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福建省德化一中2007-2008学年高一数学质量检查卷200804


德化一中 2008 年春季第次质量监控考试 高一数学试卷 (考试时间 120 分钟, 试卷满分 150 分) 注意事项: ①本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页。 答题时,必须把答案填写在答题卡的相应位置上,不按规定位置作答的答 案一律无效。 ②本次考试,所有计算问题均严禁使用计算器。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的 四个答案中,只有一项是符合题目要求的,请将每小题选出的答案的字母 填在答案卡的对应的空格内 1.在数列{an}中, a n ? a n ? 1 ? 2 , a 1 ? 3 ,则 a 4 =( )

A.11 B. ? 7 C.9 D.-3 2.在△ABC 中,一定成立的等式是( ) A. a s in A ? b s in B B. a co s A ? b co s B C. a s in B ? b s in A D. a co s B ? b co s A
? x ? y ? 1 ? 0, ?x ? y ?1 ? 0

3. 下面给出的四个点中, 位于 ? A. ( 0 , 2 ) B. ( ? 2 , 0 )

表示的平面区域的点是 ( D. ( ? 2 , 0 ) )
2



C. ( 0 , ? 2 )

4.设 a 、b ? R ,则下列命题中正确的是( A. 若 a c 2 C. 若 a
? bc ,
2

则a ? b ;
? b ;
2

B. 若 a D. 若 a
2

? b , 则 ac
? b ,
2

? bc

2



? b, 则 a

2

则a ? b ; ) D. 3 ? 1

5.Δ ABC 中, a ? A.1

3 , b ? 1 A=60°,则 c 等于(

B.2

C. 3

1

6.在△ABC 中,若 ( a ? b ? c ) ( s in A ? s in B ) ? 0 ,则△ABC 为(
2 2 2



A.等腰三角形 C.直角三角形 7.不等式
1 x ? 1 的解集为 (

B.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形. ) C . ( 0 , 1)
1 n ( n ? 1)

A. ( 1, ? ? )

B. ( 0 , ? ? )

D . ( ? ? , 0 ) ? (1, ? ? ) )
1 30

8.数列 ? a n ? 的前项和为 S n , a n ?
5 6

,则 S 5 ? (

A.1

B.

C.

1 6

D.

9.下列各式中,对任何实数 a 都成立的一个式子是 ( A. a ? 1 ? 2 a
2



B. lg ( a ? 1) ? lg 2 a
2

C. a ?

1 a

? 2

D.

1 a ?1
2

?1

10.已知数列 ? a n ? 满足 a 0 ? 1 , a n ? a 0 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 (n ? 1 ),则当
n ? 1 时,其前 n 项和 S n 等于(


n

A .2

n

B. 2

n ?1

C. 2 ? 1

D .

n ( n ? 1) 2

11.已知两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km), 灯塔 A 在 C 北 偏东 30°,B 在 C 南偏东 60°,则 A、B 之间相距( ) A.a (km) B. 2 a(km) C. 3 a(km) D.2a (km)
1 4 1 2 , 1 4 , 3 8 , 3 16

12.右表给出一个“三角形数阵” ,已知每一列的数 成等差数列;从第三行起,每一行的数成等比数 列,且每一行的公比都相等,记第 i 行第 j 列的数 为 a i j ( i ? j , i , j ? N ) ,则 a 8 3 =(
*


3 4
2

3 4 ? ......

A.

1 8

B.

1 4

C.

1 2

D.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡 对应题号的横线上。 13.在△ABC 中,已知 a ? 8 , B ? 6 0 , C ? 7 5 ,则 b ?
? ?

.

14.若 x , y 都是正实数,且 x ? y ? 2 ,则 x y 的最大值为_______ 15.若等比数列的前 2 项、前 4 项、前 6 项的和分别是 1、3、C,则 C 的 值为_______ 16.不等式 x ? 3 ? ( x ? 4 ) 的解集为_____________________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤,请把答案写在答案卡对应的区域内 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 a 2 ? a 4 ? 1 0 , S 4 ? 1 6 . (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)求数列 ?
? Sn ? ? 的前 n 项和 T n 。 ? n ?

18. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,2cos(B+c)=1, (1)求角 A; (2)若 a ? 2 3 , b ? c ? 4 ,求△ABC 的面积。

3

19. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 ? B ? 4 5 ,
D 是 B C 边上的一点, A D ? 5 ,
AC ? 7, DC ? 3 ,
B
?

A

求 A B 的长. 20. (本小题满分 12 分)

D

C

要建造一个容积为 8 m ,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁
3

的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,怎样设计水池能使总造价最低? 最低造价是多少?

21. (本小题满分 12 分) 已知不等式 m x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 ( ? 1, n ) ,
2

(1)求 m ? 2 n 的值; (2)解关于 x 的不等式: x ? ( a ? n ) x ? 3 m a ? 0 ( a ? R )
2

22. (本小题满分 14 分) 已知数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 1, a 2 ? 3 ,
3 2 a n ? 1 是 a n ? 2 与 2 a n 的等差中项

(1)证明:数列 ? a n ? 1 ? a n ? 是等比数列; (2)求数列 ? a n ? 的通项公式; (3)若数列 ? b n ? 满足 4
b1 ? 1

4

b2 ?1

? 4

bn ?1

? ( a n ? 1)

bn

(n ? N )
*



证明:数列 ? a n ? 是等差数列。

4

德化一中 2008 年第一次质量监控考试 高一数学试卷参考解答及评分标准 (考试时间 120 分钟, 试卷满分 150 分) 注意事项: ①本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页。 答题时,必须把答案填写在答题卡的相应位置上,不按规定位置作答的答 案一律无效。 ②本次考试,所有计算问题均严禁使用计算器。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的 四个答案中,只有一项是符合题目要求的,请将每小题选出的答案的字母 填在答案卡的对应的空格内 1.在数列{an}中, a n ? a n ? 1 ? 2 , a 1 ? 3 ,则 a 4 =( D ) A.11 B. ? 7 C.9 D.-3 2.在△ABC 中,一定成立的等式是( C ) A. a s in A ? b s in B B. a co s A ? b co s B C. a s in B ? b s in A D. a co s B ? b co s A 3. 下面给出的四个点中, 位于 ? A. ( 0 , 2 ) B. ( ? 2 , 0 )
? x ? y ? 1 ? 0, ?x ? y ?1 ? 0

表示的平面区域的点是 (C D. ( ? 2 , 0 ) ;



C. ( 0 , ? 2 )

4.设 a 、b ? R ,则下列命题中正确的是( A ) A. 若 a c 2 ? b c 2 , 则 a ? b ; B. 若 a ? b , 则 ac 2 C. 若 a
? b, 则 a
2

? bc

2

? b ;
2

D. 若 a

2

? b ,
2

则a ? b ; B ) D. 3 ? 1 )

5.Δ ABC 中, a ? A.1

3 , b ? 1 A=60°,则 c 等于(

B.2
2 2 2

C. 3

6.在△ABC 中,若 ( a ? b ? c ) ( s in A ? s in B ) ? 0 ,则△ABC 为( D A.等腰三角形 C.直角三角形 B.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形.

5

7.不等式

1 x

? 1 的解集为 ( D )

A. ( 1, ? ? )

B. ( 0 , ? ? )

C . ( 0 , 1)
1 n ( n ? 1)

D . ( ? ? , 0 ) ? (1, ? ? )

8.数列 ? a n ? 的前项和为 S n , a n ?
5 6

,则 S 5 ? ( B )
1 30

A.1

B.

C.

1 6

D.

9.下列各式中,对任何实数 x 都成立的是一个是 ( D ) A. a ? 1 ? 2 a
2

B. lg ( a ? 1) ? lg 2 a
2

C. a ?

1 a

? 2

D.

1 a ?1
2

?1

10.知数列 ? a n ? 满足 a 0 ? 1, a n ? a 0 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ( n ? 1) , 则当 n ? 1 时,其前 n 项和 S n 等于( C ) A .2
n

B. 2

n ?1

C. 2 ? 1
n

D .

n ( n ? 1) 2

11. 两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km), 30°,B 在 C 南偏东 60°,则 A,B 之间相距(B ) A.a (km) B. 2 a(km) C. 3 a(km)

灯塔 A 在 C 北偏东

D.2a (km)
1 4 1 2 , 1 4 , 3 8 , 3 16

12.右表给出一个“三角形数阵” ,已知每一列的数 成等差数列;从第三行起,每一行的数成等比数 列,且每一行的公比都相等,记第 i 行第 j 列的数 为 a i j ( i ? j , i , j ? N ) ,则 a 8 3 =( C A.
1 8

) ,
3 4

3 4 ? ......

B.

1 4

C.

1 2

D.

6

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡 对应题号的横线上。
? ? 13.在△ABC 中,已知 a ? 8 , B ? 6 0 , C ? 7 5 ,则 b ? 4 6

14.若 x , y 都是正实数,且 x ? y ? 2 ,则 x y 的最大值为 4 15.等比数列的前 2 项、前 4 项、前 6 项的和分别是 1、3、C,则 C 的值 为 7 16.不等式 x ? 3 ? ( x ? 4 ) ? 0 的解集为 ? x
| x = 3 , 或 x ? 4?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤,请把答案写在答案卡对应的区域内 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 a 2 ? a 4 ? 1 0 , S 4 ? 1 6 . (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)求数列 ?
? Sn ? ? 的前 n 项和为 T n 。 ? n ?

解: (1)由 a 2 ? a 4 ? 1 0 , S 4

? 2 a1 ? 4 d ? 1 0 ? ? 1 6 ,得 ? 4?3 d ? 16 ? 4 a1 ? ? 2

------2 分

解得

? a1 ? 1 ? ?d ? 2

--------------------------------------------------------4 分

∴an ? 2n ? 1 (2)由(1)得 S n ?

---------------------------------------------------------6 分
n (1 ? 2 n ? 1) 2 n ( n ? 1) 2
7

? n ,∴
2

Sn n

? n

---------------9 分

∴Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

-----------------------------12 分

18. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,2cos(B+c)=1, (1)求角 A; (2)若 a ? 2 3 , b ? c ? 4 ,求△ABC 的面积。 解: (1)∵2cos(B+c)=1, ∴cos(B+c)= 又∵ 0 ? B ? C ? 1 8 0 ∴ A ? 120
?
? ?

1 2

? B ? C ? 60

?

----------------------4 分

----------------------------------------------------------5 分

(2)由余弦定理,得
a
2

? b ? c ? 2 b c c o s A ,即 a = ( b ? c ) ? 2 b c (1 ? c o s A )
2 2 2
2

? ∵ a ? 2 3 ,b ? c ? 4 , A ? 120



(2

3 ) ? 4 ? 2 b c (1 ?
2 2

1 2

) ,解得

bc ? 4

------------10 分

△ABC 的面积 s ?

1 2

b c s in A ?

1 2

?4?

3 2

?

3

-------------12 分

19. (本小题满分 12 分)
A

在△ABC 中已知 B ? 4 5 , D 是 B C 边 上的一点, A D ? 5 , A C ? 7 , D C ? 3 , 求 A B 的长.
B D C

?

解 在△ABD 中,∵ A D ? 5 , A C ? 7 , D C ? 3 , 由余弦定理,得
cos ? A D C ? AD
2

? DC

2

? AC

2

2 ? AD ? DC

?

25 ? 9 ? 49 2?5?3

? ?

1 2

--------3 分

8

? 0 ? ? AD C ? 180
?

?

?

∴ ? A D C ? 1 2 0 ,? ? A D B ? 6 0 在△ABD 中由正弦定理,得
AB s in ? A D B ? AD s in ? B

?

-------------------------------6 分


3 2 2 2

∴ AB ?

A D ? s in ? A D B s in ? B

5? ?



5 2

6

-----------------12 分

20. (本小题满分 12 分) 要建造一个容积为 8 m ,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁
3

的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,怎样设计水池能使总造价最低? 最低造价是多少? 解:设池底的一边长为 xm,另一边为 ym,则有 xy=4 ( m ) ,
2

------2 分

若设水池的总造价为 z 元,则有
z ? 4 ? 120 ? 2 ? 2( x ? y) ? 80

---------------------------------6 分

? 480 ? 640

xy

=480+1280=1760 当且仅当 x=y=2 时取得等号。 -------------------------------------10 分

即当池底的长和宽都为 2 米时总造价最低,最低造价为 1760 元。 答:当池底的长和宽都为 2 米时总造价最低,最低造价为 1760 元. ---12 分 21. (本小题满分 12 分) 已知不等式 m x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 ( ? 1, n ) ,
2

(1)求 m ? 2 n 的值;

9

(2)解关于 x 的不等式: x ? ( a ? n ) x ? 3 m a ? 0 ( a ? R )
2

解:(1)由不等式 mx 关于 x 的方程 mx

2

? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 ( ? 1, n ) 知 ? 2 x ? 3 ? 0 的两根为-1 和 n,且 m ? 0

2

2 ? ?1 ? n ? ? ? m 由根与系数关系,得 ? ??1? n ? ? 3 ? m ?

-----------------------3 分

∴?

?m ? 1 ?n ? 3



∴ m+2n=7

----------------5 分

(2)由(1)知关于 x 不等式 x ? ( a ? n ) x ? 3 m a ? 0 ( a ? R ) 可以化为
2

x ? (a ? 3) x ? 3a ? 0 (a ? R ) ,
2

即 ( x ? 3 )( x ? a ) ? 0

------------------------------------------7 分

故当-a>3,即 a<-3 时,不等式的解集为 ? x | x ? 3, 或 者 x ? ? a ? ; 当-a<3,即 a>-3 时,不等式的解集为 ? x | x ? ? a , 或 者 x ? 3? ; 当-a=3,即 a=-3 时,不等式的解集为 ? x | x ? 3? 22. (本小题满分 14 分) 已知数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 1, a 2 ? 3 ,
3 2 a n ? 1 是 a n ? 2 与 2 a n 的等差中项

--------12 分

(1)证明:数列 ? a n ? 1 ? a n ? 是等比数列; (2)求数列 ? a n ? 的通项公式; (3)若数列 ? b n ? 满足 4
b1 ? 1

4

b2 ?1

? 4

bn ?1

? ( a n ? 1)

bn

(n ? N )
*



证明:数列 ? a n ? 是等差数列。

10

解(1)证明 ?
?

3 2

a n ? 1 是 a n ? 2 与 2 a n 的等差中项

a n ? 2 ? 3 a n ?1 ? 2 a n ,

? a n ? 2 ? a n ? 1 ? 2 ( a n ? 1 ? a n ), ? a 1 ? 1, a 2 ? 3, ? a n ? 2 ? a n ?1 a n ?1 ? a n ? 2 ( n ? N ).
*

? ? a n ? 1 ? a n ? 是以 a 2 ? a 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列. ---4 分
n * (2)解:由(I)得 a n ? 1 ? a n ? 2 ( n ? N ) ,

当 n ? 1 时,
? a n ? ( a n ? a n ? 1 ) ? ( a n ? 1 ? a n ? 2 ) ? ... ? ( a 2 ? a 1 ) ? a 1

? 2

n ?1

? 2

n?2

? ... ? 2 ? 1

? 2 ? 1.
n

? a 1 ? 1 满足上式,? a n ? 2 ? 1 ( n ? N ) 。
n *

---------------8 分
? 2
n bn

(3)证明:? 4

b1 ? 1

4

b2 ?1

? 4

bn ?1

? ( a n ? 1)

bn

,? 4

( b1 ? b 2 ? ... ? b n ? n )

,

? 2[ ( b1 ? b 2 ? ... ? b n ) ? n ] ? n b n ,

① ②

2[ ( b1 ? b 2 ? ? ? b n ? b n ? 1 ) ? ( n ? 1) ] ? ( n ? 1) b n ? 1 .

②-①,得 2 ( b n ? 1 ? 1) ? ( n ? 1) b n ? 1 ? n b n , 即 ( n ? 1) b n ? 1 ? n b n ? 2 ? 0 .
n b n ? 2 ? ( n ? 1) b n ? 1 ? 2 ? 0 .

③ ④ 即 bn ? 2 ? 2 bn ?1 ? bn ? 0 ,

④-③,得 n b n ? 2 ? 2 n b n ? 1 ? n b n ? 0 ,
? bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn ( n ? N ) ,
*

? ? b n ? 是等差数列。------14 分

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