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吉林专用 人教A版数学必修2全册综合素质检测


必修 2 综合素质检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.(2012· 湖北卷)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为( )

8π A. 3 B.3π 10π C. 3 D.6π 2.长方体一个顶点上的三条棱长分别为 3、4、5,若它的八个 顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是( ) A.20 2π B.25 2π C.50π D.200π 3.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 中点,则直线 CE 垂 直于( )
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A.AC B.BD C.A1D1 D.A1A 4.已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列 命题中正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n 5.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程是( ) A.x-2y+7=0 B.2x+y-1=0 C.x-2y-5=0 D.2x+y-5=0 2 2 6.若 P(2,-1)为圆(x-1) +y =25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为( ) A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0 2 2 7.已知圆 C1:(x-3) +y =1,圆 C2:x2+(y+4)2=16,则圆 C1,C2 的位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.内切 D.外切 1 1 1 1 8.在空间直角坐标系中,O 为坐标原点,设 A(2,2,2),B(2, 1 1 1 1 ,0),C(3,3,3),则( ) 2 A.OA⊥AB B.AB⊥AC C.AC⊥BC D.OB⊥OC 9.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面, 点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 10.过点 M(-2,4)作圆 C:(x-2)2+(y-1)2=25 的切线 l,且直 线 l1:ax+3y+2a=0 与 l 平行,则 l1 与 l 间的距离是( ) 8 2 A.5 B.5 28 12 C. 5 D. 5 11.当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C, 则以 C 为圆心,半径为 5的圆的方程为( ) 2 2 A.x +y -2x+4y=0
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B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 12 . 设 P(x , y) 是 圆 x2 + (y + 4)2 = 4 上 任 意 一 点 , 则 ?x-1?2+?y-1?2的最小值为( ) A. 26+2 B. 26-2 C.5 D.6 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 如右图所示, Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC 的直观图, 其中 A′C′⊥B′C′,B′O′=O′C′=1,则△ABC 的面积为 ________. 14.经过点 P(1,2)的直线,且使 A(2,3),B(0,-5)到它的距离相 等的直线方程为________. 15.与 x 轴相切并和圆 x2+y2=1 外切的圆的圆心的轨迹方程是 ________. 16.圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 关于直线 l1:x-y+4=0 与直线 l2:x+3y=0 都对称,则 D=________,E=________. 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)直线 l 经过点 P(2,-5),且与点 A(3,- 2)和 B(-1,6)的距离之比为 1? 2 ,求直线 l 的方程. 18.(本题满分 12 分)如右图所示,已知四棱锥中 P-ABCD 的底 面是边长为 a 的菱形,且∠ABC=120° ,PC⊥平面 ABCD,PC=a, E 为 PA 的中点. (1)求证:平面 EBD⊥平面 ABCD; (2)求点 E 到平面 PBC 的距离.

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19. (本题满分 12 分)已知圆的半径为 10, 圆心在直线 y=2x 上, 圆被直线 x-y=0 截得的弦长为 4 2,求圆的方程. 20.(本小题满分 12 分)(2012· 山东卷)

如图,几何体 E-ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB= CD,EC⊥BD. (1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120° M 为线段 AE 的中点, , 求证: DM∥平面 BEC.

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21.(本题满分 12 分)如右图所示,矩形 ABCD 的两条对角线相 交于点 M(2,0),AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,点 T(-1,1)在 AD 边所在的直线上.求: (1)AD 边所在直线的方程; (2)矩形 ABCD 外接圆的方程.

22.(本题满分 12 分)△ABC 是正三角形,线段 EA 和 DC 都垂直 于平面 ABC,设 EA=AB=2a,DC=a,且 F 为 BE 的中点,如图所 示. (1)求证:DF∥平面 ABC; (2)求证:AF⊥BD; (3)求平面 BDE 与平面 ABC 所成的较小二面角的大小. 详解答案 1 [答案] B [命题意图] 本题考察空间几何体的三视图. [解析] 显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部 分,并且有正视图知是一个 1/2 的圆柱体,底面圆的半径为 1,圆柱 体的高为 6,则知所求几何体体积为原体积的一半为 3π.选 B. 2[答案] C
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[解析] ?l=2R, ?

设长方体的体对角线长为 l,球半径为 R,则

?2 2 2 2 ? ?l =3 +4 +5 ,

5 2 所以 R= 2 ,所以 S 球=4πR2=50π.故选 C. 3[答案] B [解析] ∵B1D1⊥A1C1,B1D1⊥CC1, 且 A1C1∩CC1=C1, ∴B1D1⊥平面 CC1E,而 CE?平面 CC1E, ∴B1D1⊥CE, 又∵BD∥B1D1,∴BD⊥CE. 4[答案] D [解析] A 中还可能 m,n 相交或异面,所以 A 不正确;B、C 中还可能 α,β 相交,所以 B、C 不正确.很明显 D 正确. 5[答案] B [解析] 设所求直线方程为-2x-y+m=0, 则-2×(-1)-3+m=0,所以 m=1, 即-2x-y+1=0,故直线方程为 2x+y-1=0. 6[答案] A [解析] 设圆心为 C(1,0),则 AB⊥CP, ∵kCP=-1, ∴kAB=1,∴y+1=x-2,即 x-y-3=0,故选 A. 7[答案] D [解析] 圆 C1,C2 的圆心坐标,半径长分别为 C1(3,0),r1=1; C2(0,-4),r2=4.因为|C1C2|=5=r1+r2,所以圆 C1,C2 外切. 8[答案] C 1 3 6 [解析] |AB|=2,|AC|= 6 ,|BC|= 6 , 因为|AC|2+|BC|2=|AB|2,所以 AC⊥BC. 9[答案] C [解析] 过 A 作 AE⊥BC 于点 E,则易知 AE⊥面 BB1C1C,则∠ ADE 即为所求, AE 又 tan∠ADE=DE= 3,故∠ADE=60° .故选 C. 10[答案] D [解析] 因为点 M(-2,4)在圆 C 上,所以切线 l 的方程为(-2- 2)(x-2)+(4-1)(y-1)=25, 即 4x-3y+20=0.因为直线 l 与直线 l1 平行,
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a 4 所以-3=3, 即 a=-4,所以直线 l1 的方程是-4x+3y-8=0, 即 4x-3y+8=0.所以直线 l1 与直线 l 间的距离为 12 5 .故选 D. 11[答案] C
? ?-x-y+1=0, [解析] 令 a=0,a=1,得方程组? ? ?-y+2=0. ?x=-1, ? 解得? 所以 C(-1,2). ? ?y=2, 则圆 C 的方程为(x+1)2+(y-2)2=5, 即 x2+y2+2x-4y=0. 12[答案] B [解析] 如图,设 A(1,1), ?x-1?2+?y-1?2 =|PA|,则|PA|的最小值为|AC|-r= 26-2.

|20-8| = 42+?-3?2

13[答案] 2 2

[解析] 由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC, 如图
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所示,则有 BO=OC=1,AO=2 2. 1 1 ∴S△ABC=2BC· AO=2×2×2 2=2 2. 14[答案] 4x-y-2=0 或 x=1 [解析] x=1 显然符合条件;当 A(2,3),B(0,-5)在所求直线同 侧时,所求直线与 AB 平行, ∵kAB=4,∴y-2=4(x-1), 即 4x-y-2=0. 15[答案] x2=2|y|+1 [解析] 设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,则由题意知 1+|y|= x2+y2,化简得 x2=2|y|+1. 16[答案] 6 -2 [解析] 由题设知直线 l1,l2 的交点为已知圆的圆心. ?x-y+4=0, ?x=-3, ? ? ? 由 得? ? ? ?x+3y=0, ?y=1, D E 所以- 2 =-3,D=6,- 2 =1,E=-2. 17[解析] ∵直线 l 过 P(2,-5), ∴可设直线 l 的方程为 y+5=k· (x-2), 即 kx-y-2k-5=0. ∴A(3,-2)到直线 l 的距离为 |k· 3-?-2?-2k-5| |k-3| d1= = 2 . k2+1 k +1 B(-1,6)到直线 l 的距离为 |k· ?-1?-6-2k-5| |3k+11| d2= = 2 . k2+1 k +1 ∵d1?d2=1? 2 , |k-3| 1 ∴ = . |3k+11| 2 ∴k2+18k+17=0. 解得 k1=-1,k2=-17. ∴所求直线方程为 x+y+3=0 和 17x+y-29=0.

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18[解析] (1)证明:如右图所示,连接 AC,设 AC∩BD=O,连 接 OE,在△PAC 中,E 为 PA 的中点,O 为 AC 的中点, ∴OE∥PC,又 PC⊥平面 ABCD, ∴OE⊥平面 ABCD,又 OE?平面 EBD, ∴平面 EBD⊥平面 ABCD. (2)解:∵OE∥PC,PC?面 PBC,而 OE?面 PBC, ∴OE∥面 PBC, ∴E 到平面 PBC 的距离等于 O 到平面 PBC 的距离. 过 O 在底面 ABCD 内作 OG⊥BC 于 G, 又平面 PBC⊥面 ABCD, 且面 PBC∩面 ABCD=BC, ∴OG⊥面 PBC,即线段 OG 的长度为点 O 到平面 PBC 的距离. 在菱形 ABCD 中, ∵∠ABC=120° , ∴∠BCD=60° , ∴△BCD 为正三角形, 且 BC=a,由余弦定理可得 AC= 3a, a 3 ∴OB=2,OC= 2 a, 在 Rt△BOC 中,OG· BC=OB· OC, a 3 即 OG· 2·2 a, a= 3 3 ∴OG= 4 a.即 E 到平面 PBC 的距离为 4 a. 19[解析] 方法一:设圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=10.因为圆心 在直线 y=2x 上,所以 b=2a. ① ?x-y=0, ? 解方程组? 2 2 ? ??x-a? +?y-b? =10, 得 2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0,
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a2+b2-10 所以 x1+x2=a+b,x1·2= x . 2 由弦长公式得 2· ?a+b?2-2?a2+b2-10? =4 2, 化简得(a-b)2=4. ② 解①②组成的方程组,得 a=2,b=4, 或 a=-2,b=-4. 故所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10, 或(x+2)2+(y+4)2=10. 方法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10,则圆心为(a,b), |a-b| 半径 r= 10,圆心(a,b)到直线 x-y=0 的距离 d= . 2 4 2 由弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得 d2+( 2 )2=r2,即 ?a-b?2 2 +8=10, 所以(a-b)2=4. 又因为 b=2a,所以 a=2,b=4, 或 a=-2,b=-4. 故所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10, 或(x+2)2+(y+4)2=10. 20[解析]

(1)设 BD 中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC=CD 知,CO⊥BD, 又已知 CE⊥BD,所以 BD⊥平面 OCE. 所以 BD⊥OE,即 OE 是 BD 的垂直平分线, 所以 BE=DE.
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(2)取 AB 中点 N,连接 MN,DN, ∵M 是 AE 的中点,∴MN∥BE, ∵△ABD 是等边三角形,∴DN⊥AB. 由∠BCD=120° 知,∠CBD=30° ,所以∠ABC=60° +30° =90° , 即 BC⊥AB, 所以 ND∥BC, 所以平面 MND∥平面 BEC,故 DM∥平面 BEC. 21[解析] (1)∵AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,且 AD⊥ AB,∴kAD=-3. 又∵点 T(-1,1)在直线 AD 上, ∴AD 边所在直线的方程为 y-1=-3(x+1). 即 3x+y+2=0. ? ?x-3y-6=0, (2)由 ? 解得点 A 的坐标为(0,-2),因为矩形 ? ?3x+y+2=0, ABCD 两条对角线的交点为 M(2,0). 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又|AM|= ?2-0?2+?0+2?2=2 2,则矩形 ABCD 外接圆的方程 为(x-2)2+y2=8. 22[解析] (1)证明:如图所示,取 AB 中点 G,连 CG、FG.

∵EF=FB,AG=GB, 1 ∴FG 綊2EA. 1 又 DC 綊2EA,∴FG 綊 DC. ∴四边形 CDFG 为平行四边形,故 DF∥CG. ∵DF?平面 ABC,CG?平面 ABC, ∴DF∥平面 ABC. (2)证明:∵EA⊥平面 ABC, ∴AE⊥CG.
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又△ABC 是正三角形, ∴CG⊥AB. ∴CG⊥平面 AEB. 又∵DE∥CG, ∴DF⊥平面 AEB. ∴平面 AEB⊥平面 BDE. ∵AE=AB,EF=FB, ∴AF⊥BE. ∴AF⊥平面 BED, ∴AF⊥BD. (3)解:延长 ED 交 AC 延长线于 G′,连 BG′. 1 由 CD=2AE,CD∥AE 知,D 为 EG′的中点, ∴FD∥BG′. 又 CG⊥平面 ABE,FD∥CG. ∴BG′⊥平面 ABE. ∴∠EBA 为所求二面角的平面角. 在等腰直角三角形 AEB 中,易求得∠ABE=45° .

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