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湖北省宜昌市葛洲坝中学2015-2016学年高一数学上学期期末试卷(含解析)


2015-2016 学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高一(上)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设全集 U={0,1,2,3},集合 A={0,1,2},集合 B={2,3},则(?UA)∪B=( )

A.?

B.{1,2,3}

C.{0,1,2,3}

D.{2,3} )

2.设集合 A={x|0<x<2015},B={x|x<a}.若 A? B,则实数 a 的取值范围是(

A.{a|a≤0} 3.幂函数的图象过点 A.y=x﹣1

B.{a|0<a≤2015}

C.{a|a≥2015} )

D.{a|0<a<2015}

,则该幂函数的解析式为( B. C.y=x2

D.y=x3

4.已知函数

,则

=(



A.9 5.函数 A.在区间 C.在区间

B. ( 上单调递增 上单调递减 )

C.

D.27

B.在区间 D.在区间

上单调递减 上单调递增 ,且

6.已知角 2α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 2α ∈上有两个不同的解,求实数 m 的取值范围. 20.已知 A(1,0),B(0,2),C(cosα ,sinα ),(0<α <π ). (Ⅰ)若 (Ⅱ)若 (O 为坐标原点),求 ,求 3sinα ﹣cosα 的值. 与 的夹角;

21.我县某种蔬菜从二月一日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位:元 /10 kg)与上市时间 t(单位:天)的数据如下表: 时间 t 种植成本 Q 50 150 110250 108150
2

-1-

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化 关系.Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt. (2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本. 22.设 f(x)=logag(x)(a>0 且 a≠1) (Ⅰ)若 ,且满足 f(x)>1,求 x 的取值范围;

(Ⅱ)若 g(x)=ax2﹣x,是否存在 a 使得 f(x)在区间[ ,3]上是增函数?如果存在,说明 a 可以取哪些值;如果不存在,请说明理由. (Ⅲ)定义在上的一个函数 m(x),用分法 T: p=x0<x1<…<xi﹣1<xi<…<xn=q 将区间任意划分成 n 个小区间,如果存在一个常数 M>0,使得不等式|m(x1)﹣m(x0)|+|m (x2)﹣m(x1)|+…+|m(xi)﹣m(xi﹣1)|+…+|m(xn)﹣m(xn﹣1)|≤M 恒成立,则称函数 m (x)为在上的有界变差函数.试判断函数 f(x)= 的有界变差函数?若是,求 M 的最小值;若不是,请说明理由. 是否为在[ ,3]上

2015-2016 学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高一(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设全集 U={0,1,2,3},集合 A={0,1,2},集合 B={2,3},则(?UA)∪B=( )

A.?

B.{1,2,3}

C.{0,1,2,3}

D.{2,3}

【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】由全集 U 及 A,求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的并集即可. 【解答】解:∵全集 U={0,1,2,3},A={0,1,2},B={2,3}, ∴?UA={3}, 则(?UA)∪B={2,3},
-2-

故选:D. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.设集合 A={x|0<x<2015},B={x|x<a}.若 A? B,则实数 a 的取值范围是(



A.{a|a≤0}

B.{a|0<a≤2015}

C.{a|a≥2015}

D.{a|0<a<2015}

【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】转化思想;集合. 【分析】根据已知中集合 A,B,结合集合包含关系的定义,可得答案. 【解答】解:∵集合 A={x|0<x<2015},B={x|x<a}. 若 A? B,则 a≥2015, 故实数 a 的取值范围是{a|a≥2015}, 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用,难度不大,属于基础题.

3.幂函数的图象过点 A.y=x
﹣1

,则该幂函数的解析式为( B. C.y=x
2

) D.y=x
3

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】数形结合;待定系数法;函数的性质及应用. 【分析】利用幂函数的定义和待定系数法求出解析式即可. 【解答】解:设幂函数 f(x)=xα (α 为常数), ∵幂函数 f(x)的图象过点(2, ∴2α = 即 2α = , , ),

解得 α = , ∴y=f(x)= 故选:B. = .

-3-

【点评】本题考查了幂函数的定义和性质的应用问题,是基础题.

4.已知函数

,则

=(



A.9

B.

C.

D.27

【考点】分段函数的应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】直接利用分段函数,由里及外逐步求解即可. 【解答】解:已知函数 ,则 =f(log2 )=f(﹣3)=3﹣

3

=



故选:C. 【点评】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.

5.函数 A.在区间 C.在区间

( 上单调递增 上单调递减

) B.在区间 D.在区间 上单调递减 上单调递增

【考点】正弦函数的图象. 【专题】函数思想;试验法;三角函数的图像与性质. 【分析】根据函数的周期和最值对选项进行验证即可, 【解答】解: ∵f( )=sin(﹣ 的周期为 π , )=﹣1,f( )=sin( )=1,

∴函数在区间 故选:A.

上单调递增,

【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质,属于基础题.

-4-

6.已知角 2α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 2α ∈,∴α ∈[ , ],

,且

∴tan2α = 解得 tanα = 故选:A. .

=﹣

,tanα >0,

【点评】本题考查正切函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意三角函数的定义 和正切函数的二倍角公式的合理运用.

7.在同一个坐标系中画出函数 y=a ,y=sinax 的部分图象,其中 a>0 且 a≠1,则下列所给 图象中可能正确的是( )

x

A.

B.

C.

D.

【考点】指数函数的图象与性质;正弦函数的图象. 【专题】压轴题;数形结合. 【分析】本题是选择题,采用逐一排除法进行判定,再根据指对数函数和三角函数的图象的 特征进行判定. 【解答】解:正弦函数的周期公式 T= ,∴y=sinax 的最小正周期 T= ;

对于 A:T>2π ,故 a<1,因为 y=ax 的图象是减函数,故错;
-5-

对于 B:T<2π ,故 a>1,而函数 y=a 是增函数,故错; 对于 C:T=2π ,故 a=1,∴y=ax=1,故错; 对于 D:T>2π ,故 a<1,∴y=ax 是减函数,故对; 故选 D 【点评】本题主要考查了指数函数的图象,以及对三角函数的图象,属于基础题.

x

8.已知 f(x)=2x﹣4,g(x)=x2,则 y=f(g(x))的零点为( A. B. C.

) D.

【考点】函数零点的判定定理. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】求出 y=f(g(x))的表达式,解方程即可. 【解答】解:∵f(x)=2x﹣4,g(x)=x , ∴y=f(g(x))=2x ﹣4, 令 2x ﹣4=0,解得:x=± 故选:B. 【点评】本题考查了函数的零点问题,考查解方程问题,是一道基础题.
2 2 2



9.设 = A. +

, 则

是两个互相垂直的单位向量,且 在 B. 上的投影为( C. )

=

+



D.

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;方程思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】把已知代入向量在向量方向上的投影公式,结合向量的数量积运算化简得答案.

【解答】解:由题意知, = + ,

,又

=

+



-6-





上的投影为

=



故选:C. 【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了向量在向量方向上的投影的概念,是中档 题.

10.设 a=log36,b=log510,c=log612,则( A.a>b>c B.a>c>b

) C.b>c>a D.c>b>a

【考点】对数值大小的比较. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】利用对数的运算性质把三个数分别写成 1+log32、1+log52、1+log62 的形式,再由对 数的运算性质比较 log32、log52、log62 的大小得答案. 【解答】解:a=log36=log33×2=1+log32, b=log510=log55×2=1+log52, c=log612=log66×2=1+log62, ∵log32>log52>log62, ∴a>b>c. 故选:A. 【点评】本题考查对数值的大小比较,考查了对数的运算性质,是基础题.

11.对于函数 f(x)=asinx+bx +c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的一组值计算 f (1)和 f(﹣1),所得出的正确结果一定不可能是( A.4 和 6 B.3 和 2 C.2 和 4 ) D.3 和 5

3

【考点】函数奇偶性的性质;函数的值. 【专题】转化思想;转化法;函数的性质及应用.

-7-

【分析】函数解析中分别取 x=1 和 x=﹣1,两式相加后得到 2c=f(1)+f(﹣1),由 c 为整 数可得 f(1)+f(﹣1)为偶数,由此可得答案 【解答】解:∵f(x)=asinx+bx3+c(a,b∈R,c∈Z), ∴f(1)+f(﹣1)=2c, ∵c∈Z, ∴f(1)+f(﹣1)为偶数, 故 3 和 2 结果一定不可能, 故选:B. 【点评】本题考查了函数奇偶性的性质,考查了学生分析问题和解决问题的能力,解答此题 的关键是由已知得到 f(2)+f(﹣2)为偶数.

12.已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心(三条中线的交点),AB 边的中 点为 D.动点 P 满足 △ABC 的( ) B.线段 CD 靠近 C 的四等分点 D.线段 CD 靠近 C 的三等分点 ,则点 P 一定为

A.线段 CD 的中点 C.重心

【考点】向量的线性运算性质及几何意义. 【专题】计算题;数形结合;综合法;平面向量及应用. 【分析】可画出图形,由条件可以得到 ,从而便可得出 即可得到 ,从而得出点 P 为△ABC 的线段 CD 靠近 C 的三等分点. ,这样

【解答】解:如图,根据条件: = ; ∴ ;

∴点 P 一定为△ABC 的线段 CD 靠近 C 的三等分点. 故选:D.

-8-

【点评】考查三角形重心的概念,重心的性质:重心到顶点距离是它到对边中点距离的 2 倍, 以及向量加法的平行四边形法则,向量数乘的几何意义,向量的数乘运算.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.已知 =(a,﹣2), =(1,2﹣a),且 ∥ ,则 a= .

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【专题】方程思想;转化思想;平面向量及应用. 【分析】利用向量共线定理即可得出. 【解答】解:∵ ∥ ,

∴﹣2﹣a(2﹣a)=0, 化为 a ﹣2a﹣2=0, 解得 故答案为: =1 . ,
2

【点评】本题考查了向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

14.若

,那么 cos(π ﹣α )= ﹣



【考点】运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 【专题】计算题;转化思想;三角函数的求值. 【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出 cosα 的值,原式化简后代入计算即可求出值.

【解答】解:∵sin(

﹣α )=cosα =



-9-

∴cos(π ﹣α )=﹣cosα =﹣ 故答案为:﹣ .



【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

15.已知奇函数 f(x)在区间上有两个不同的解,求实数 m 的取值范围. 【考点】函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换;正弦函数的图象. 【专题】函数思想;转化法;三角函数的图像与性质. 【分析】(1)根据五点法进行求解即可. (2)根据函数平移关系求出函数 g(x)的表达式,利用函数和方程之间的关系转化为两个函 数的交点问题即可. 【解答】解:(1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω =2,φ =﹣ ,数据补全如下表:

ω x+φ x Asin(ω x+φ )

0

π



0

5

0 ).

﹣5

0

且函数表达式为 f(x)=5sin(2x﹣ (2)通过平移,g(x)=5sin(2x+

),方程 g(x)﹣(2m+1)=0 可看成函数 g(x),

x∈和函数 y=2m+1 的图象有两个交点,当 x∈时, 2x+ ∈[ , ≤m<2. ],为使横线 y=2m+1 与函数 g(x)有两个交点,只需 ≤2m+1

<5,解得

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用五点法以及函数与方程的关系进行转化 是解决本题的关键.

20.已知 A(1,0),B(0,2),C(cosα ,sinα ),(0<α <π ).

- 10 -

(Ⅰ)若

(O 为坐标原点),求



的夹角;

(Ⅱ)若

,求 3sinα ﹣cosα 的值.

【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的坐标运算. 【专题】计算题;方程思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】(Ⅰ)由已知点的坐标求得向量的坐标,代入向量模的公式求得 cosα ,进一步求得 sinα ,再由数量积求夹角公式求得 (Ⅱ)由 与 的夹角;

,可得 2sinα +cosα =1.结合平方关系求得 sinα 、cosα 的值,

则 3sinα ﹣cosα 的值可求. 【解答】解:(Ⅰ)∵A(1,0),C(cosα ,sinα ), ∴



解得: 又∵0<α <π ,∴ ∴ 设 ∴ 与

. , ,又 的夹角为 θ ,则 0≤θ ≤π ; ,则 ; . ,

(Ⅱ)∵ , 且



, ∴2sinα +cosα =1.

- 11 -

平方得:4sinα cosα =﹣3sin α <0, 又 0<α <π ,∴sinα >0,cosα <0, 又 sin2α +cos2α =1.∴ ∴3sinα ﹣cosα = =3. .

2

【点评】本题考查平面向量的坐标运算,考查了利用平面向量数量积求向量的夹角,训练了 三角函数值的求法,是中档题.

21.我县某种蔬菜从二月一日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位:元 /102kg)与上市时间 t(单位:天)的数据如下表: 时间 t 种植成本 Q 50 150 110250 108150

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化 关系.Q=at+b,Q=at +bt+c,Q=ab ,Q=alogbt. (2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本. 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】应用题;方程思想;待定系数法;函数的性质及应用. 【分析】(1)由提供的数据知,描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系函数不是单 调函数,应选取二次函数 Q=at +bt+c 进行描述,利用待定系数法将表格所提供的三组数据代 入 Q,列方程组求出函数解析式; (2)由二次函数的图象与性质,求出函数 Q 在 t 取何值时,有最小值即可. 【解答】解:(1)由数据和散点图知,描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系函数 不是单调函数; 而函数 Q=at+b,Q=abt,Q=alogbt,在 a≠0 时,均为单调函数,这与表格中提供的数据不吻合,
2 2 t

所以,选取二次函数 Q=at2+bt+c 进行描述; 将表格所提供的三组数据(50,150),(110,108),(250,150)分别代入方程,





- 12 -

解得 a=

,b=﹣

,c=



故西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系函数为 Q= t﹣
2

t+

; t2﹣ t+ = (t﹣150)2+100,
2

(2)因为函数 Q=

所以当 t=150(天)时,西红柿种植成本 Q 最低,为 100 元/10 kg. 【点评】本题考查了二次函数模型的应用问题,也考查了利用二次函数的图象与性质求函数 最值的问题,确定函数的模型是解题关键.

22.设 f(x)=logag(x)(a>0 且 a≠1) (Ⅰ)若 取值范围; (Ⅱ)若 g(x)=ax ﹣x,是否存在 a 使得 f(x)在区间[ 明 a 可以取哪些值;如果不存在,请说明理由. (Ⅲ)定义在上的一个函数 m(x),用分法 T: p=x0<x1<…<xi﹣1<xi<…<xn=q 将区间任意划分成 n 个小区间,如果存在一个常数 M>0,使得不等式|m(x1)﹣m(x0)|+|m (x2)﹣m(x1)|+…+|m(xi)﹣m(xi﹣1)|+…+|m(xn)﹣m(xn﹣1)|≤M 恒成立,则称函数 m (x) 为在上的有界变差函数. 试判断函数 f (x) = 是否为在[ ,3]上的有界变差函数?若是,求 M 的最小值;若不是,请说明理由.
2

,且满足 f(x)>1,求 x 的

,3]上是增函数?如果存在,说

【考点】对数函数的图象与性质. 【专题】计算题;新定义;转化思想;函数的性质及应用;不等式. 【分析】(Ⅰ)若 f(x)>1,则 ,解 得答案;

- 13 -

(Ⅱ)分类讨论使 f(x)在区间[

,3]上是增函数的 a 值,综合讨论结果可得答案;

(Ⅲ)根据函数 f(x)= 差函数,结合(Ⅱ)中结论,可得答案. 【解答】解:(Ⅰ)

为[

,3]上的有界变



解得



(Ⅱ)当 a>1 时,



当 0<a<1 时,

,无解…

综上所述 a>2… (Ⅲ)函数 f(x)= 数.… 由(2)知当 且对任意划分 T: 时,函数 f(x)为[ ,3]上的单调递增函数, 为[ ,3]上的有界变差函



- 14 -



, 所以 f(x1)﹣f(x0)+f(x2)﹣f(x1)+…+f(xn)﹣f(xn﹣1) = ,… 所以存在常数 M≥2,使得 恒成立, 所以 M 的最小值为 2.… 【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,熟练掌握对数函数的图象和性质,是 解答的关键.

- 15 -


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