,那么对任一点 O ,点 P 在直线 l 上 的充要条件是存在实数 t ,满足等式 O P ? O A ? t A B ①,其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量。在 l 上取 A B ? a ,则①式可化为 O P ? O A ? t A B 或 O P ? (1 ? t ) O A ? t O B ②
l

? ? ?

?

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?

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?

?

??? ?

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??? ?

a P B A

当t ?

1 2

时,点 P 是线段 A B 的中点,此时 O P ?

??? ?

? ? 1 ??? ??? (O A ? O B ) ③ 2

①和②都叫空间直线的向量参数方程,③是线段 A B 的中点公式. 3.向量与平面平行:
?
O

已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ? a ,如果直线 O A 平行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向量 a 平 行于平面 ? ,记作: a // ? . 通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 说明:空间任意的两向量都是共面的. 4.共面向量定理:
? ?
?

??? ?

?

?

? a ? a

?

如果两个向量 a , b 不共线, p 与向量 a , b 共面的充要条件是存在实数 x , y 使 p ? x a ? y b . 推论:空间一点 P 位于平面 M A B 内的充分必要条件是存在有序实数对 x, y ,使
???? ???? MP? xMA ? ???? ??? ? ???? ? ???? ???? y M 或对空间任一点 O ,有 O P ? O M ? x M A ? y M B ① B

?

? ?

?

?

?

上面①式叫做平面 M A B 的向量表达式. (三)例题分析: 例 1.已知 A , B , C 三点不共线,对平面外任一点,满足条件 O P ? 试判断:点 P 与 A , B , C 是否一定共面? 解:由题意: 5 O P ? O A ? 2 O B ? 2 O C , ∴ (O P ? O A ) ? 2 (O B ? O P ) ? 2 (O C ? O P ) , ∴ A P ? 2 P B ? 2 P C ,即 P A ? ? 2 P B ? 2 P C , 所以,点 P 与 A , B , C 共面. 说明:在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候,首先要选择恰当的充要 条件形式,然后对照形式将已知条件进行转化运算.
??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ?
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ?

??? ?

? 2 ??? ? 2 ???? 1 ??? OA ? OB ? OC , 5 5 5

??? ?

??? ?

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????

第 32 页(共 45 页)

【练习】 对空间任一点 O 和不共线的三点 A , B , C , : 问满足向量式 O P ? x O A ? y O B ? z O C (其 中 x ? y ? z ? 1 )的四点 P , A , B , C 是否共面? 解:∵ O P ? (1 ? z ? y ) O A ? y O B ? z O C , ∴ O P ? O A ? y (O B ? O A ) ? z (O C ? O A ) , ∴ A P ? y A B ? z A C ,∴点 P 与点 A , B , C 共面. 例 2.已知 ? A B C D ,从平面 A C 外一点 O 引向量
???? ??? ???? ? ??? ???? ? ???? ???? ? ???? O E ? k O A, O F ? K O B , O G ? k O C , O H ? k O D ,

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O

D
A B

C

H

(1)求证:四点 E , F , G , H 共面; (2)平面 A C // 平面 E G .
???? ??? ?
E F

G

解: (1)∵四边形 A B C D 是平行四边形,∴ A C ? A B ? A D , ∵ EG ? OG ? OE ,
???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ???? ? ? k ? O C ? k ? O A ? k (O C ? O A ) ? k A C ? k ( A B ? A D ) ??? ??? ???? ??? ? ? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ? ? k (O B ? O A ? O D ? O A ) ? O F ? O E ? O H ? O E ??? ? ???? ? EF ? EH

????

????

????

??? ?

∴ E , F , G , H 共面; (2)∵ E F ? O F ? O E ? k ( O B ? O A ) ? k ? A B ,又∵ E G ? k ? A C , ∴ E F // A B , E G // A C 所以,平面 A C // 平面 E G . 五、课堂练习:课本第 96 页练习第 1、2、3 题. 六、课堂小结:1.共线向量定理和共面向量定理及其推论; 2.空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式. 七、作业: 1.已知两个非零向量 e1 , e 2 不共线,如果 A B ? e1 ? e 2 , A C ? 2 e1 ? 8 e 2 , A D ? 3 e1 ? 3 e 2 , 求证: A , B , C , D 共面. 2.已知 a ? 3 m ? 2 n ? 4 p , b ? ( x ? 1) m ? 8 n ? 2 yp , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x , y 的值。
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第 33 页(共 45 页)

3.如图, E , F , G , H 分别为正方体 A C 1 的棱 A1 B1 , A1 D 1 , B1C 1 , D 1C 1 的中点, 求证: (1) E , F , D , B 四点共面; (2)平面 A E F // 平面 B D H G . 4.已知 E , F , G , H 分别是空间四边形 A B C D 边 A B , B C , C D , D A 的中点,
D1 H G E B1 C1

A E B

(1)用向量法证明: E , F , G , H 四点共面;
A1

F

H
D
F
G C

(2)用向量法证明: B D // 平面 E F G H .
D A B C

3.1.3.空间向量的数量积(1)
(二)新课讲解: 1.空间向量的夹角及其表示:
? ?

已知两非零向量 a , b ,在空间任取一点 O ,作 O A ? a ,O B ? b ,则 ? AO B 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 ? a , b ? ;且规定 0 ? ? a , b ? ? ? ,显然有 ? a , b ? ? ? b , a ? ; 若? a , b ?? 2.向量的模:
??? ? ?
? ?
? ?

??? ?

? ? ???

?

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?
2

,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b ;

?

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?

?

设 O A ? a ,则有向线段 O A 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | ; 3.向量的数量积:
? ?

??? ?

?

?

已知向量 a , b ,则 | a | ? | b | ? co s ? a , b ? 叫做 a , b 的数量积,记 作 a ? b ,即 a ? b ? | a | ? | b | ? co s ? a , b ? .
? ?

?
?

?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

??? ? ? ? 已知向量 A B ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量, ????? 作点 A 在 l 上的射影 A ? ,作点 B 在 l 上的射影 B ? ,则 A ? B ? 叫做 ??? ? ????? ? 向量 A B 在轴 l 上或在 e 上的正射影;可以证明 A ? B ? 的长度 ????? ??? ? ? ? ? ? | A ? B ? |? | A B | c o s? a ,e ? ? | a? e . |

? e

B

A?
A

B?

C

4.空间向量数量积的性质: ? ? ? ? ? (1) a ? e ? | a | co s ? a , e ? . (2) a ? b ? a ? b ? 0 . (3) | a | ? a ? a .
2

?

?

? ?

?

? ?

5.空间向量数量积运算律:
? ? ? ? ?

(1) ( ? a ) ? b ? ? ( a ? b ) ? a ? ( ? b ) . (2) a ? b ? b ? a (交换律) . (3) a ? ( b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) .
第 34 页(共 45 页)

?

? ?
?

? ?
?

?

? ?

? ?

(三)例题分析: 例 1.用向量方法证明:直线和平面垂直的判定定理。 已知: m , n 是平面 ? 内的两条相交直线,直线 l 与平面 ? 的交点为 B ,且 l ? m , l ? n 求证: l ? ? . 证明:在 ? 内作不与 m , n 重合的任一直线 g , 在 l , m , n , g 上取非零向量 l , m , n , g ,∵ m , n 相交, ∴向量 m , n 不平行,由共面定理可知,存在 唯一有序实数对 ( x , y ) ,使 g ? xm ? yn ,
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
l

? ?

?

?

?

∴ l ? g ? xl ? m ? yl ? n ,又∵ l ? m ? 0 , l ? n ? 0 , ∴ l ? g ? 0 ,∴ l ? g ,∴ l ? g , 所以,直线 l 垂直于平面内的任意一条直线,即得 l ? ? .
? ? ?

?

?

? ?

g n

m l m g n

例 2.已知空间四边形 A B C D 中, A B ? C D , A C ? B D ,求证: A D ? B C . 证明: (法一) A D ? B C ? ( A B ? B D ) ? ( A C ? A B )
??? ???? ???? ???? ??? 2 ??? ???? ? ? ? ? AB ? AC ? BD ? AC ? AB ? AB ? BD ??? ???? ??? ???? ? ? ??? ???? ? ? AB ? ( AC ? AB ? BD ) ? AB ? DC ? 0 . ??? ? ? ???? ? ???? ? (法二)选取一组基底,设 A B ? a , A C ? b , A D ? c , ? ? ? ? ? ? ? ∵ A B ? C D ,∴ a ? ( c ? b ) ? 0 ,即 a ? c ? b ? a , ? ? ? ? 同理: a ? b ? b ? c , , ? ? ? ? ∴a ?c ? b ?c , ???? ???? ? ? ? ∴ c ? ( b ? a ) ? 0 ,∴ A D ? B C ? 0 ,即 A D ? B C . ???? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ?

说明: 用向量解几何题的一般方法: 把线段或角度转化为向量表示, 并用已知向量表示未知向量, 然后通过向量运算取计算或证明。
? 例 3.如图,在空间四边形 O A B C 中, O A ? 8 , A B ? 6 , A C ? 4 , B C ? 5 , ? O A C ? 4 5 , ? ? O A B ? 6 0 ,求 O A 与 B C 的夹角的余弦值。

解:∵ B C ? A C ? A B ,
??? ??? ? ? ??? ???? ?

????

????

??? ?

∴OA ? BC ? OA ? AC ? OA ? AB
?

??? ??? ? ?

O

??? ? ???? ??? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? | O A | ? | A C | ? co s ? O A , A C ? ? | O A | ? | A B | ? co s ? O A , A B ?
?

? 8 ? 4 ? co s 1 3 5 ? 8 ? 6 ? co s 1 2 0 ? 2 4 ? 1 6 2 ??? ???? ? ??? ???? ? OA ? BC 24 ? 16 2 3?2 ? ???? ? ? ∴ c o s ? O A , B C ? ? ??? 8?5 5 | OA | ? | BC |

A

2

C


B

所以, O A 与 B C 的夹角的余弦值为

3?2 5

2



??? ???? ? ??? ???? ? ? ? 说明:由图形知向量的夹角时易出错,如 ? O A , A C ? ? 1 3 5 易错写成 ? O A , A C ? ? 4 5 ,切记!

四、教学过程: 考点一:向量的数量积运算 (一) 、知识要点:

第 35 页(共 45 页)

1)定义:① 设< a , b >= ? ,则 a ?b ②设 a
? ?

? ?

? ?

?

( ? 的范围为 则 a ?b
?

) 。

?

? ? ( x1 , y 1 ) , b ? ( x 2 , y 2 )
??

? ?

?
? ?

注:① a ?b 不能写成 a b ,或 a ? b 2)投影: b 在 a 方向上的投影为 3)向量数量积运算律: ① a ?b
? ? ? ? ? b ?a
? ?
? ?

?

② a ?b 的结果为一个数值。 。
? ? ? ? ? ? ? ? a ?c ? b ?c

② ( ? a ) ?b
? ? ?

? ? ? ? ? ? ( a ?b ) ? a ?( ? b ) ? ? ? ? a ?( b ?c )

③ ( a ? b ) ?c

注:①没有结合律 ( a ?b ) ?c 一) 、知识要点: ①a ②
?

? ? ? ? b ? a ?b ? 0 (用于判定垂直问题)
?2 a

? a ?

(用于求模运算问题) (用于求角运算问题)

? ? a ?b ③ cos ? ? ? ? a b

.1.5 空间向量运算的坐标表示
一、向量在轴上的投影 1.几个概念 (1) 轴上有向线段的值:设有一轴 u , AB 是轴 u 上的有向线段,如果数 ? 满足 ? ? AB , 且当 AB 与轴 u 同向时 ? 是正的,当 AB 与轴 u 反向时 ? 是负的,那么数 ? 叫做轴 u 上有向线段
AB 的值,记做 AB,即 ? ? AB 。设 e 是与 u 轴同方向的单位向量,则 AB ? ? e

(2) 设 A、B、C 是 u 轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有 AC ? AB ? BC (3) 两向量夹角的概念:设有两个非零向量 a 和 b,任取空间一点 O,作 OA ? a , OB ? b ,
?

规定不超过 ? 的 ? AOB 称为向量 a 和 b 的夹角,记为 ( a , b ) (4) 空间一点 A 在轴 u 上的投影:通过点 A 作轴 u 的垂直平面,该平面与轴 u 的交点 A 叫做 点 A 在轴 u 上的投影。
'

第 36 页(共 45 页)

(5) 向量 AB 在轴 u 上的投影:设已知向量 AB 的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别为点
A 和 B ,那么轴 u 上的有向线段的值 A B 叫做向量 AB 在轴 u 上的投影,记做 Pr j u AB 。
' '

'

'

2.投影定理 性质 1:向量在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 ? 的余弦:
Pr j u AB ? AB c o s?

性质 2:两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即
Pr j u ( a 1 ? a 2 ) ? Pr j a 1 ? Pr j a 2

性质 3:向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即
Pr j u ( ? a ) ? ? Pr j a

二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1.向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法,使平面上或空间的点与有序数组之间建立 了一一对应关系,同样地,为了沟通数与向量的 研究,需要建立向量与有序数之间的对应关系。 设 a = M 1M
2

是 以 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 为 起 点 、

M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为终点的向量,i、j、k 分别表示

图 7-5 沿 x,y,z 轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,由图 7-5,并应用向量 的加法规则知:
M 1M
2

? ( x 2 ? x 1 ) i + ( y 2 ? y 1 ) j+ ( z 2 ? z 1 ) k



a = ax i + ayj + azk

上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。 有序数组 ax、ay、az 与向量 a 一一对应,向量 a 在三条坐标轴上的投影 ax、ay、az 就叫做向 量 a 的坐标,并记为 a = {ax,ay,az}。

第 37 页(共 45 页)

上式叫做向量 a 的坐标表示式。 于是,起点为 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 终点为 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 的向量可以表示为
M 1M ? { x 2 ? x1 , y 2 ? y 1 , z 2 ? z1 }

2

特别地,点 M ( x , y , z ) 对于原点 O 的向径
OM ? { x , y , z }

注意:向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量 a 在坐标轴上的投影是三个数 ax、ay、az, 向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量 ax i 、 ayj 、 azk. 2.向量运算的坐标表示 设 a ? { a x , a y , a z } , b ? {b x , b y , b z } 即 a ? a x i ? a y j ? a z k , b ? b x i ? b y j ? b z k 则 (1) 加法: ◆ 减法: ◆ 乘数: ◆ 或
a ? b ? (a x ? b x )i ? (a y ? b y ) j ? (a z ? b z )k

a ? b ? (a x ? b x )i ? (a y ? b y ) j ? (a z ? b z )k

? a ? (? a x )i ? (? a y ) j ? (? a z )k
a ? b ? {a x ? b x , a y ? b y , a z ? b z } a ? b ? {a x ? b x , a y ? b y , a z ? b z }

? a ? {? a x , ? a y , ? a z }

◆ 平行:若 a≠0 时,向量 b // a 相当于 b ? ? a ,即
{b x , b y , b z } ? ? { a x , a y , a z }

也相当于向量的对应坐标成比例即
bx ax ? by ay ? bz az

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

第 38 页(共 45 页)

设 a ? { a x , a y , a z } ,可以用它与三个坐标轴的夹角 ? 、 ? 、 ? (均大于等于 0,小于等于 ? ) 来表示它的方向,称 ?、 ?、 ? 为非零向量 a 的方向角,见图 7-6,其余弦表示形式
cos ? 、 cos ? 、 ? 称为方向余弦。 cos

图 7-6

1. 模
a ? ax ? ay ? az
2 2 2

2. 方向余弦
? a ? M M cos ? ? a cos ? x 1 2 ? ? 由性质 1 知 ? a y ? M 1 M 2 cos ? ? a cos ? ,当 a ? ? ? a z ? M 1 M 2 cos ? ? a cos ? ?
? a ? cos ? ? x ? a ? ? ay ? ? ? cos ? ? a ? ? az ? cos ? ? ? a ? ? ax ax ? ay ? az
2 2 2

a x ? a y ? a z ? 0 时,有
2 2 2

ay ax ? ay ? az
2 2 2

az ax ? ay ? az
2 2
2

2

◆ 任意向量的方向余弦有性质: cos ? ? cos
2

2

? ? cos

? ?1

◆ 与非零向量 a 同方向的单位向量为:
a
0

?

a a

?

1 a

{a x , a

y

, a z } ? {cos ? , cos ? , cos ? }

3. 例子:已知两点 M1(2,2, 2 )、M2(1,3,0),计算向量 M 1 M
M 1M
2

2

的模、方向余弦、方向角以及与

同向的单位向量。 ={1-2,3-2,0- 2 }={-1,1,- 2 }
? ( ? 1) ? 1 ? ( ?
2 2

解: M 1 M
M 1M

2

2

2)

2

? 2

cos ? ? ?

1 2

, cos ? ?

1 2

, cos ? ? ?

2 2

第 39 页(共 45 页)

? ?
0

2? 3

,? ?

?
3
2

,? ?

3? 4

设 a 为与 M 1 M 即得
a
0

同向的单位向量,由于 a

0

? {cos ? , cos ? , cos ? }

? {?

1 1 2 , ,? } 2 2 2

3.2 立体几何中的向量方法 空间距离
利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问题中大量的作图、证明等步 骤,而转化为向量间的计算问题. 例1如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC ⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离. 分析: 由题设可知 CG、 CD 两两互相垂直, CB、 可以由此建立空间直角坐标系. 用 向量法求解,就是求出过 B 且垂直于平面 EFG 的向量,它的长即为点 B 到平面 EFG 的距离. 解:如图,设 CD
? 4i,CB ? 4j,CG ? 2k,

以 i、 k 为坐标向量建立空间直角坐标系 C-xyz. j、 由题设 C(0,0,0), A(4,4,0), B(0,4,0), D(4,0,0), E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2). ∴
???? ???? B E ? (2, 0, 0) , B F ? (4, ?2, 0) , ???? ? ???? B G ? (0 , ? 4 , 2 ) , G E ? ( 2 , 4 , ? 2 ) , ???? E F ? (2, ?2, 0) .
?

设 BM ∴

平面 EFG,M 为垂足,则 M、G、E、F 四点共面,由共面向量定理知,
????? ???? ???? ???? ? ? a B E ? b B F ? c B G ( a ? b ? c ? 1)

存在实数 a、b、c,使得 B M 由 BM



????? B M ? a ( 2, 0, 0 ) ? b ( 4, ? 2, 0 ) ? c (0, ? 4, 2 )

=(2a+4b,-2b-4c,2c). ,于是

? 平面 EFG,得 B M ? G E , B M ? E F ????? ???? ????? ???? B M ? G ?E0 , B M ? E F ? 0 .

第 40 页(共 45 页)



?(2 a ? 4b, ?2b ? 4c, 2c) ? (2, 4, ?2) ? 0 ? ?(2 a ? 4b, ?2b ? 4c, 2c) ? (2, ?2, 0) ? 0 ?a ? b ? c ? 1 ?

15 ? a ? ? 11 ?a ? 5c ? 0 ? 7 ? ? 整理得: ?a ? 3b ? 2c ? 0 ,解得 ? b ? ? 11 ?a ? b ? c ? 1 ? ? 3 ? ?c ? 11 ?



∴ ∴

BM

=(2a+4b,-2b-4c,2c)= (
? 2 ? ? 2 ? ? 6 ? ? ? ?? ? ?? ? ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ?
2 2 2

2

,

2

,

6

).

11 11 11
????? | B M |? ? 2 11 11

故点 B 到平面 EFG 的距离为

2 11 11



说明:用向量法求点到平面的距离,常常不必作出垂线段,只需利用垂足在平面 内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了. 例 2 已知正方体 ABCD- A ' B ' C ' D ' 的棱长为 1,求直线 DA' 与 AC 的距离. 分析:设异面直线 DA' 、AC 的公垂线是直线 l,则线段 AA' 在直线 l 上的射影就 是两异面直线的公垂线段,所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解. 解:如图,设 B' A' 坐标系 B' -xyz,则有
A '(1, 0 , 0 ) , D (1,1,1) , A (1, 0 ,1) , C (0 ,1,1)

? i, B 'C ' ? j, B' B ? k,以

i、j、k 为坐标向量建立空间直角





????? ???? ? ????? D A ' ? (0 , ? 1, ? 1) , A C ? ( ? 1,1, 0 ) , A ' A ? (0 , 0 ,1) .

设 n?

( x, y, z )

是直线 l 方向上的单位向量,则 x 2
AC

? y ? z ? 1.
2 2

∵ n ? DA' ,n ?


3 3



?? y ? z ? 0 3 ? ,解得 x ? y ? ? z ? ?? x ? y ? 0 3 ? 2 2 2 ?x ? y ? z ? 1
3 3 3 3 ,? 3 3 ) ,则向量 A' A

或x

? y ? ?z ? ?



取 n?

(

,

在直线 l 上的投影为

第 41 页(共 45 页)

n? A' A

?(

3 3

,

3 3

,?

3 3

) ? (0,0,1) ? ?

3 3



由两个向量的数量积的几何意义知,直线 DA' 与 AC 的距离为

3 3



向量的内积与二面角的计算
在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中,讲到几何空间的内积 时,有一个例题(见[1],p53)要求证明如下的公式:
cos ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos ? ,

(1)

其中点 O 是二面角 P-MN-Q 的棱 MN 上的点,OA、OB 分别在平面 P 和平面 Q 内。
? AON ? ?

, ? BON

? ?


z

? AOB ? ?

。 ? 为二面角 P-MN-Q(见图 1) 。

D

P A

? a

?
M O

?
? b
x

y

N

B

Q

图1

公式(1)可以利用向量的内积来加以证明: 以 Q 为坐标平面,直线 MN 为 y 轴,如图 1 建立直角坐标系。 记 xOz 平面与平 面 P 的交线为射线 OD,则 OD ? MN ,得
? AOD ?

?
2

??

, ? DOx

??
?

, ? DOz
?

?

?
2

??

。 。

分别沿射线 OA、OB 的方向上作单位向量 a , b ,则 由计算知 a , b 的坐标分别为
(sin ? cos ? , cos ? , sin ? sin ? )
?

? ? a,b ? ?

?

, (sin ? , cos ? , 0 ) ,

于是,
第 42 页(共 45 页)

? ? ? ? a ?b ? ? a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos ? cos ? ? ? |a |?|b |



公式(1)在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个 应用。 例 1.立方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长为 1,E、F、G、H、I 分别为 A1D1、A1A、 A1B1、B1C1、B1B 的中点。 求面 EFG 和面 GHI 的夹角 ? 的大小(用反三角函数表示) 。 解 由于图 2 中所画的两平面 EFG 和 GHI 只有一个公共点,没有交线,所以我 们可以将该立方体沿 AB 方向平移 1 个单位。这样就使平面 EFG 平移至平面 HI G ? 。 而 ? 就是二面角 G-IH- G ? (见图 3) 。利用公式(1) ,只要知道了 ? , ? 和 ? 的大小, 我们就能求出 ? 。
D1 E G A1 B1 C1

H

F

D

I C

A

B

图2

由已知条件,
? ? ? GI G ? ? ?
2

?G H I



? HI G ?

均为等边三角形,所以 ?

? ? ?

?
3

,而

。因此,
D1 E G A1 B1 C1

H G'

F

D

I

C

A

B

图3

第 43 页(共 45 页)

cos

?
2

? cos

?
3

cos

?
3

? sin

?
3

sin

?
3

cos ?




0 ? 1 2 ? 1 2 ? 3 2 ? 3 2 cos ?



解得
cos ? ? ? 1 3



? ? ? ? arccos
3

1



当然, 在建立了直角坐标系之后, 通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量, 利用法向量同样也可算出夹角 ? 来。 例 2.计算正十二面体的两个相邻面的夹角 ? 的大小。 解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形,且在正十二面体的 每个顶点上均有 3 个面围绕。 P 和 Q 是两个相邻的面, 是它们的交线 设 MN (如图 4) , 则公式(1)中的 ? , ? , ? 分别为:
? ? ? AMN

, ?

? ? BMN

, ?

? ? AMB



因此它们均为正五边形的内角。所以
? ? ? ? ? ? 108 ? 。
N

P

Q

M A B

图4

所以,由公式(1)知
cos 108 ? ? cos 108 ? ? cos 108 ? ? sin 108 ? ? sin 108 ? ? cos ?




cos ? ? cos 108 ? (1 ? cos 108 ? ) sin
2

108 ?

? ?

5 5



第 44 页(共 45 页)

因此, ?

? ? ? arccos

5 5

,或 ?

? 116 ? 3 3 ? 5 4 ?? 。

如果不使用公式(1) ,要求出例 2 中的夹角 ? 的大小在计算上要复杂很多。 利用例 2 的结果,我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积 V。 设单位棱长正十二面体的中心为 O, 则该十二面体可以切割成十二个全等的正五 棱锥,每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以 O 为其顶点。设该正五棱锥为 ? , 从而可知: V
? 12 V ?



再设 ? 的底面积为 S、高为 h,设 O ? 为单位边长正五边形(即 ? 的底)的中心, A、B 为该五边形的两个相邻的顶点,H 为 AB 的中点, | O ?H
? O ' AH ? 54 ?

|? a

,则
5 4 tan 54 ?



a ?

1 2

tan ? O ' AH ? h a h ? 1 2

1 2

tan 54 ?



S ? 5?

a 2

?



仍设 ? 为正十二面体两相邻面的夹角,则

? tan

?
2

。所以

tan 54 ? tan

?
2



但是,
tan

?
2

?

1 ? cos ? 1 ? cos ?

?

5 ?1 2



从而
V ? 12 V ? ? 4 Sh

? ? ?5 ?? 1 ? 4 ? ? tan 54 ? ? ? tan 54 ? t a n ? 2 ? ?4 ?? 2
? 5 2 (tan 54 ? ) t a n
2

?
2

?

5 2

?

5? 2 5 5

?

5 ?1 2

?

15 ? 7 5 4



或V

? 7 . 6631

第 45 页(共 45 页)


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