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2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题五 第3讲 圆锥曲线中的定点、定值和最值问题


第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值问题

热点一

圆锥曲线中的定点问题

3? x2 y2 [例 1] 已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0), 其右焦点为(1,0),点 P? ?1,2?在椭圆 E 上. a b (1)求椭圆 E 的方程;
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(2)

过椭圆 E 的左顶点 A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆 E 交 于(不同于点 A 的)M, N 两点,试判断直线 MN 与 x 轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理 由. [自主解答] (1)设椭圆 E 的左右焦点分别为 F1,F2, ∵椭圆 E 右焦点为(1,0),∴c=1, 3? 又点 P? ?1,2?在椭圆 E 上, ∴2a=|PF1|+|PF2|= 3?2 ?1+1?2+? ?2? + 3?2 ?1-1?2+? ?2? =4,

∴a=2,b= a2-c2= 3, x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 4 3

(2)①当直线 MN 与 x 轴垂直时, 直线 AM 的方程为 y=x+2,
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?y=x+2, ? 联立? 2 得 7x2+16x+4=0, 2 ?3x +4y =12, ?

2 解得 x=- 或 x=-2(舍). 7 2 2 - ,0?. 此时直线 MN 的方程为 x=- ,直线 MN 过 x 轴上一点 Q? ? 7 ? 7 ②当直线 MN 不垂直于 x 轴时,设直线 MN 的方程为 y=kx+n.
? ?y=kx+n, 则由? 2 2 ?3x +4y =12, ?

得(3+4k2)x2+8knx+4n2-12=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),

当 Δ=(8kn)2-4×(3+4k2)(4n2-12)> 0,即 n2-4k2-3<0 时, -8kn 4n2-12 则有 x1+x2= , 2,x1x2= 3+4k 3+4k2 3n2-12k2 y1y2=(kx1+n)(kx2+n)=k2x1x2+kn(x1+x2)+n2= . 3+4k2 而 AM =(x1+2,y1), AN (x2+2,y2), 由题意可知, AM ⊥ AN ,

????

??? ?

????

??? ?

? ???? ??? 7n2-16kn+4k2 即 AM · =0, AN =x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2= 2
3+4k 2 解得 n=2k 或 n= k. 7 当 n=2k 时,直线 MN 的方程为 y=k(x+2),过点 A,与题意不符,舍去; 2? 2 ? 2 ? 当 n= k 时,n2-4k2-3<0,直线 MN 的方程为 y=k? ?x+7?,显然过点 Q?-7,0?. 7 2 - ,0?. 综上,直线 MN 一定经过 x 轴上一定点 Q? ? 7 ? ——————————规律· 总结—————————————————————— 求解直线和曲线过定点问题的基本思路 把直线或曲线方程中的变量 x,y 当作常数看待,把方程一端化 为零,既然是过定点, 那么这个方程就要对任意参数都成立, 这时参数的系数就要全部等于零, 这样就得到一个关 于 x,y 的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.

x2 y2 2 1.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,左、右焦点分别为 F1,F2,点 P(2, a b 2 3),点 F2 在线段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 M,N 两点,直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 α, β,且 α+β=π,试问直线 l 是否过定点?若过,求该定点的坐标. 解:(1)由椭圆 C 的离心率 e= 其中 c= a2-b2, 2 c 2 ,得 = , 2 a 2

椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0). 又∵点 F2 在线段 PF1 的中垂线上, ∴|F1F2|=|PF2|,∴(2c)2=( 3)2+(2-c)2, 解得 c=1,∴a2=2,b2=1.

x2 ∴椭圆的方程为 +y2=1. 2 (2)由题意直线 MN 的方程为 y=kx+m, x ? ? 2 +y2=1, 由? 消去 y 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0. ?y=kx+m, ? 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 2m2-2 kx1+m kx2+m 4km 则 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 ,且 kF M= ,kF N= . 2k +1 2k +1 x1-1 x2-1 2 2 由已知 α+β= π 得 kF M+kF N=0,
2 2 2



kx1+m kx2+m + =0. x1-1 x2-1

化简得 2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0, 2m2-2 4km?m-k? 所以 2k· 2 - -2m=0, 2k +1 2k2+1 整理得 m=-2k. 故直线 MN 的方程为 y=k(x-2), 因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0).

热点二

圆锥曲线中的定值问题

x2 y2 [例 2] (2013· 山东高考)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,离心 a b 率为 3 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1,PF2.设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0),求 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下, 过点 P 作斜率为 k 的直线 l, 使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点. 设 1 1 直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2,若 k≠0,试证明 + 为定值,并求出这个定值. kk1 kk2 x2 y2 b2 [自主解答] (1)由于 c2=a2-b2,将 x=-c 代入椭圆方程 2+ 2=1, 得 y=± . a b a 2b2 由题意知 =1,即 a=2b2. a c 3 又 e= = ,所以 a=2,b=1. a 2 x2 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4

(2)法一:设 P(x0,y0)(y0≠0). 又 F1(- 3,0),F2( 3,0),所以直线 PF1,PF2 的方程分别为 l :y x-(x0+ 3)y+ 3y0=0, PF1 0 l :y x-(x0- 3)y- 3y 0=0. PF2 0 由题意知 |my0+ 3y0| y2 0+?x0+ 3?
2



|my0- 3y0|
2 y0 +?x0- 3?2

.

x2 0 由于点 P 在椭圆上,所以 +y2 0=1. 4 所以 |m+ 3|

? 3x +2?2 ?2 0 ?



|m- 3|

? 3x -2?2 ?2 0 ?

.

因为- 3<m< 3,-2<x0<2, 所以 m+ 3 3-m 3 = ,所以 m= x0. 4 3 3 x +2 2- x0 2 0 2

3 3 因此- <m< . 2 2 法二:设 P(x0,y0)(y0≠0). 当 0≤x0<2 时, 1 1 3, ?或 P? 3,- ?. ①当 x0= 3时,直线 PF2 的斜率不存在,易知 P? 2? 2? ? ? 1 3, ?,则直线 PF1 的 方程为 x-4 3y+ 3=0. 若 P? 2? ? |m+ 3| 由题意得 = 3-m, 7 3 因为- 3<m< 3,所以 m= 3 4 . 3 4 .

1? 3 若 P? ? 3,-2?,同理可得 m=

②当 x0≠ 3时,设直线 PF1,PF2 的方程分别为 y=k1(x+ 3),y=k2(x- 3). |mk1+ 3k1| |mk2- 3k2| 由题意知 = , 1+k2 1+k2 1 2 1 1+ 2 k1 ?m+ 3?2 所以 = . 1 ?m- 3?2 1+ 2 k2 x2 y0 y0 0 2 因为 +y0 =1,且 k1= ,k2= , 4 x0+ 3 x0- 3

?m+ 3?2 4?x0+ 3?2+4-x2 3x2 ? 3x0+4?2 0 0+8 3x0+16 所以 = = = , ?m- 3?2 4?x0- 3?2+4-x2 3x2 3x0+16 ? 3x0-4?2 0 0-8 即?

?m+ 3? ? 3x0+4? ?=? ?. ?m- 3? ? 3x0-4?

因为- 3<m< 3,0≤x0<2 且 x0≠ 3, 所以 3+m 4+ 3x0 3x0 = ,整理得 m= , 4 3-m 4- 3x0

3 3 3 故 0≤m< 且 m≠ . 2 4 3 综合①②可得 0≤m< . 2 3 当-2<x0<0 时,同理可得- <m<0. 2 3 3? 综上所述,m 的取值范围是? ?-2,2?. (3)设 P(x0,y0)(y0≠0),则直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0). x ? ? 4 +y2=1, 2 2 联立? 整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(y2 0-2kx0y0+k x0-1)=0. ? ?y-y0=k?x-x0?,
2 2 由题意得 Δ=0,即(4-x2 0)k +2x0y0k+1-y0=0. 2 x0 x0 2 2 2 又 +y2 . 0=1,所以 16y0k +8x0y0k+x0=0,故 k=- 4 4y0 2

[来源 :学科网 ZXXK]

1 1 x0+ 3 x0- 3 2x0 由(2)知 + = + = , k1 k2 y0 y0 y0 1 1 1 1 1 ? ? 4y0? 2x0 + = - 所以 + = ? · =-8, kk1 kk2 k?k1 k2? ? x0 ? y0 1 1 因此 + 为定值,这个定值为-8. kk1 kk2 ——————————规律· 总结—————————————————————— 求解定值问题的“三个”步骤 (1)由特例得出一个值,此值一般就是定值; (2)证明定值,有时可直接证明定值,有时将问题转化为代数式,可证明该代数式与参 数(某些变量)无关;也可令系数等于零,得出定值; (3)得出结论.

x2 y2 2.如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 a b

右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)和?e,

?

3? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心 2?

率. (1)求椭圆的方程; (2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交 于点 P, (ⅰ)若 AF1-BF2= 6 ,求直线 AF1 的斜率; 2

(ⅱ)求证:|PF1|+|PF2|是定值. c 解:(1)由题设知 a2=b2+c2,e= . a 1 c2 由点(1,e)在椭圆上,得 2+ 2 2=1, a ab 解得 b2=1,于是 c2=a2-1. e 3 3 又因为点?e, ?在椭圆上,所以 2+ 2=1, a 4b 2? ? 即 a2-1 3 + =1,解得 a2=2. a4 4
2

x2 因此,所求椭圆的方程是 +y2=1. 2 (2)由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),又因为直线 AF1 与 BF2 平行,所以可设直线 AF1 的方程 为 x+1=my,直线 BF2 的方程为 x-1=my.设 A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0. x ? ? 21+y2 1=1, 由? 得(m2+2)y2 1-2my1-1=0, ? ?x1+1=my1, m+ 2m2+2 解得 y1= , m2+2 故|AF1|= ?my1?
2 2

?x1+1?2+?y1-0?2= 2?m2+1?+m m2+1 . m2+2 2?m2+1?-m m2+1 . m2+2 ①

+y2 1=

同理,|BF2|=



2m m2+1 (ⅰ)由①②得|AF1|-|BF2|= , m2+2 由 2m m2+1 6 = ,得 m2=2,注意到 m>0,故 m= 2. 2 2 m +2

1 2 所以直线 AF1 的斜率为 = . m 2

(ⅱ)证明:因为直线 AF1 与 BF2 平行, |PB| |BF2| 所以 = , |PF1| |AF1| |PB|+|PF1| |BF2|+|AF1| 于是 = , |PF1| |AF1| |AF1| 故|PF1|= |BF |. |AF1|+|BF2| 1 由点 B 在椭圆上知|BF1|+|BF2|=2 2, 从而|PF1|= 同理|PF2|= |AF1| (2 2-|BF2|). |AF1|+|BF2| |BF2| (2 2-|AF1|). |AF1|+|BF2| |AF1| |BF2| (2 2 - |BF2|) + (2 2 - |AF1|) = 2 2 - |AF1|+|BF2| |AF1|+|BF2|

因 此 , |PF1| + |PF2| = |2AF1|· |BF2| . |AF1|+|BF2|

又由①②知|AF1|+|BF2|= |AF1|· |BF2|= m2+1 3 = , m2+2 4

2 2?m2+1? 3 2 = , 2 m2+2

所以|PF1|+|PF2|=2 2-

2 3 2 = . 2 2

因此,|PF1|+|PF2|是定值.

热点三

圆锥曲线中的最值问题

x2 y2 [例 3] (2013· 浙江高考)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2+ 2= a b 1(a>b>0)的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过 点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2) 求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.
? ?b=1, [自主解答] (1)由题意得? ?a=2. ?

x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k,则

直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4,故点 O 到直线 l1 的距离 d= 所以|AB|=2 4-d2=2 4k2+3 . k2+1 1 , k +1
2

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ ky+k=0.
?x+ky+k=0, ? 8k 由? 2 消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故 x0=- . 2 4+k2 ?x +4y =4, ?

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所以|PD|=

8 k2+1 . 4+k2

8 4k2+3 1 设△ABD 的面积为 S,则 S= |AB|· |PD|= , 2 4+k2 所以 S= ≤ 13 4k2+3+ 2 4k2+3 32 32 4k2+3· 13 4k2+3 16 13 10 = ,当且仅当 k=± 时取 13 2

等号. 所以所求直线 l1 的方程为 y=± 10 x-1. 2

——————————规律· 总结—————————————————————— 圆锥曲线上本身存在的最值问题,如①椭圆上两点间最大距离为 2a(长轴长);②双曲线 上两点间最小距离为 2a(实轴长);③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a-c,a+c],a -c 与 a+c 分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离;④在抛物线上的点中,顶点 与抛物线的准线距离最近.

x2 3.已知 F1,F2 分别是椭圆 E: +y2=1 的左、右焦点,F1,F2 关于直线 x+y-2=0 5 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点. (1)求圆 C 的方程; (2)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a,b.当 ab 最大时,求直线 l 的方程. 解:(1)由题设知,F1,F2 的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆 C 的半径为 2,圆心为原点 O 关于直线 x+y-2=0 的对称点.

?x =1, 设圆心的坐标为(x ,y ),由? x y ? 2 + 2 -2=0,
0 0 0 0 0

y0

?x0=2, ? 解得? 所以圆 C 的方程为(x- ?y0=2. ?

2)2+(y-2)2=4.

(2)由题意,可设直线 l 的方程为 x=my+2,则圆心到直线 l 的距离 d= =2 22-d2= 4 . 1+m2

|2m| .所以 b 1+m2

x=my+2, ? ?2 由?x 得(m2+5)y2+4my-1=0. 2 + y = 1 , ? ?5 设 l 与 E 的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1+y2=- 于是 a= = = = = 4m 1 ,y1y2=- 2 . 2 m +5 m +5 ?x1-x2?2+?y1-y2?2

?1+m2??y1-y2?2 ?1+m2?[?y1+y2?2-4y1y2] 16m2 4 ?1+m2???m2+5?2+m2+5? ? ? 2 5?m2+1? . m2+5 ≤ 4 m2+1+ 2 m2+1 8 5 8 5 m2+1 =2 5. 4 m2+1

8 5· m2+1 8 5· m2+1 从而 ab= = 2 = m2+5 ?m +1?+4

当且仅当 m2+1=

4 ,即 m=± 3时等号成立. m2+1

故当 m=± 3时,ab 最大,此时,直线 l 的方程为 x= 3y+2 或 x=- 3y+2,即 x- 3y -2=0 或 x+ 3y-2=0.


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