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矩形和菱形的性质与判定经典例题练习


第一课时——矩形的性质
矩形的性质:边 角 对角线 对称性

练一练:

1、矩形的两条对角线把矩形分成

个等腰三角形. ) C.相邻两角互补 D.对角线相等 )

2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是( A.对角线互相平分 B.两组对边分别相等

3.已知 E 是矩

形 ABCD 的边 BC 的中点,那么 S△AED=________S 矩形 ABCD(
A.

1 2

B.

1 4

C.

1 5

D.

1 6

4.在矩形 ABCD 的边 AB 上有一点 E,且 CE=DE,若 AB=2AD,则∠ADE 等于( A.45° B.30° C.60° D.75°



【探究三】直角三角形斜边上的中线性质 1、根 据 矩 形 对 角 线 性 质 可 得 到 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 性 质 :

2、归纳我们已学过的直角三角形的性质: 角: 边: 斜边上的中线: 边与角: 练一练: 1、 已知直角三角形的周长为14, 斜边上的中线长为3. 则直角三角形的面积为 ( )

A.5

B.6

C.7

D.8

2、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为 34° ,那么这个直角三角 形的较小的内角是 ? 精讲精练 度.

例 1、如图,在矩形 ABCD 中,AC、BD 相较于点 O,AE 平分 ?BAD 交 BC 于 E,若

?CAE ? 15? ,求 ?BOE 的度数。

变式:已知矩形 ABCD 中,如图 2,对角线 AC、BD 相交于 O,AE⊥BD 于 E,若∠DAE∶ ∠BAE=3∶1,则∠EAC=________.

例 2、 如图, 在矩形 ABCD 中, AB=3, AD=4, P 是 AD 上的动点,PE ? AC 于 E,PF ? BD 于 F,求 PE+PF 的值。

例 3、如图,延长矩形的边 CB 至 E,使 CE=CA,F 是 AE 的中点,求证: BF ? FD

三、用中学习:

1.如图,周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等的矩形,则矩形 ABCD 的面积为( A.98 B.196 C.280 D.284



2.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成 3 和 5 两部分,则该矩形的周长是 ( ) A.16 B.22 C.26 D.22 或 26

3.矩形的两条对角线的夹角是 60°,一条对角线与矩形短边的和为 15,那么矩 形对角线的长为_______,短边长为_______. 4.矩形 ABCD 的周长是 56 cm,它的两条对角线相交于 O,△AOB 的周长比△BOC 的周长少 4 cm,则 AB=_______,BC=_______.
5、如图,已知 BD、CE 是 ABC 的两条高,M、N 分别是 BC、DE 的中点,MN 与 DE 有 怎样的位置关系。请证明。

第二课时———矩形的判定
矩形的四种判定方法:

?

精讲精练

例 1、已知:如图, ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E、F、G、H。求证:四 边形 EFGH 是矩形。

例 2、 已知: 在四边形 ABCD 中, AB=CD, ?A ? ?D ? 180?, AC、 BD 相较于点 O, AOB

是等边三角形。求证:四边形 ABCD 是矩形。

例 3、如图,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,E、F、G、H 分别是 OA、

OB、OC、OD 的中点,顺次连结 E、F、G、H 所得的四边形 EFGH 是矩形吗?说明
理由.

三、用中学习

1. 两条平行线被第三条直线所截,两组内错角的平分线相交所成的四边形是 ( ) A.一般平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

2.延长等腰△ABC 的腰 BA 到 D,CA 到 E,分别使 AD=AB,AE=AC,则四边形 BCDE 是________,其判别根据是_______.
3、如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合,折痕

为 DG,则 AG 的长为



4.在四边形 ABCD 中, ∠B=∠D=90°, 且 AB=CD, 四边形 ABCD 是矩形吗?为什么?

5、已知:如图, ABC 中,AB=AC,P 是 BC 上一点, PE ? AB 于 E, PF ? AC 于 F, CG ? AB 于 G。求证:PE+PF=CG

?

拓展延伸

1、将一将矩形纸片 OABC 放在直角坐标系中,O 为原点,C 在 x 轴上,OA=6,OC=10. (1)如图 1,在 OA 上取一点 E,将 EOC 沿 EC 折叠,使 O 点落在 AB 边上的 D 点,求 E 点的坐标; (2) 如图 2, 将矩形变为矩形 OA?B?C ? ,在 OA? 、OC? 边上选取适当的点 E? 、F ? , 将 E ?OF ? 沿 E?F? 折叠,使 O 点落在 A?B? 边上的 D? 点,过 D? 作 D ?G / / A?O 交 E?F? 于 T 点,交 OC? 于 G 点,求证: TG ? A?E ?

2、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,把矩形 COAB 绕点 C 顺时针旋转 ? 角,得到矩形 CFED,设 FC 与 AB 交于点 H,且 A(0,4)、C(6,0) 。 (1)当 ? ? 60? 时, CBD 的形状

是 (2)当 AH=HC 时,求直线 FC 的解析式。

第一课时:菱形的性质
一、知识回顾 菱形的定义: 菱形是中心对称图形, 菱形的对边 菱形的四条边都 菱形的对角线 菱形的面积=底×高= 二、练习题 1、一个菱形的两条对角线长分别为 7cm 和 8cm,则这个菱形的面积为 2、在菱形 ABCD 中,∠B=70°,对角线 AC、BD 相交于点 O,则∠OCD= 3、菱形的面积为 24cm ,一条对角线的长为 8cm,则另一条对角线的长为 4、菱形的两条对角线长分别为 18cm 和 24cm,则这个菱形的周长为 5、菱形的周长为 20cm,两邻角的比为 2:1,则较短的对角线的长为 6、若一个菱形的边长为 2,则这个菱形两条对角线长的平方和为 7、菱形的周长为 20cm,那么一边上的中点到两条对角线长的交点的距离为 8、菱形的一条对角线长与它的边相等,则它的一个锐角为 9、如图已知菱形的两条对角线长分别为 12cm 和 16cm,求菱形的高? 。 。 。
2

。 是对称中心。 ,对角线 。菱形是轴对称图形, ,并且每一条对角线都 。 。 都是它的对称轴。 。

,对角

。 . 。 。 。

10 如图,菱形 ABCD 中,∠B=60°,AB=2 ㎝,E、F 分别是 BC、CD 的中点,连结 AE、EF、 AF,则△AEF 的周长

第二课时:菱形的判定
一、知识回顾 菱形的判定方法:①、 ② ③对角线 二、练习题 1、下列命题正确的是 A、有一个角是 60°的平行四边形是菱形。 C、有两边相等的平行四边形是菱形。 E、邻角相等的四边形是菱形。 G、对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 I、对角线互相平分且相等的四边形是菱形。 2、已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,分别添加下列条件: ⑴∠ABC=90°;⑵AC⊥BD; ⑶AB=BC; ⑷AC 平分∠BAD; ⑸AO=DO,使得四边形是菱形的条件 的序号 。 。 。 B、有一组邻边相等的四边形是菱形 D、四边相等的四边形是菱形。 F、对角线互相垂直的四边形是菱形。 H、对角线互相平分的四边形是菱形。 相等的平行四边形是菱形。 都相等的四边形是菱形 的平行四边形是菱形。

3、如图平行四边形 ABCD 中,AE、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线,根据现有的图形,请 添加一个条件,使四边形 AECF 是菱形,则添加的一个条件是 (图中不能添加别的点和线) 4 如图 ? ABC 为等腰三角形,把它沿底边 BC 翻折后,得到 ? DBC,请你判断四边形 ABDC 的 形状。

5 如图在梯形纸片 ABCD 中,AD∥BC,AD>CD,将纸片沿点 D 的直线折叠使点 C 落在 AD 上的点 C 处,折痕 DE 交 BC 于点 E,连接 C E。 ⑴求证:四边形 CDC E 是菱形。 ⑵若 BC=CD+AD,试判断四边形 ABED 的形状,并加以证明。
′ ′



6、如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 E、F 分别为边 AB、AD 的中点,连接 EF、OE、OF.求证:四边形 AEOF 是菱形.

7、如图,AD∥FE,点 B、C 在 AD 上∠1=∠2,BF=BC, ⑴求证:四边形 BCEF 是菱形 ⑵若 AB=BC=CD,求证: ? ACF≌ ? BDE


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