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1.2.1.1任意角的三角函数(一) 课件


1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数(一)

1.掌握任意角的三角函数的定义,树立映射观点; 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数; 2.已知角α终边上一点,会求角α 的各三角函数值; 3.掌握三角函数的定义域、值域.

任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概 念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究, 始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对 天文的测量,在相当长的时期里隶属于天文学。直 到1464年,德国数学家雷基奥蒙坦著《论各种三角 形》,才独立于天文学之外对三角知识作了较系统 的阐说;14~16世纪,三角学曾一度成为欧洲数学 的主要内容,研究的方面包括三角函数值表的编制、 平面三角形和球面三角形的解法,三角恒等式的建 立和推导等等.1631年,三角学输入中国,三角学 在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”。 “八线”是指在单位圆上的八种三角函数线:正弦 线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、 正矢线、余矢线。随着科学的发展,三角函数成为 研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学 工具,它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛 的应用.

在直角三角形ABC中,sinα ,cosα ,tanα 分别叫做 角α 的正弦、余弦和正切,它们的值分别等于什么?

BC sin a = AB
BC t an a = AC

AC cosa = AB

B α

C

A

当角α 不是锐角时,我们必须对sinα ,cosα ,

tanα 的值进行推广,以适应任意角的需要.如何定义任
意角的三角函数呢?

我们把锐角α 放到直角坐标系中,并使角α 的顶 点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角α 的终 边上取一点P(a,b),设点P与原点的距离为r,那么, sinα ,cosα ,tanα 的值分别如何表示?

b sin ? ? r a cos ? ? r b tan ? ? a

y
r

A P(a,b)

α o
B x

思考: 对于确定的角α ,上述三个比值是否随

点P在角α 的终边上的位置的改变而改变呢?
为什么? 由相似三角形的知识可知,这三个比值不会随着

点P在角α的终边上的位置的改变而改变.

为了使sinα ,cosα 的表示式更简单,你认为点P的位 置选在何处最好?此时,sinα ,cosα 分别等于什么?

sin ? ? b cos ? ? a
b tan ? ? a
o

y P(a,b) 1

α
x

单位圆
在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径
的圆称为单位圆. 对于角α 的终边上一点P,要使|OP|=1,只需点P为终 边与单位圆的交点.

α 的终边

y

P
O

x

设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y), 为了不与当α 为锐角时的三角函数值发生矛盾,你认为sinα , cosα ,tanα 对应的值应分别如何定义?

sin ? ? y

α 的终边 P(x,y)

y

cos ? ? x
y tan ? ? ( x ? 0) x

O

x

对于一个任意给定的角α ,按照上述定义,对应的

sinα ,cosα ,tanα 的值是否存在?是否唯一? 角α的终边在y轴上时,
tanα的值无意义,除此之

α 的终边
P(x,y)

y

外,其它的角的三角函数
值都是唯一确定的.

O

x

一、三角函数的定义 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上

的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角
函数.

思考:正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么? 正、余弦函数的定义域为R, 正切函数的定义域是

? {? ? R | ? ? ? k?, k ? Z}. 2

5? 例1 求 的正弦、余弦和正切值. 3

5? . 解: 在直角坐标系中,作 ?AOB ? 3
5? 3 sin ?? , 3 2

1 3 ). 易知 ?AOB 的终边与单位圆的交点坐标为 ( , ? 2 2

y
5? 3

5? 1 cos ? , 3 2 5? tan ?? 3. 3

x
1 3 P( , ? ) 2 2

O

例2

已知角的终边过点P0(-3,-4),求角的正弦、

余弦和正切值.
解:由已知得
OP0 ? ( ?3) 2 ? ( ?4) 2 ? 5 .

y
M0 M

x O

设角 ? 的终边与单位圆交于点 P( x, y ) , 分别过点 P, P0 作 x 轴的垂线 MP , M 0 P0 ,则

P(x,y)

MP ? ? y, M 0 P0 ? 4, OM ? ? x, OM 0 ? 3
?OMP ∽ ?OM 0 P0 ,

P0(-3,-4)

于是,
y ? MP ? M 0 P0 4 sin ? ? y ? ? ? ?? ; 1 OP OP0 5

x ? OM ? OM 0 3 cos ? ? x ? ? ? ?? ; 1 OP OP0 5

y
M0 M

tan ? ?

y sin ? 4 ? ? . x cos ? 3

x

O
P(x,y) P0(-3,-4)

提升总结
若点P(x,y)为角α 终边上任意一点,则
sin ? ? y x ?y
2 2

y
O

cos ? ?

x x2 ? y2

y tan ? ? x

x
P(x,y)

π? 0 , 1.若 ? ? ? ? ? ,那么( ? 6?

). B. cos? ? sin ? ? D. cos? ?
1 tan ?

A. sin ? ? cos? ? C. sin ? ?

1 tan ?

1 ? cos? tan ?

1 ? sin ? tan ?

? π? P ( x , y ) ? ? 解析:设 是角 ? 终边上任一点,因为 ? 0, ? 所以 0 ? y ? x ? r , ? 6? y x x 1 ? ? ,即 sin ? ? cos ? ? .故应选A. r r y tan ?

2.已知角α 的终边经过点 P(2,-3),求α 的三个三角函数值.
:? ?3 ,所以 r ? 因为 x解析 ? 2, y
于是

2 2 ? ( ?3) 2 ? 13 ,

y ?3 3 13 sin ? ? ? ?? ; r 13 13 x 2 2 13 ; cos ? ? ? ? r 13 13 y 3 . tan ? ? ? ? x 2

1.三角函数都是以角为自变量,在弧度制中,三角函

数的自变量与函数值都是在实数范围内取值.
2.三角函数的定义是三角函数的理论基础.

重要的不是知识的数量,而是知识的质量, 有些人知道很多很多,但却不知道最有用的 东西。 ——列夫?托尔斯泰


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